Corrigés – Lentilles minces – 1e S

PHYSIQUE

CHAPITRE I : LE MOUVEMENT DU CENTRE D’INERTIE

I.PRINCIPE DE L’INERTIE
1.Système isolé ; système pseudo isole
En mécanique un système matériel est dit isolé lorsqu’il n’est soumis à aucune force extérieure.
Comme tout corps est au moins soumis à son poids il n’est pas possible de réaliser les conditions qui correspondent à un tel système. Toute fois, on peut considérer qu’un objet lancé dans l’espace à une grande distance de tout astre est une bonne approximation d’un tel système
Un système pseudo isolé est un système pour lequel la somme vectorielle des forces extérieures qui lui sont appliquées est nulle.
\Sigma \overrightarrow{F_{ex}} =\overrightarrow{0}
2.Centre d’inertie d’un solide
Réalisons pour un solide S les conditions pour qu’il soit pseudo isolé ( \Sigma \overrightarrow{F_{ex}} =\overrightarrow{0} )
On constate que quelque soit le mouvement du solide :
-La trajectoire du point G situé sur l’axe de symétrie est rectiligne.
-La distance séparant 2 points consécutifs est la même ; le mouvement de G est alors uniforme \overrightarrow{V_G} =\overrightarrow{constant}
Le centre d’inertie d’un solide est le point particulier situé sur l’axe de symétrie pour le quel, lorsque le solide est pseudo- isolé dans un référentiel galiléen ; ce point est animé d’un mouvement rectiligne uniforme où est au repos quelque soit le mouvement du solide
Pour des solides homogènes le centre d’inertie coïncide avec le centre de symétrie. Il est alors confondu avec le centre de masse ou le centre de gravité G.

REMARQUE
Le centre de masse d’un système de solide, qui est le centre d’inertie de ce système est le barycentre des masse de chacun des solides
Application
Dans une plaque métallique homogène d’épaisseur constante, on découpe le trapèze schématisé ci-dessous.
Déterminer graphiquement la position du centre d’inertie.

Ce trapèze peut être considéré comme la juxtaposition du carré ABB’D de masse m₁ et du triangle BCB’ de masse m₂ . Remarquons que la surface du triangle est la moitié de celle du carré donc m₁=2 m₂ soit G₁ le centre d’inertie du carré et G₂ le centre d’inertie du triangle.

Le centre d’inertie g de l’ensemble est le barycentre de G₁ (m₁) et G₂ (m₂) ainsi
m_1 \overrightarrow{GG_1} + m_2 \overrightarrow{GG_2} = \overrightarrow{0}
m_1 \overrightarrow{GG_1} + m_2 (\overrightarrow{GG_1} + \overrightarrow{GG_1})= \overrightarrow{0} d’où (m_1 + m_2)\overrightarrow{GG_1} =-m_2 \overrightarrow{G_2 G_2} = \overrightarrow{0} soit \overrightarrow{G_1} G= \dfrac{m_1}{m_1 + m_2} \overrightarrow{G_1 G_2} avec \overrightarrow{G_1} G= \dfrac{1}{3} \overrightarrow{G_1 G_2} donc G se trouve au tiers du segment [G₁ G₂] à partir de G₁
3.Enoncé du principe de l’inertie
Dans un référentiel galiléen , lorsqu’un système est isolé ou pseudo-isolé et quelque soit le mouvement de ce système , son centre d’inertie G peut :
-soit resté au repos s’il est initialement au repos,
-soit être animé d’un mouvement rectiligne uniforme :\overrightarrow{V_G} = vecteur constant
Remarque :
Un référentiel galiléen est donc un référentiel pour le quel le centre d’inertie d’un système isolé ou pseudo-isolé est soit au repos, soit animé d’un mouvement rectiligne uniforme.
Un référentiel fixe par rapport à la terre ou en mouvement rectiligne uniforme par rapport à la terre peut être considéré comme référentiel galiléen ( exemple : le référentiel de laboratoire).

II – VECTEUR QUANTITE DE MOUVEMENT
1-Définition
Le vecteur quantité de mouvement noté \overrightarrow{P} un solide (S) est le produit de sa masse par le vecteur vitesse \overrightarrow{V_G} son centre d’inertie
\overrightarrow{P} =m\overrightarrow{V_G}
2-Caractéristiques
Les caractéistique du vecteur quantité de mouvement sont :
Le point d’application :
C’est le centre d’inertie G du solide
La direction et son sens
La masse m étant une grandeur positive \overrightarrow{P} même direction et même sens que \overrightarrow{V_G}
Le module
P= m.VG dans le système internationale d’unité
m : masse en kg
VG : vitesse en m.s^-1
P quantité de mouvement en kg.m.s-1
3-Vecteur quantité de mouvement d’un solide en translation
Un solide est en translation lorsque tous ses points sont animés d’une même vitesse à chaque instant.
Si M est la masse du solide animé d’une vitesse \overrightarrow{V} alors \overrightarrow{P}=M.\overrightarrow{V}
4-vecteur quantité de mouvement d’un système de plusieurs corps
La quantité de mouvement d’un système de plusieurs corps est égale à la somme vectorielle des quantités de mouvement des différents solides qui le constituent.
\overrightarrow{P}= \overrightarrow{P_1} + \overrightarrow{P_2} + \overrightarrow{P_3} +…….+ \overrightarrow{P_n} = m_1 \overrightarrow{V_n} + m_2\overrightarrow{V_2} + m_3 \overrightarrow{V_3} + ….+ m_n \overrightarrow{V_n}
III-CONSERVATION DU VECTEUR QUANTITE DE MOUVEMENT
1-Principe de conservation
Le vecteur quantité de mouvement d’un système isolé ou pseudo-isolé reste constant au cours de l’évolution du système.
2-Quantité de mouvement et principe de l’inertie : Enoncé
Dans un référentiel galiléen la quantité de mouvement d’un système isolé ou pseudo-isolé est un vecteur constant \overrightarrow{P} =\overrightarrow{constant}
IV-APPLICATIONS
16-Choc entre 2 solides
a) Choc mou
Deux solides S₁ et S₂ de masse m₁ et m₂ se déplaçant sans frottement sur un plan horizontal avec les vitesses \overrightarrow{V_1} et \overrightarrow{V_2} réalisent un choc mou s’ils se rencontrent et restent liés pour former un solide S de masse m₁+m₂ se déplaçant à la vitesse \overrightarrow{V_G}

Avant le choc
La quantité de mouvement avant le choc est \overrightarrow{P} =\overrightarrow{P’} \leftrightarrow m_1 \overrightarrow{V_1} + m_2 \overrightarrow{V_2}

Après le choc
La quantité de mouvement après le choc est \overrightarrow{P’} = (m_1 + m_2)V_G
Il y a conservation du vecteur quantité de mouvement car le système est pseudo-isolé \overrightarrow{P} = \overrightarrow{P’} \leftrightarrow m_1 \overrightarrow{V_1} + m_2 \overrightarrow{V_2} =(m_1 + m_2) \overrightarrow{V_G} de plus s₂ était au repos avant le choc alors v₂=0 projetons sur l’axe horizontal tel que \overrightarrow{V_1} = V_1\overrightarrow{i} alors :
m_1 V_1 =(m_1 + m_2) V_G soit V_G=\dfrac{m_1 V_1}{m_1 + m_2}
b) Choc élastique
Il y a choc élastique entre deux solides S₁ et S₂ se déplaçant sans frottements sur un plan horizontal avec, lorsqu’après le choc les 2 solides ne restent pas liés.
Avant le choc ; \overrightarrow{P}= m_1\overrightarrow{V_1} + m_2 \overrightarrow{V_2} après le choc : \overrightarrow{P’}= m_1\overrightarrow{V_1}’ + m_2 \overrightarrow{V_2}’

Conservation du vecteur quantité de mouvement car le système est pseudo-isolé d’où \overrightarrow{P}=\overrightarrow{P’} \leftrightarrow m_1\overrightarrow{V_1} + m_2 \overrightarrow{V_2} =m_1\overrightarrow{V_1}’ + m_2 \overrightarrow{V_2}’
Suivant l’axe orienté m_1\overrightarrow{V_1} – m_2 \overrightarrow{V_2} =-m_1\overrightarrow{V_1}’ + m_2 \overrightarrow{V_2}
Eclatement d’un solide en 2 morceaux
Un solide pseudo-isolé S de masse m immobile par rapport au référentiel du laboratoire éclate en deux solides s₁ et s₂ de masses respectivement égale à m₁ et m₂.
Ces derniers se déplacent avec les vitesses \overrightarrow{V_1} et\overrightarrow{V_2}
Avant l’éclatement \overrightarrow{P} = \overrightarrow{0} après l’éclatement \overrightarrow{P}’ =m_1\overrightarrow{V_1} + m_2 \overrightarrow{V_2}

Les système {S_1; S_2} et S sont pseudo isolés ; la quantité de mouvement du système matériel avant l’éclatement est égale à la quantité de mouvement du système après l’éclatement \overrightarrow{P} =\overrightarrow{P}’ \leftrightarrow m_1\overrightarrow{P_1} + m_2 \overrightarrow{P_2}
Ainsi \overrightarrow{V_1}=-\dfrac{m_2}{m_1}\overrightarrow{V_2}

EXERCICES RESOLUS

Exercice n°1

Calculer la quantité de mouvement :
a) D’une automobile de masse m=900kg lancée à la vitesse V=108km.h^-1
b) D’un électron (masse : me-= 9,1.10^-31 kg ) en mouvement à la vitesse V=10⁷m.s^-1
c) D’une hélice d’avion tournant à 2000tours.mn^-1, le solide de référence est l’avion.

Exercice n°2

Sur un axe ( x’o x) deux solides autoporteurs ( mobile sur coussins d’air) S₁et S₂ sont en mouvement uniforme. On donne leurs caractéristiques :
S₁ (m₁ = 50 g ; v₁= 1ms^-1) et S₂ ( m₂ = 100g ; v₂ = 2 ms^-1)
a) Représenter les vecteurs quantités de mouvement du centre d’inertie G du système mécanique (S₁ + S₂) ? justifier la réponse et calculer la vitesse V_G.
b)Reprendre la question a) lorsque les solides conservent les mêmes vitesses mais des sens inverses.

Exercice n°3

Un canon immobile de masse 1 tonne lance un obus de 10kg dont la vitesse initiale est 750 m.s^-1
Calculer la vitesse de recul du canon immédiatement après le tir.

Exercice n°4

1)Un wagon de masse m₁=50t animé d’une vitesse \overrightarrow{V_1} horizontal et de norme 10km.k^-1
Percute un wagon au repos de masse m₂=30t. Sachant que les 2 wagons restent accrochés
Calculer la vitesse de l’ensemble après le choc.
2)On suppose que le second wagon était en mouvement avec la vitesse v₂=4km.h^-1 dans le même sens après le choc l’ensemble reste accroché .Déterminer la vitesse de l’ensemble après le choc.
3)Dans le cas où le second wagon était en mouvement avec la vitesse V₂=4km.h^-1de sens opposé à \overrightarrow{V_1} et que l’ensemble reste accroché calculer la vitesse de l’ensemble après le choc

Exercice n°5

Un proton de masse mp de vitesse v₁ =2,5104km.s^-1 heurte de plein fouet un noyau d’hélium immobile. Le proton rebondit en arrière selon la même direction et avec une vitesse de V₁’ = 1,510⁴kms_-1.
1)Quelle est la direction du vecteur vitesse du noyau d’hélium ?
2)La norme du vecteur vitesse du noyau d’hélium étant égale à 10⁴km.s^-1 calculer le rapport \dfrac{m_{He}}{m_p}

Exercice n°6

Deux mobiles se déplacent l’un vers l’autre sur un aérobic ; le premier de masse m₁ =100g ; à la vitesse v₁ =1m.s^-1 le deuxième de masse m₂=65g à la vitesse v₂=2m.s^-1 après le choc le deuxième mobile repart en sens opposé avec une vitesse

Exercice n°7

A l’intersection de deux routes à l’angle droit , un camion de masse M₂=5 tonnes roulant à la vitesse de 10km.h^-1 grille le feu rouge et heurte une camionnette de masse m₁=2 tonnes roulant à 30km.h^-1. En supposant que les deux véhicules restent accrochés après le choc et en négligeant tous les frottements au sol on demande la valeur de la vitesse \overrightarrow{V_G} de l’ensemble après le choc et la direction prise part l’ensemble par rapport à la direction du premier véhicule.

Exercice n°8

On considère le mouvement de 2 billes dans une cour horizontale que l’on suppose parfaitement lisse. La bille A de masse m₁ est lancée avec la vitesse \overrightarrow{V_1} soit \overrightarrow{V_1} = 10cm.s-1
Rencontre la bille B immobile de masse m₂. Après le choc la bille A rebondit dans une direction qui fait un angle ∝ =60° avec la direction de \overrightarrow{V_1} . La bille B se met en mouvement avec une vitesse\overrightarrow{V_2} qui fait avec la direction de \overrightarrow{V_1} un angle β =30°.
Calculer les vitesses \overrightarrow{V_1} ‘ et \overrightarrow{V_2}’ les 2 billes après le choc sachant que les boules ont la même masse.

POUR S’ENTRAINER

1.Répondre par vrai ou faux en justifiant la réponse
1)Un système pseudo-isolé n’est soumis à aucune force.
2)Le centre d’inertie ‘un système homogène est confondu avec son centre de masse ou centre de gravité.
3)Selon le principe de l’inertie le centre d’inertie d’un solide est animé d’un mouvement rectiligne uniforme
4) La quantité de mouvement d’un système est une grandeur algébrique.
5)Un solide qui tombe en chute libre est un système isolé

2. Calculer la quantité de mouvement de chacun des solides suivant.
1) Peugeot 205 de masse 840kg, roulant en ligne droite avec une vitesse de
130km.h^-1
2) Quantité de mouvement d’une balle de 50g éjectée à une vitesse de 700 m.s^-1
3) Un rotor d’un alternateur de masse 500 tonnes tournant autour d’un axe fixe à la vitesse angulaire de 3000 tours par minute ; son centre d’inertie est situé sur l’axe.
3.
On considère deux automobiles ;
A₁ de masse M₁=500g se déplaçant à la vitesse V₁=36km.h^-1
A₂ de masse M₂=1000kg et de vitesse V₂=18km.h^-1
Déterminer les caractéristiques du vecteur quantité de mouvement \overrightarrow{P} du système mécanique (A₁+A₂ ) constitué par l’ensemble des automobiles dans chacun des cas.
Les deux solides se déplacent dans le même sens sur une route rectiligne avec des vitesses de même sens.
Elles se déplacent sur la même route rectiligne avec des vitesses de sens contraire.
4. Un corps A de masse m lancé à la vitesse V_A= 10m.s^-1 sur un plan horizontale rencontre un corps B. immobile de même masse et s’y accroche.
a)Montrer que le système (A₁+A₂) est pseudo-isolé si on néglige les frottements au cours du déplacement.
b) Donner les caractéristiques de la vitesse \overrightarrow{V} du système (A₁+A₂) après le choc.
5. Un homme de masse m= 60kg debout dans une pirogue de masse M=200kg saute sur la rive avec une vitesse initiale V=5 m. s^-1
1) La pirogue reste t- elle immobile ou se déplace t- elle ? pourquoi ?
2) Si la pirogue se déplace quelle est la vitesse initiale de son mouvement.
On suppose que la pirogue est située dans un plan horizontal défini par la rive.
6. Un pistolet de masse M=400g lance une balle de masse m=8g à la vitesse initiale de 350m.s^-1
1)Calculer la vitesse de recule du pistolet.
2) Avec ce pistolet on tire horizontalement à bout portant sur une brique de terre posée sur une table supposée parfaitement lisse. Calculer la vitesse de l’ensemble
{brique+balle} Après le tire.
On donne la masse de la brique M’ = 10Kg
7. Dans une gare de triage et sur une voie rectiligne où les résistances à l’avancement sont négligeables, une motrice de masse M=120 tonnes vient heurter ; à la vitesse V=8km.h^-1 ; un wagon initialement immobile dont la masse est m=30 tonnes. La motrice et le wagon s’accrochent.
1) Calculer la vitesse V₁ de l’ensemble (motrice + wagon) immédiatement après le choc
2) Calculer la vitesse V₂ de l’ensemble si le wagon est initialement en mouvement dans le même sens que la motrice avec la vitesse v=0,5km.h^-1
3) Calculer la vitesse V₃ du même ensemble si le wagon est initialement en mouvement , en sens inverse de la motrice avec une vitesse v’=2km.h^-1
8. Moussa et Ernest lancent deux billes de masse m₁ et m₂ à des vitesses respectives \overrightarrow{V_1} et \overrightarrow{V_2} sur un sol supposé lisse horizontal. Les 2 billes se heurtent de plein fouet. Après le choc la vitesse \overrightarrow{V_1} ‘ de m₁ est telle que \overrightarrow{V_1}’ =\dfrac{\overrightarrow{V_1}}{2}
Donner les caractéristiques des vitesses \overrightarrow{V_1}’ et \overrightarrow{V_2}’ après le choc AN m₁=200g ; m₂=50g ; v₁=10cm.s^-1 ; v₂=5cm.s^-1
9. 1)Sur un chantier un rocher de masse m=500kg est brisé en deux morceaux par l’explosion d’une charge de dynamite ; le premier morceau de masse m₁=200g est projeté horizontalement vers la droite à la vitesse de 12 m.s^-1.
Calculer v₂ la valeur de la vitesse du second morceau.
2)On suppose qu’au cours de l’explosion du même rocher ; celui-ci soit brisé en 3 fragments. Le premier ; de masse m₁=200 kg part à nouveau vers la droite avec une vitesse horizontale v₁=2m.s^-1. , le deuxième de masse m₂=300 kg est projeté suivant la même horizontale, mais vers la gauche ; à la vitesse v₂=4m.s^-1.
Quelle est la vitesse v₃ du troisième fragment ?
10. Un wagon de masse M₁=30 tonnes animé d’une vitesse de V= 4 m.s^-1 heurte un Wagon au repos de masse M₂. Sachant que ce dernier wagon part avec une vitesse de V₂’= 3m.s^-1 ; tandis que le premier retourne à la vitesse deV’₁=1m s^-1 déterminer la valeur de M₂
11. Sur un banc à coussin d’air (rail percé de trous soufflants de l’air pour annihiler les frottements) bien horizontal, on dispose de deux chariots de masse m=200g qui sont liés entre eux par un ressort comprimé. L’ensemble est mis en mouvement à la vitesse v=0,2m.s^-1.
A un instant donné, le système qui maintient le ressort comprimé cesse de fonctionner et celui-ci se détend. Le premier chariot est projeté en avant et sa vitesse prend alors la valeur v₁=0,7m.s^-1
1) Quelle est la vitesse du centre d’inertie du système formé par l’ensemble des deux chariots après que le ressort soit détendu ? Justifier la réponse.
2) Déterminer la vitesse v2 du second chariot. Préciser le sens du vecteur vitesse.
3) Reprendre tous les calculs précédents si les masses des chariots sont maintenant m₁=200g et m₂=250g
4) Les vitesses \overrightarrow{V} et \overrightarrow{V_1} conservent les mêmes valeurs.
12. Au cours d’un essai de lancement d’une fusée, celle-ci se déplaçant verticalement vers le haut à la vitesse de 3km.h^-1 explose et se sépare en deux morceaux. L’un des morceaux poursuit sa route vers le haut dans une direction faisant un angle α=45° avec la verticale et à la vitesse de 3,4km.h^-1 immédiatement après l’explosion ; quelle est la vitesse ,( direction, sens et module) du second morceau si sa masse est 0,60 fois celle du premier.
13. Deux boules de billard identiques A et B sont animées dans un plan horizontal, d’un mouvement rectiligne et uniforme. Elles se heurtent à l’angle droit comme l’indique la figure ci-dessous .La vitesse de la boule A avant le choc est V_A= 0,8 m.s^-1. Après le choc, la vitesse de la boule B est nulle.
Calculer VB avant le choc et VA’ après le choc. On admettra qu’il y’a conservation de la quantité de mouvement.

14.
Un proton de masse m animé d’une vitesse de module v =3.10⁷ m. s^-1 heurte un noyau d’oxygène au repos dont la masse M=16m. Il est alors dévié d’un angle α=45° par rapport à sa direction initiale avec la vitesse v’=2.10⁷ m.s^-2 quelle est la valeur de la vitesse du noyau d’oxygène ?

15.
Dans une gare ; et sur une voie rectiligne où les frottements sont négligeables. Une motrice de masse M=1000tonnes est initialement immobile. Un premier wagon de masse m=20 tonnes et de vitesse v=3m.h^-1 vient heurter la motrice et s’y accroche.
1) Quelle est la vitesse V₁ du convoi formé par la motrice et ce premier wagon ?
2) Quelle serait la vitesse V₂ du nouveau convoi si un deuxième wagon, identique au premier (même masse, même vitesse) venait s’accrocher au convoi précédent ?
Quelle serait la vitesse Vn du convoi si le nombre de wagons accrochés était n.

SOLUTION DESEXERCICES

Exercice n°1

a)Par rapport au référentiel terrestre V_G=108km.h^-1 = 30m.s^-1 D’ où
P= M V_G; AN: P = 900 kg × 30 ms^-1= 2,7 .10⁴ kg.m.s^-1
b) Le référentiel choisi est un référentiel lié à la terre suppose galiléen
P= me × Ve AN : p = 9,1.10^-31 kg × 10⁷ m. s^-1 d’où P = 9,1.10^-24 kg.m.s^-1
c)Le centre d’inertie de l’hélice se trouve par construction même, sur l’axe de rotation de l’hélice et sa vitesse par rapport à l’avion est nulle VG = 0 ↔P= m V_G = 0

Exercice n°2

P₁= m₁v₁ =0,050 × 1 = 0,05kg ms^-1 et P₂ = m₂v₂ =0,1×2 = 0,2kg.m.s^-1
a) représentation des quantités de mouvement \overrightarrow{P_2} et \overrightarrow{P_1} échelle

b) les 2 solides étant pseudo-isolé le mouvement du centre d’inertie du système {S_1;S_2 } est un mouvement rectiligne uniforme dont le vecteur vitesse \overrightarrow{V_G} même direction et même sens que \overrightarrow{P_2} et \overrightarrow{P_1}
\overrightarrow{P}=\overrightarrow{P_2} + \overrightarrow{P_1} et \overrightarrow{P_1} ont même direction et même sens donc
\overrightarrow{P}= \overrightarrow{P_1} + \overrightarrow{P_2} AN P=  0,05 kg.m.s^-1 + 0,2 kg.m.s^-1=0,25 kg.ms^-1
La quantité de mouvement de l’ensemble est donnée par P= ( m₁+m₂) V_G
\overrightarrow{V_G} =\dfrac{P}{m_1 + m_1} AN \overrightarrow{V_G} = \dfrac{0,25}{0,1 + 0,05} = 1,66 m.s^-1
\overrightarrow{P_2} et \overrightarrow{P_1} sont de sens contraire

le mouvement du centre d’inertie de l’ensemble (S₁ + S₂) est un mouvement rectiligne uniforme dont \overrightarrow{V_G} a même direction et même direction et même sens que \overrightarrow{P_2} donc
P= P₁-P₂ = 0,2 kg.m.s^-1 – 0,05 kg.m.s^-1 = 0,15 kg.m.s^-1
\overrightarrow{V_G} = {P}{m_2 + m_1} AN V_G = 1 m.s^-1

Exercice n° 3

Considérons le cas le plus simple où le canon est disposé horizontalement ; le système {obus;canon } n’est pas isolé il est soumis à son poids et se trouve en contact avec le sol. Nous admettons cependant que, dans ce cas on peut considérer le système comme pseudo-isolé.
Avant le tir la quantité de mouvement du canon est nulle. \overrightarrow{P} =\overrightarrow{0}
Après le tir \overrightarrow{P} = M\overrightarrow{V} + m\overrightarrow{v}
Il y’a conservation de la quantité de mouvement car le système est pseudo-isolé M\overrightarrow{V} + m\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}
\overrightarrow{V} =-\dfrac{m}{M}\overrightarrow{V} la vitesse du canon est de sens opposé à celle de l’obus.
Soit V =\dfrac{m}{M} V AN V= \dfrac{10}{1000} \times 750 = 7,5m.s^{-1}

Exercice n°4

1) Les wagons sont en translation au sol ;
Avant le choc \overrightarrow{P} = m_1\overrightarrow{v_1} + m_2 \overrightarrow{v_2} avec \overrightarrow{v_2}= \overrightarrow{0} d’où \overrightarrow{p} =m_1 \overrightarrow{v_1}
Après le choc \overrightarrow{P}’ = (m_1 + m_2 )\overrightarrow{v_G}
Il y a conservation du vecteur quantité de mouvement car les deux système sont pseudo-isolés
\overrightarrow{P} =\overrightarrow{P}’ \leftrightarrow m_1\overrightarrow{v_1} =( m_1 + m_2) \overrightarrow{v_G}
Projetons cette expression sur l’axe horizontal tel que \overrightarrow{v_1}= v_1 \overrightarrow{i} on obtient alors
m_1 v_1=((m_1 + m_2) V_G \leftrightarrow V_G=\dfrac {m_1}{m_1 + m_2} v_1 AN: VG = 6, 25 km.h-1
2) \overrightarrow{v_2} a même sens que \overrightarrow{v_1} alors \overrightarrow{P}=m_1 \overrightarrow{v_1} + m_2 \overrightarrow{v_2} et \overrightarrow{P}’ =(m_1 + m_2) \overrightarrow{V_G} d’après la conservation du vecteur quantité de mouvement
m_1 \overrightarrow{v_1} + m_2 \overrightarrow{v_2}=(m_1 + m_2) V_G et par projection sur l’axe horizontal tel que \overrightarrow{v_1}= v_1 \overrightarrow{i} on obtient
m_1 v_1 + m_2 v_2=(m_1 + m_2] V_G soit V_G= \dfrac{m_1 v_1 + m_2 v_2} {m_1 + m_2} AN:V_G=\dfrac{50\times 10 + 30 \times 4}{50 + 30 }
3) Le second wagon a un mouvement contraire
m_1 \overrightarrow{v_1}+ m_2 \overrightarrow{v_2} =(m_1 + m_2)\overrightarrow{v_G} et par projectionsur la direction commune aux vecteurs vitesses on obtient m_1 v_1 – m_2 v_2= (m_1 + m_2) V_G soit

V_G=\dfrac{m_1 v_1 – m_2 v_2}{m_1 + m_2} AN V_G= \dfrac{50\times 10 – 30\times4}{50+30}=4,75km.h^-1

Exercice n°5

On considère que les systèmes sont pseudo-isolés.
Avant le choc

\overrightarrow{p}= m_p.\overrightarrow{V_1} car \overrightarrow{V_2} = \overrightarrow{0}
Après le choc
\overrightarrow{P}=m_p.\overrightarrow{V_1}’ + m_{He}.\overrightarrow{V_2}’
D’après la conservation du vecteur quantité de mouvement  on obtient

\overrightarrow{V_1}=m_p.\overrightarrow{V_1}’ + m_{He}.\overrightarrow{V_2}’ (1)
1) \overrightarrow{V_1} et \overrightarrow{V_1}’ ont même direction donc \overrightarrow{V_2}’ a même direction que \overrightarrow{V_1} et \overrightarrow{V_1}’
2)Suivant la direction commune on obtient
m_p \overrightarrow{V_1}= -m_p.\overrightarrow{V_1}’ + m_{He}.\overrightarrow{V_2}
Soit m_p(V_1 + \overrightarrow{V_1}’)=m_{He}\overrightarrow{V_2}’ \to \dfrac {m_{He}}{m_p}= \dfrac{V_1 + V_1′}{V_2} AN: \dfrac{m_{He}}{m_p}=4

Exercice n°6

Les deux solides sont considérés comme pseudo isolés. Le référentiel d’étude est le référentiel terrestre supposé galiléen. Avant le choc \overrightarrow{P} = \overrightarrow{P_1} + \overrightarrow{P_2} =m_1 \overrightarrow{V_1} + m_2 \overrightarrow{V_2}
Après le choc \overrightarrow{P}’ = \overrightarrow{P_1}’ + \overrightarrow{P_2}’ =m_1 \overrightarrow{V_1}’ + m_2 \overrightarrow{V_2}’
D’après la conservation du vecteur quantité de mouvement
\overrightarrow{P} = \overrightarrow{P}’ \leftrightarrow m_1 \overrightarrow{V_1} + m_2 \overrightarrow{V_2} =m_1 \overrightarrow{V_1}’ + m_2 \overrightarrow{V_2}’
Ainsi si \overrightarrow{v_1} ; \overrightarrow{v_2}; \overrightarrow{v_2}’ ont la même direction alors \overrightarrow{v_1}’ possède la même direction que la direction commune aux trois  vecteurs
Par projection sur la direction commune et en choisissant un vecteur unitaire \overrightarrow{i}  tel que

\overrightarrow{v_1} =v_1 \overrightarrow{i} puis on considère dans un premier temps que   \overrightarrow{v_1}’ a même sens que \overrightarrow{v_1}  cela conduit à   m_1 v_1 – m_2 v_2=m_1 v’_1 + m_2v’_2 d’où

v_1’=- \dfrac{m_2 v_2′ + m_2v_2 – m_1 v_1}{m_1} AN: v_1’= – \dfrac{0,065\times 1,6 + 0,065 \times 2 – 0,1\times 1}{0,1}

v_1’=-0,334m.s^{-1} cette valeur étant négative \overrightarrow{v_1}’ a même direction mais de sens contraire à \overrightarrow{v_1} et de valeur \overrightarrow{v_1}’=0,334m.s^{-1}

Exercice n°7

Les 2 systèmes sont considérés comme pseudo-isolé et le référentiel d’étude est le référentiel lié à la terre. Représentons dans un repère orthonormé les deux véhicules : le camion de masse
M₂  = 5tonnes se déplaçant suivant l’axe  X’X et la camionnette de masse M₂= 2 tonnes se déplaçant suivant (Y’ ;Y)
Quantité de mouvement du système avant le choc \overrightarrow{p}=M_1 \overrightarrow{V_1} + m_2 \overrightarrow{V_2}
Quantité de mouvement du système après le choc \overrightarrow{p}=(M_1 + M_2) \overrightarrow{V_G}
Le système étant pseudo-isolé il conservation de la quantité de mouvement                                             
\overrightarrow{p}=\overrightarrow{p}’ \leftrightarrow M_1 \overrightarrow{V_1} + m_2 \overrightarrow{V_2}=(M_1 + M_2) \overrightarrow{V_G} projetons cette relation sur les axes
Suivant X’X :   0 + M_2 V_2 =  (M_1 + M_2) .V_G . sin \theta   (1)
Suivant Y’Y : M_1 V_1 + 0 =  (M_1 + M_2) .V_G . cos \theta (2)

\dfrac{(1)}{(2)} \leftrightarrow \dfrac{M_2 V_2} {M_1 V_1} = tan \theta =\dfrac {5 \times 10}{2 \times 30}= 0,83 soit \theta=39,7°
Vitesse de l’ensemble après le choc M_2 V_2=  (M_1 +M_2) .V_G . sin   \theta donne VG= \dfrac{M_2 V_2} {(M_1 + M_2) sin\theta} = \dfrac{5 \times 10} {7\times 0,064}= 11,2 km. h^{-1}

Remarque
A partir  d’une construction graphique on peut résoudre le problème
P_2 =5t \times 10km.h^{-1}=50t.km.s^{-1}
P_1=2t \times 30km.h^{-1}=60t.km.h^{-1}
\overrightarrow{P} = \overrightarrow{P_1} + \overrightarrow{P_2}=\overrightarrow{P’}
1cm \to 1t.km.h^{-1}

Exercice n°8

Les 2 systèmes sont pseudo-isolés  
Quantité de mouvement avant  le choc  \overrightarrow{P} = m_1 \overrightarrow{v_1}
Quantité de mouvement après le choc \overrightarrow{P’} = \overrightarrow{P_1}’ + \overrightarrow{P_2}’= m_1 \overrightarrow{v_1}’ + m_2 \overrightarrow{v_2}’
\overrightarrow{P} = \overrightarrow{P}’ \leftrightarrow m_1 \overrightarrow{v_1}= m_1 \overrightarrow{v_1}’ + m_2 \overrightarrow{v_2}’ (1)

Aussi cos\beta= \dfrac{v’ {2x}}{v_2′} \leftrightarrow v’ {2x}= V’_2 cos\beta

Aussi sin\beta= \dfrac{v’ {2y}}{v_2′} \leftrightarrow v’ {2y}= V’_2 sin\beta

Projection de la relation (1) sur les axes

Sur X'X \begin{cases}m_1v_1= m_1v'_{1x} + m_2 v'_{2x}\\ 0= m_1v{1'y} - m_2v_{2'y}\end{cases} \begin{cases}m_1v_1= m_1v_{1}'cos\alpha + m_2 v_{2}' cos\beta\\ 0= m_1v_1'sin\alpha - m_2v_{2'}sin\beta\end{cases}

Si m_1=m_2 alors

\begin{cases}0= m_1v'_{1}sin\alpha - m_2 v_{2}' sin\beta\\ v_1= v_1'cos\alpha + v_{2'}cos\beta\end{cases}

v_1’=v_2\dfrac{sin\beta}{sin\alpha} donc v_1=v_2 sin\beta. \dfrac{cos \alpha}{sin \alpha} + v_2’cos\beta d’où v_2′ (sin\beta.{cos\alpha}{sin\alpha} + cos \beta)=v_1

v’_2=\dfrac{v_1}{cos\beta + sin\beta \times \dfrac{cos \alpha}{sin\alpha}} An v_2’=\dfrac{10}{cos30° + sin30° \times{cos60}{sin60}}; v’_2=8,66cm.s^{-1}; v’_1=5cm.s

CHAPITRE II L’ENERGIE CALORIFIQUE

                 I – LES DIFFERENTES FORMES D’ENERGIE

1) Définition et unités
On dit qu’un système possède de l’énergie lorsqu’il peut fournir du travail au milieu extérieur
Ainsi un système possède de l’énergie s’il est capable de produire les transformations suivantes telle que :
-Elever la température d’un corps
-Faire circuler un courant à travers un conducteur
-Mettre un corps en mouvement…
Exemples : Les systèmes (gaz butane + air);  (pile); (ressort tendu) possèdent de l’énergie.
Dans le système International d’unité l’énergie s’exprime en joule (J)

a) Les formes d’énergie
D’une manière générale, un système possède de l’énergie sous forme mécanique note E_M et sous forme d’énergie interne noté  U_int

b) L’énergie  Mécanique  E_M
Elle se présente sous 2 formes :
L’énergie cinétique notée Ec : c’est l’énergie que possède un corps en mouvement. Elle dépend de la vitesse v.
L’énergie potentielle Ep : elle comprend l’énergie  potentielle de pesanteur  qui dépend de la position élevée par rapport au sol d’un objet et de l’énergie potentielle élastique due  à l’élasticité d’un ressort ou d’un corps élastique

c)L’énergie interne U_int
Elle est liéé à la nature microscopique et comprend :
-Energie d’agitation thermique (Energie calorifique) qui est due à l’énergie cinétique microscopique ; la grandeur caractéristique est la température.
 -Energie chimique : elle est due à la nature des liaisons chimiques.
Exemple : les combustibles possède de l’énergie qui se manifeste au cours d’une combustion par un dégagement de chaleur. Aussi les réactions chimiques qui ont lieu dans une pile permettent de transformer l’énergie par travail électrique.
-Energie nucléaire : elle est due à la nature des liaisons dans le noyau des atomes, cette énergie est libérée au cours des réactions dites nucléaires.
– Energie liée à l’état physique : elle est due à la nature des liaisons physiques dans les solides ; les liquides et les gaz. Ainsi au cours d’une condensation il y’a libération d’énergie sous forme thermique.

2) L’énergie totale d’un système
L’énergie totale d’un système est égale à la somme de l’ensemble de ses formes d’énergie

E  =     E_M  + U_int     =    Ep + Ec   +   U_int

3) Transfert d’énergie
L’énergie peut être  transférée  sous diverses formes :

                       a)Transfert par rayonnement
L’énergie du soleil nous par vient par les rayons du soleil ; cela est du à la nature électromagnétique du rayonnement. On note Wray  l’énergie transférée par rayonnement

                           b)Transfert par chaleur
L’énergie transférée par chaleur provoque Une variation de température ou un changement d’état.
On note Q la quantité de chaleur transférée.

                          c)Transfert par travail électrique
Ce type de transfert a lieu quand un courant circule à travers un circuit. On note Wél l’énergie transférée par travail électrique

                         d)Transfert par travail mécanique
Une force dont le point d’application se déplace dans sa propre direction, transfert l’énergie sous forme mécanique, on note W ou W_méc  l’énergie mécanique  transférée. 

4) Algébrisation des transferts d’énergie
Un transfert d’énergie  est parfaitement défini par son sens et la valeur de l’énergie transférée. On utilise la convention suivante.
-Toute énergie reçue par un système est comptée positivement.
-Toute énergie cédée par un système est comptée négativement.

                           5) Convertisseur d’énergie

Un convertisseur d’énergie est un système permettant de transformer une forme initiale d’énergie (énergie reçue) en d’autre forme d’énergie (énergie cédée).Nous représentons les divers échanges d’énergie par un diagramme d’énergie ou chaine énergétique.

• Les réservoirs ou stocks d’énergie sont représentés par des carrés.
•  Les convertisseurs sont représentés par des cercles.
• Les échanges d’énergie entre les réservoirs et les convertisseurs par des flèches.

L’énergie utilisée : c’est la quantité d’énergie transférée au système et convertie en d’autres formes.
L’énergie utile : c’est la quantité d’énergie intéressante transformée.
On définit ainsi le rendement d’un convertisseur comme étant le rapport entre  L’énergie utile et  l’énergie utilisée

 Ainsi le rendement d’une chaîne énergétique est égal  au produit des rendements
n=n_1 \times n_2 \times…\times n_n

                 II- TRANSFERT D’ENERGIE PAR CHALEUR

                        1-Notion de chaleur

a) Première expérience

Plaçons un récipient contenant de l’eau sur la flamme d’un brûleur. La température de l’eau augmente. Nous dirons que le gaz en brûlant à cédé de la chaleur à l’eau .Eteignons le bruleur.la température de l’eau diminue .L’eau, en se refroidissant, a cédé de la chaleur au milieu extérieur.

b) Deuxième expérience
Portons maintenant l’eau à ébullition. Nous constatons que la température reste constante pendant toute l’ébullition .
L a vaporisation de l’eau exige  pourtant de la chaleur puisque l’ébullition cesse dès que nous éteignons le brûleur, la chaleur reçue par l’eau n’a pas dans ce cas servi  à élever sa température mais à changer son état physique.

C) Conclusion
Un corps qui reçoit où cède de la chaleur subit ;
-soit une variation de température sans changement d’état
– soit un changement d’état physique sans variation de température

              2- Mode de transferts

Lorsque deux corps  A( à la température T_A)et B (à la température T_B) sont en contact l’un avec l’autre tels que T_A >T_B la chaleur passe spontanément du corps  A vers le corps B jusqu’à ce que la température des 2 corps soit égale à  Te appelé température d’équilibre.
Les modes de transfert par chaleur sont :

                     a)La conduction
Les particules qui constituent le corps chaud ont, du fait de sa température plus élevé, des vitesses supérieures à celle des particules constituant le corps froid. Par suite des chocs, cette agitation thermique est transmise de proche en proche  .Cette transmission se fait jusqu’à ce que la température des deux corps soit égale. L’équilibre thermique est alors atteint

                     b)La propagation par convection
On appelle  convection le mouvement pris par un fluide, dû aux différences de température entre les différentes parties du fluide, les parties chaudes ont tendance à monter, car elles ont de plus faibles masses volumiques que les parties froides.

REMARQUE
Des quantités considérables de chaleur nous sont envoyées par le soleil à travers le « vide » planétaire .ce type de transfert est  dû à la nature du rayonnement.

                III-LES MESURES DES QUANTITES DE CHALEUR (COLORIMETRE)

                     1)Les colorimètres
La colorimétrie est la mesure des quantités de chaleur. Elle s’effectue dans les enceintes thermiquement isolantes, c’est-à-dire qui empêchent tout échange thermique avec le milieu extérieur .Un tel milieu est appelé  ENCEINTE ADIABATIQUE
L’enceinte adiabatique utilisée pour la mesure des quantités de chaleur est appelée CALORIMETRE
Ex : calorimètre de Berthelot

                    2)Unité de la quantité de chaleur
La quantité de chaleur, notée généralement Q, s’exprime avec la même unité que le travail :
Le joule (J)
Ex :En biologie on utilise une unité usuelle : le calorie (cal) .1cal=4 ,186 J

                 3)Principe d’échange
Plaçons à l’intérieur d’un calorimètre deux corps A et B à des températures différentes .Ces corps échangent leur chaleur jusqu’à ce qu’ils soient en équilibre thermique.
Soit  Q ₁ et Q₂ les quantités de chaleur échangée par A et B qui sont des grandeurs algébriques. Il n’ya aucun échange d’énergie avec le milieu extérieur la quantité de chaleur perdue par l’un des corps est nécessairement gagnée par l’autre.
Chaleur massique
La quantité de chaleur fournie à un corps de masse m pour élever sa température de  θ₁ à θ₂  est proportionnelle à sa masse. Le coefficient de proportionnalité dépend de la nature du corps ; on l’appelle chaleur massique  ou  capacité thermique massique.
La chaleur massique d’un corps homogène noté   c  est la quantité de chaleur qu’il faut fournir à un kilogramme de ce corps pour élever sa température d’un kelvin.
Dans le système international d’unités la chaleur massique s’exprime en joules par kilogramme et par kelvin        (J.kg^-1.K^-1)

                 4)  L’expression de la quantité de chaleur échangée

                    a)Cas d’une variation de température sans changement d’état
La quantité de chaleur  Q nécessaire pour élever la température d’une masse m  de

\Delta \theta =\theta_2 -\theta_1   est proportionnelle à la chaleur massique C du corps et à la masse m .
Q a pour expression
Q : quantité de chaleur en joule (J)
Q=m \times c \times (\theta_2 -\theta_1) m: masse du corps en kg
C : chaleur massique en J. kg K¹ ou J .kg¹. °C^-1

\Delta \theta =\theta_2 -\theta_1 variation de température en K ou  ^o C

Capacité calorifique
De la relation précédente on peut  écrire 

                 b) Cas d’un changement d’état d’un cops pur ; chaleur latente

Q=C \times (\theta_2 -\theta_1)
ou le produit     C = m . c    est appelé capacité calorifique  on  l’exprime en joules par degré Celsius  ou en joules par kelvin (J .C ¹ou J.K^-1)
pour un système formé de plusieurs  corps de masse m ₁ ;m₂ ;m ₃— m₂  de chaleurs massiques respectives C₁ ;C ₂ ;C ₃ —C _n alors la capacité calorifique du système vérifie la réalité calorifique du système vérifie la relation.

C= m_1 C_1 +m_2 C_2 + …. m_n C_n= \Epsilon_{i=1}^n =m_ic_i 
le  transfert   d’énergie  par  chaleur   lors  d’un        changement  d’état  d’une   masse m 
d’un  corps pur  ,sous  pression  et  une  température  donnée  est   proportionnel  à  sa  masse
Q=m .L
La constante de  proportionnalité  L est  appelée  chaleur   latente  de  changement  d’état
Elle s’exprime  en  joule  par   Kilogramme (j. K g ^-1)

Fusion-  solidification
La  chaleur  latente  de  fusion  L _f  d’un  corps  pur  solide est   la  quantité  de  chaleur  qu’il  faut
Fournir  à  une  unité  de  masse  de  ce corps  pris  a  sa  température  de  fusion  sous  une  pression
Donnée ,pour  l’amener  entièrement   a  l’état  liquide, a la même  température  et  sous  la même  pression.

                       Q =  m. L_f                       Q   quantité  de  chaleur  en  J

                                                            m   masse  du  corps  pur en kg

                                                             L_f    chaleur  latente  de  fusion en J.kg^-1

Réciproquement  la  quantité  de  chaleur cédée  par  une  masse  m de  liquide  lorsqu’elle  se solidifie à  température  constante  vaut 
Q    =   m. L_s     avec   L_s =  L_f       L_S  désigne  la  chaleur   latente  de  solidification   du  corps  pur  considér
Vaporisation  –   condensation
La  chaleur  latente   de  vaporisation  L_V  d’un  corps  pur  liquide  à la  température  constante. θ  est  la  qualité  de  chaleur  qu’il  faut  fournir   à  une unité de mase de ce corps pour le transformer entièrement en  vapeur . La pression de la vapeur au dessus du liquide étant maintenue constante ainsi la quantité de chaleur qu’il faudra fournir à une masse  m de liquide pour transformer  entièrement en vapeur à la température  θ sera égale.

                              Q= m. L_v

Réciproquement, la quantité de chaleur cédée au milieu extérieur par une masse  m de gaz lorsqu’elle se condense à température constante set

            Q =m.L_L avec    L_v =-  L_L

L _Ldésignant la chaleur latente de liquéfaction du gaz considèré

Activité N°1 : détermination  de la capacité calorifique d’un calorimètre

On utilise un calorimètre  du type d’Arsonval –Dewar) qui contient  2 parois à verre argenté pour limiter  les transferts par rayonnement. Les  2 parois sont séparées par le vide afin de limiter la conduction .L’ensemble supporté par une couronne isolante en matière plastique .Ses orifices percés dans le couvercle permettent d’introduire un agitateur et un  thermomètre.
Pour être précis on pèse la masse du calorimètre et de ses accessoires puis on introduit une masse m ₁ d’eau. La température de l’ensemble est θ_1. La mase m ₁ est déterminée en pesant l’ensemble (calorimètre + eau) puis en faisant une différence.
On y introduit de l’eau à la température θ₂ et de masse m₂ que  l’on détermine en pesant à nouveau l’ensemble. Agiter jusqu’à l’équilibre thermique puis noter la température d’équilibre θ.
EQUATION CALORIMETRIQUE
Soit c _eau la chaleur massique de l’eau, C la capacité calorifique du calorimètre.
Les corps froids sont constitué de : calorimètre de capacité calorifique C et une masse m₁ d’eau, l’ensemble à la température d’équilibre θ_1.
Le corps chaud est constitué de l’eau chaude à la température d’équilibre θ₂.
L’eau chaude cède de la quantité de chaleur Q₂ (Q₂< 0) telle que Q₂= m₂c_eau (θ₃-θ₂)
Les corps froids reçoivent la quantité de chaleur Q₁ (Q₁> 0)  Q₁= m₁ c_eau (θ₃-θ₁) + C(θ₃– θ₁)
L’enceinte étant adiabatique, l’équation calorimétrique s’écrit
Q₁ + Q₂ = 0  soit   m₁ c _eau  (θ₃-θ₁) + C(θ₃– θ₁) + m₂ c_eau (θ₃-θ₂) = 0  soit

              C=-\dfrac{m_1c_{eau}(\theta_3 -\theta_1) + m_2 c_{eau}(\theta_3 – \theta_2)}{\theta_3 -\theta_1}

Remarque : la valeur en eau d’un calorimètre ; est la masse qui récevant la même quantité de chaleur que le  calorimètre ; subirait la même élevation de température que lui.

C = \mu c   =>   \mu=\dfrac{C}{c}; \mu      s’exprime en  kilogramme

Activité n°2 : La mesure d’une chaleur massique

La capacité calorifique C du calorimètre ayant été déterminée on se propose de déterminer la chaleur massique d’un bloque métallique de masse connue.
On dispose d’un calorimètre et de ses accessoires dont on  connaît la capacité calorifique. On introduit une masse m₁ d’eau ; l’ensemble se stabilise à la température θ₁.
On introduit dans le calorimètre le métal ayant été préalablement chauffé dans un four thermostaté de température θ₂. Agiter légèrement ; lorsque la température se stabilise, les transferts de chaleur à l’intérieur du calorimètre sont achevé ; relever la température θ₃.
Équation calorimétrique
Le métal chaud cède la quantité de chaleur  Q₂=m₂ c_m (θ₃-θ₂)
Les corps froids reçoivent la quantité de chaleur Q₁= m₁ c _eau  (θ₃-θ₁) + C (θ₃– θ₁)
L’enceinte étant adiabatique l’équation calorifique s’écrit Q₁ + Q₂ = 0
On obtient alors m₂ c_m (θ₃-θ₂)  +  m₁ c _eau  (θ₃-θ₁) + C  (θ₃– θ₁) = 0

Activité 3 : mesure d’une chaleur  latente de fusion

On dispose d’un calorimètre de capacité thermique C connue, On y verse une masse m1 d’eau ; on agite et on attend que l’ensemble se stabilise à la température θ₁. par ailleurs on sort des cubes de glace d’un réfrigérateur et on les laisse fondre partiellement dans un récipient de sorte que la température des glaçons soit 0°C ; On sèche quelques morceaux de glaçons avec un papier absorbant. On les introduit alors dans le calorimètre que l’on ferme. Lorsque l’ensemble se stabilise et que la glace est entièrement fondue on mesure la température finale θ₃ à l’équilibre thermique. Un nouveau pesé du calorimètre permet d’obtenir par différence ; de la masse m₂ de la glace introduite.
Equation calorimétrique
L’eau, l’intérieur du calorimètre et les accessoires cèdent la quantité de chaleur
Q₁ = m₁ c _eau (θ₃-θ₁) + C (θ₃– θ₁)
La quantité de chaleur Q₂ reçue par la glace se compose de
Q₂’=m₂L_f (chaleur nécessaire pour faire fondre la glace) ; et de
Q₂’’ = m₂c_eau (θ₃-θ₂)= m₂c_eau θ₃ car θ₂=0 Q₂’’est la quantité de chaleur nécessaire pour faire passer l’eau issue de la fusion de la glace de 0°C à θ₃ d’où
Q₂ = m₂L_f + m₂c_eau θ₃ ; l’enceinte du calorimètre étant adiabatique et l’expérience étant réalisée à pression constante. Q₁ + Q₂ = 0 soit
m₁ c _eau (θ₃-θ₁) + C (θ₃– θ₁) + m₂L_f + m₂c_eau θ₃ =0 soit
L_f = – \dfrac{[m_1 c_{eau}( \theta_3 – \theta_1) + c(\theta_3 – \theta_1) + m_2 c {eau} \theta_3]}{m_2}
Quelques chaleurs latentes de fusion

EXERCICES RESOLUS

Sauf indication contraire on prendra c_eau = 4180J.kg-¹°.C^-1

Exercice n°1

1) Calculer la quantité de chaleur nécessaire pour élever la température d’une tonne d’eau de 20°C à 80°C
2) Dans un radiateur, l’eau circule dans les tuyaux à la température de 70°C et en ressort à la température de 35°C. le débit est 2 l.min^-1 Calculer la quantité de chaleur Q Cédée chaque minute par l’eau au milieu extérieur.

Exercice n°2

1) On mélange 200g d’eau à 50°C et 120g d’eau à 80°C. Quelle est la température finale du mélange ?
2) Quels volumes d’eau respectivement à 20°C et à 75°C faut-il mélanger pour obtenir dans un baignoire 100 L d’eau à 37°C.La capacité calorifique du calorimètre est négligée

Exercice n°3

1) Un calorimètre contient une mase m1=150g d’eau à la température θ₁ =42,8°C.On y verse m₂=150g d’eau à la température θ₂ =15,5°C et on observe que la température finale s’établit à θ_f = 29,8°C ; calculer la capacité thermique du calorimètre.
2) Le calorimètre contient maintenant une masse m₃=200g de benzène, à la température θ₃ = 20,3°C ; On y plonge un bloque d’aluminium de masse m₄=250g ; venant d’être maintenu longuement dans une enceinte entourée de glace fondante. La chaleur massique de l’aluminium vaut C_Al = 900J.Kg.°C^-1.Déterminer la chaleur massique C_b du benzène , si la température finale est θ_f = 13,1°C.

Exercice n°4

Dans un calorimètre, placer une masse m d’eau attendre l’équilibre thermique puis relever la température θ₁: introduire rapidement un cylindre de cuivre de masse m₂ sortant d’une étuve thermostatée à la température θ₂ attendre l’équilibre thermique. Relever la température θ₃ ; recommencer l’expérience en changeant la masse m et les températures θ₁ et θ₂.
1) Trouvez l’équation calorimétrique et ses accessoires en fonction de m₁ ; m₂; θ₁; θ₂; et θ₃
2) Au cours d’une séance de travaux pratique on a relevé les mesures suivantes.

a) Ecrire numériquement les deux équations reliant X=C_cuivre et Y=C
b) En déduire C_cuivre et C

Exercice n°5

1)Considérons un glaçon de masse 50g à la température de -20°C sous la pression atmosphérique (1atm) Quelle quantité de chaleur doit- on fournir au glaçon pour obtenir 50g d’eau à 0°C ?
2) On lui fournit une quantité de chaleur de 5,4 kJ. Quelle est la masse d’eau liquide obtenue ?
3) Quelle quantité de chaleur doit-on fournir pour obtenir 50g d’eau à 20°C à partir de 50g de glace prise à -20°C.
4) Quelle quantité d’eau à la température de 25°C faut-il verser sur un glaçon de 20g à la température de 0°C pour obtenir uniquement de l’eau liquide à 0°C

 c_g =2,1kJ.kg^-1.K^-1 ;     L_f =330kJ.kg^-1

Exercice n°6

Dans un thermos (milieu adiabatique isolant) contenant 30cm³ d’eau à la température
θ₁=20°C, On plonge un glaçon de masse m₂=5g à la température initiale θ₂=-10°C. Calculer la température à l’équilibre
On donne : Chaleur massique de la glace cg=2,1.103J.kg^-1K^-1
Chaleur latente de fusion de la glace L_f = 334kJ.kg^-1

Exercice n°7

Dans un calorimètre de capacité thermique négligeable, on introduit 200g d’eau, la température d’équilibre est de 40C ; on introduit un bloc de cuivre de 300g à -20°C, on agite jusqu’à ce que la température soit uniforme
1) Quelle est température finale ?
2) Montrer que si le cuivre était à -60°C, une partie de l’eau se congèle calculer cette masse d’eau congelée.
Données : C_cuivre=387 J/.kg/°c
Donner : chaleur latente de fusion de la glace : 335 kJ.kg^-1

POUR S’ENTRAINER

1. Dans une baignoire on verse 90 L d’eau à 70°C au bout d’une heure la température de l’eau est de 45°C calculer la quantité de chaleur fournie par l’eau à l’environnement.
2. 1) On mélange 3 litres d’eau à 25°C avec 2 litres d’eau à 60°C quelle est la température finale si on néglige les pertes de chaleur.
   2) Quelle volume d’eau respectivement à 20°C et à 75°C faut -il mélanger pour obtenir 120 litres d’eau à 50°C.
3. On sort d’une étuve à 98°C un bloc de plomb de masse 90g ; on le plonge dans un calorimètre contenant de l’eau à 16°C la capacité thermique de l’ensemble ( Eau -calorimètre – accessoires ) est de 1670Jk^-1. calculer la capacité thermique massique du plomb sachant que la température est de 16,6°C .
4. Les parois d’un calorimètre ont une capacité calorifique égale à 50 J°C^-1 il contient 100g d’eau et 120g de fer. Quelle est la capacité calorifique totale de l’ensemble.
   Donnée C_fer=460J.kg^-1.°c ^-1.
5. La capacité calorifique d’un calorimètre a été trouvée égale à C = 42J.K^-1 on verse dans le calorimètre une masse m=200g de pétrole de chaleur massique C=1,67kJ.Kg^-1.k^-1 quelle quantité de chaleur doit-on fournir a l’ensemble pour élever sa température de15°C à 22°C
6. Un calorimètre contient 95g d’eau à 20°C , on ajoute 71g d’eau à 50°C .
   1) Quelle serait la température d’équilibre si l’on pouvait négliger la capacité calorifique du calorimètre.
   2) La température d’équilibre observée est de 31,3°C
   Calculer la capacité calorifique du vase et des accessoires.
   3)Dans le calorimètre contenant 100g d’eau à 15° C on plonge un échantillon métallique de masse 25g sortant d’une étuve à 95°c .la température d’équilibre est de 16,7°C. Calculer la chaleur massique du métal .
7. 1) On introduit dans un calorimètre contenant une masse m₁=200g d’eau à la température θ₁=16,3°C une masse m₂=100g d’eau à la température θ₂=30,5°C.La température finale est θ₃=20,7°C calculer la capacité calorifique du calorimètre .
   2)le calorimètre sert a mesurer la chaleur massique c_L d’un liquide .celui –ci de masse m_L=150g est préalablement porté à une température θ=42,3°C
   il est ensuite rapidement versé dans le vase calorimétrique contenant m₁=200g d’eau à θ₁=16,3°C .la température du mélange s’établit a θ₃=22,5°c
   calculer la chaleur massique c_L du liquide.
8. Un bloc d’argent de masse 300g porté au préalable à une température de75°C est introduit dans un calorimètre dont il élève la température de 15°C à17, 9°C .
   Un bloc de cuivre de masse 62,3g porté au préalable a 100°C et introduit dans le même calorimètre contenant la même masse d’eau provoque une élévation de température de 15°C à 16 ,4°C . On demande la chaleur massique de l’argent sachant que celle du cuivre est 398J.kg^-1°C^-1.
9. On veut refroidir un verre de jus de fruit pris à 30°C
   La capacité du verre et du jus est de 550 J°c^-1 ; on introduit alors une certaine masse m de glace à 0°C
   1) On admet qu’il n’y a d’échange de chaleur qu’entre la glace et le verre de jus de fruit : calculer la masse de la glace nécessaire ;
   2) La masse de la glace nécessaire est -elle supérieure ou inferieure à la valeur trouvée pourquoi ?.
   3) On considère que la glace introduite est 30g à -10°C ; quelle est la température finale à l’équilibre ?
   Données : chaleur latente de fusion de la glace 335kJ. kg^-1
   Cg= 2,1kJ.kg^-1. °C^-1
10. On admet que dans un calorimètre seul le vase intérieur (masse m₁ = 300g, capacité thermique massique
    C₁ =0,38 KJ Kg ^-1 K^-1) et l’agitateur (masse m₂ = 50g, capacité thermique massique C₂ = 0,90KJ kg ^-1 K^-1) sont susceptibles de participer aux échange thermique avec le contenu de l’appareil.
    1) Calculer la capacité thermique C du calorimètre
    2) Ce dernier contient 400g d’éthanol à la température θ₁ = 17,5°C, on y verse 200g d’eau à la température
    θ₂ =24,7°C et on note la température lorsque l’équilibre thermique est réalisé, soit t_e =20,6°C. En déduire la valeur de la capacité C de l’éthanol.
    Capacité thermique massique de l’eau C_e = 4,19 KJ Kg ^{– 1}k ^-1.
11. Dans un chauffe –eau à gaz ,l’eau circule dans un serpentin chauffé par la combustion du gaz ;l’eau entre dans le serpentin à 24°C et en sort à 70°C.
    Le débit du chauffe-eau est de10L .mn-1. Sachant que 75% de la chaleur résultante de la combustion du gaz sert à chauffer l’eau, déterminer le volume de gaz consommé par minute .
    Pouvoir calorifique du gaz : 4104 KJ /m³.
12. Pour déterminer la chaleur latente de vaporisation de l’eau, on réalise l’expérience suivante ;dans un calorimètre contenant initialement 500g d’eau à 20°C.On fait barboter de la vapeur d’eau à 100°C sous la pression de 1 bar. La vapeur se condense totalement ; au bout de quelques minutes on arrêté l’arrivée de vapeur .La température finale est de 42,2°C L’augmentation de masse du calorimètre est de 20g et la capacité thermique du calorimètre 160J.c^-1.Déterminer la chaleur latente massique de vaporisation de l’eau.
13. Un calorimètre renferme 200g d’eau à la température θ₁ =15,4 °C. On y introduit un cylindre d’aluminium de masse M = 80g préalablement porté dans une étuve à la température θ₂ = 86,8°C.
    La température d’équilibre se fixe à θ_e= 20 ,0°C
    On recommence l’expérience en plaçant, cette fois ,150g d’eau dans le calorimètre à la température d’équilibre θ’₁ = 15,8 °C, le même cylindre d’aluminium, désormais porté à la température θ’₂ =95,5°C est réintroduit dans le calorimètre. Le nouvel équilibre est caractérisé par la température θ’_e = 22,1°C.
    En déduire :
    1) La capacité thermique massique c de l’aluminium
    2) La capacité thermique C du calorimètre
    3) Quelle quantité de chaleur minimale faut-il mettre en œuvre pour fondre 1 tonne d’aluminium prise à une température initiale de 15°C ?
    Données -chaleur massique de l’eau : C_e =4,19kJKg _^-1 k ^-1
    -température de fusion l’aluminium : t_f = 660°C.
    – chaleur latente de fusion de l’aluminium à 660°C : L_f= 330kJKg ^-1
    14.1) Un calorimètre contient 200g d’eau à la température de 25,3 °C. on y verse 300g d’eau à la température de 17,1°C ; on observe que la température du mélange se stabilise a 20,9°C. Calculer la capacité calorifique du calorimètre
    2)Le calorimètre contient 500g d’eau à 20,9°C ;on y plonge un bloc de fer de masse 1kg ayant été longtemps maintenu dans un congélateur à -18°C ; la température finale s’établit à 14,2°C
    Calculer la chaleur massique du fer.
    15. Un calorimètre contient de l’eau à la température θ₁ = 18,3°C, sa capacité thermique totale a pour valeur
    C = 1350J .K ^-1.
    On introduit un bloc de glace, de masse m= 42g prélevée dans le compartiment surgélation d’un réfrigérateur à la température θ 2 = -25,5 °C. il y a fusion complète de la glace et la température d’équilibre est θ = 5,6°C
    On recommence l’expérience (même calorimètre même quantité d’eau initiale, même température), mais on introduit cette fois un glaçon de masse m’=35g à la température de 0°C. la nouvelle température d’équilibre est θ’= 8,8°C.
    Déduire des deux expériences précédentes
    1) La chaleur latente de fusion L_f de la glace
    2) La capacité thermique massique Cs de la glace
    3) On introduit un nouveau glaçon, de masse 43g, à la température -25,5° C, dans l’eau du calorimètre à la température θ’issue de la dernière expérience.
    Quelle est la température atteinte à l’équilibre thermique ?
    Reste-il-il de la glace ? Si oui, quelle est sa masse ?
    Donnée : Chaleur massique de l’eau liquide ce=4,19kJkg ^-1 k ^-1
    16.
    1) Un calorimètre contient 100g d’eau a 18° C. on y verse 80g d’eau a 60° C.
    Quelle serait la température d’équilibre si la capacité thermique du calorimètre et de ses accessoires était négligeable ?
    2) La température d’équilibre est en fait 35,9° C. en déduire la capacité thermique massique du calorimètre et de ses accessoires.
    Donnée : capacité thermique massique de l’eau : ce = 4,19 103J kg ^-1 k ^-1
    3) On considère de nouveau le calorimètre qui contient 100g d’eau à 18° C. on y plonge un morceau de cuivre de masse 20g initialement placé dans de l’eau en ébullition. La température d’équilibre s’établit à 19,4° C. Calculer la capacité thermique massique du cuivre.
    4) On considère encore le même calorimètre contenant 100g d’eau a 18° C. on y plonge maintenant un morceau d’aluminium de masse 30,2g et de capacité thermique massique 920Jkg^-1 k ^-1
    Déterminez la température d’équilibre
    5) L’état initial restant le même ; le calorimètre contenant 100g d’eau à 18° C, on y introduit un glaçon de masse 25g à 0°C
    Calculez la température d’équilibre
    Donnée : Chaleur latente de fusion de la glace à 0°C
    L_f= 3,34 103 J kg^-1 k ^-1
    6) L’état initial est encore le calorimètre contenant 100g d’eau a 18°C, on y introduit maintenant un glaçon de masse 25g provenant d’un congélateur a la température de -18°C. quelle est la température d’équilibre ?
    17.
    Un chauffe-eau comporte un serpentin dans lequel circule un courant d’eau chauffé par la combustion de propane. L’eau entre dans le serpentin à la température t₁=20°C et en sort à t₂=75°C. Le débit de l’eau est 15litres/minute. La chaleur molaire de combustion du propane est Qm=2200KJ/mol et son volume molaire est 24 litres/mole. Le compteur de gaz indique un volume V=270 litres de gaz utilisé durant cinq (5) minutes.
    a) Rappeler l’expression de la quantité de chaleur absorbée par un corps lorsque sa température passe de t₁°C à t₂°C.
    b) Déterminer la quantité de chaleur reçue par l’eau en 1 minute.
    c) Déterminer la quantité de chaleur produite par la combustion en 1 minute.
    d) En déduire le rendement du chauffe-eau.
    On donne : C (eau)=4,2KJ. Kg^-1. °C^-1
    18.
    Un Dewar renferme de l’eau à la température T₁=18,5°C. La capacité thermique du calorimètre de l’eau et des accessoires est de C_o=1700J°C^-1
    1) On introduit dans l’eau un morceau de glace pris dans un congélateur à la température t2=-17C. L’augmentation de la masse du calorimètre étant m=30g. Quelle est la température finale t2 à l’équilibre.
    2) On plonge ensuite dans le vase un morceau d’aluminium de masse 200g. Quelle doit être la température t’ de l’aluminium pour ramener la température dans le calorimètre à sa valeur initiale 18,5°C ?
    Chaleur massique de l’eau 4 190J Kg°C^-1
    Chaleur massique de la glace 2 100J. Kg°C^-1
    Chaleur massique de l’aluminium 880J. Kg^-1 °C^-1
    Chaleur latente de fusion de la glace 3,35.10⁵ J.kg^-1

SOLUTION DES EXERCICES

Exercice n°1

1)Quantité de chaleur nécessaire :
Q = m .c . (θ₂-θ₁) ; A N: Q = 1000 × 4180 × (80-20) Q= 2,51.10⁷J
2)Pour t = 1min V=D.t = 2L.min^-1 = 2L
La masse d’eau est : m = a× v =1kg/L×2L = 2kg
θ₁=70°C ; θ₂= 35°C
Q = m .c . (θ₂-θ₁) AN Q= 2 × 4,180× (35-70) Q= – 292,6 kJ
Cette quantité de chaleur est négative ; l’eau cède de la chaleur au milieu extérieur.

Exercice n°2

1) Au cours des échanges l’eau chaude ( m₂ = 120 g et θ₂ = 80℃ cède la quantité de chaleur Q₂ et sa température passe de θ₂ à θ_f soit Q₂ = m₂c_e(θ_f– θ₂) .L’eau froide ( m₁ = 200g ; θ₁ = 50°C) reçoit la quantité de chaleur Q₁ = m₁c_e ( θ_f – θ₁)
Considérant qu’il ya pas d’échange de chaleur avec le milieu extérieur Q₁+Q₂=0
Soit m₂c_e ( θ_f – θ₂)+ m₁c_e ( θ_f – θ₁) = 0 en développant l’expression
m₂c_e θ_f – m₂c_e θ₂+m₁c_e θ_f – m₁c_e θ₁=0 soit
m₂c_e θ_f + m₁c_e θ_f= m₂c_e θ₂ + m₁c_e θ₁ donc
θ_f =\theta_f=\dfrac{m_2 c_e \theta_2 + m_1 c_e \theta_1}{m_1 c_e + m_2 c_e} ; \theta_f=\dfrac{m_2 \theta_2 + m_1\theta_1}{m_1 + m_2} \theta_f = 61,25°C

2) On utilise le résultat trouvé au 1) on tire alors que m₂ θ₂+m₁ θ₁ = (m₁+m₂) θ_f
Sachant que pour l’eau 1L d’eau a une masse de 1kg on obtient le système suivant

\begin{cases} 75m_2 + 20m_1=3700\\m_1 + m_2 =100\end{cases}

En résolvant le système on trouve m₁=69,09 kg et m₂= 30,91kg

Exercice n°3

1) Soit C la capacité calorifique cherchée ; ce la chaleur massique de l’eau.
Le calorimètre et lamasse m1 d’eau cède la quantité de chaleur Q₁ pour passer de θ₁ à θ_f soit Q₁ = m₁ c_e(θ_f– θ₁) + C ( θ_f– θ₁)
La masse m₂ reçoit la quantité de chaleur Q₂ sa température passe de θ₂ à θ_f
Q ₂ = m ₂ ce ( θ_f– θ₂) et comme il n’y a pas d’échange avec le milieu extérieur.
Q₁+Q₂=0
(m₁c_e+C) ( θ_f – θ₁) + m₂c_e(θ_f – θ₂) = 0 soit C=\dfrac{m_2 c_e(\theta_f – \theta_2)}{\theta_1 – \theta_f} – m_1 c_e

AN: C=\dfrac{0,15 \times 4190 (29,8 – 15,5)}{42,8 _ 29,8}; C=62,9J°C^{-1}
2) Soit Q₁ la quantité de chaleur cédée par le corps chaud et Q₂ celle reçue par le corps froid.

An: c_b=-\dfrac{1}{0,2}[62,9 + \dfrac{0,25 \times 900 \times 13,1}{13,1 – 20,3}]=1732,375j.kg.°C^{-1}

Exercice n°4

1)Soit Q₁ la quantité de chaleur reçue par l’eau et le calorimètre
Q₁ = m₁ c_eau (θ₃-θ₁) + C (θ₃– θ₁) et Q₂ la Quantité de chaleur cédé par le cuivre
Q₂=m₂c_cuivre (θ₃-θ₂) considérant qu’il n’ y a pas eu d’échange avec la milieu extérieur
Q₁ + Q₂ = 0 ainsi m₁ c _eau (θ₃-θ₁) + C (θ₃– θ₁) +m₂c_cuivre(θ₃-θ₂) = 0
2)a) écrire numériquement les 2 équations.
1^ère expérience : 0,125×4180(20,6-16,5)+Y(20,6-16,5)+0,118X(20,6-88)
2^ème expérience : 0,1×4180 (23,7-20)+ Y(23,7-20)+ 0,118 X (23,7-75)
On obtient le système

\begin{cases}Y=1,9883x - 535,5625\\Y=1,63605x - 418\end{cases}

On obtient
b)Valeur de c_cuivre et de C
X=333,74 et Y= 128,027 soit c_cuivre =333,74.j .kg.^-1°C^-1 et C=128,027J.°C^-1
NB ces valeurs diffèrent des valeurs données par le fabricant qui est de
c_cuivre =380kJ.kg^-1 °C^-1 et C=160J.°C^-1 à cause des pertes d’énergie.

Exercice n°5

1) Quantité de chaleur à fournir
Soit Q1 la quantité de chaleur nécessaire à fournir au glaçon pour le faire passer de -20°C à 0°C(glace) et Q₂ la quantité de chaleur nécessaire pour faire fondre la glace
Q₁= m.cg( 0-(-20) )=20. m .cg et Q₂ = m. L_f
soit Q= 20.m. cg +m. Lf AN Q= 20 ×0,05×2,1.103+0,05×330000 ; Q = 18600 J
2) La masse d’eau liquide
On fournit Q’=5400J ; Q’<Q1 donc toute glace n’est pas fondue; or on a Q’>Q₁ donc le système contient de l’eau et de la glace à 0°C . soit m’ la masse d’eau liquide obtenue donc Q’= 20. m. cg+ m’ L_f d’où
m’=\dfrac{Q’ – 20.m.cg}{L_f} AN m’=10g
3)Quantité de chaleur
Considérons Q3 la quantité de chaleur nécessaire pour faire passer une masse m d’eau liquide de 0°C à 20°C , Q₃ = m ce ( 20-0) = 20.m.cg
La quantité de chaleur nécessaire pour obtenir 50g d’eau à 20°C est
Q=Q₁+Q₂+Q₃ = 20m.cg +m.L_f +20.m.c_e
AN : Q = 22100+16500+4180 soit Q=22780J
4)Quantité de chaleur pour obtenir de l’eau liquide.
Considérons Q₁ la quantité de chaleur reçue par la glace pour fondre entièrement.
Q₁ = mgL_f et Q₂ la quantité de chaleur cédé par l’eau pour passer de 25°C à 0°C(eau )
Q₂ = m_e.c_e.(0-25) = -25 m_e . c_e . Considérant qu’il n’ya pas eu d’échange de chaleur avec le milieu extérieurQ₁+Q₂=0 soit mgL_f – 25 .m_e c_e=0 soit
m_e = \dfrac{mgL_f}{25c_e} AN : m_e= 0,06315kg soit 63,15g

Exercice n°6

Température d’équilibre

Soit Q₁ la quantité de chaleur reçue par la glace pour passer de -10°C glace à 0°C eau
Q₁ = m₂cg(0+10)+ m_gL_f = 5.10^-3 . 2,1.10³ .10 + 5 .10^-3. 334.10³= 1775J
Calculer la quantité de chaleur cédée par l’eau pour se transformer en eau liquide à 0°C ;
Q₂=m₁ce(0-20) = -2508 J.
On constate que IQ₁I<IQ₂I donc l’ensemble sera un système finale contenant de l’eau liquide tel que 0 < θf < 20°C
soit Q₂’ La chaleur reçue par la glace pour passer de -10°C glace à θ_f (eau)
Q₂’= m₂cg(0+10) + m₂L_f +m₂ ce (θ_f – 0) et Q₁’ la quantité de chaleur cédée par l’eau liquide
Q₁’ = m₁ce (θ_f-20)
Considérant qu’il n’y a pas de perte d’énergie Q₁’+Q₂ ‘= 0 donc
m₂c₂ (0+10) + m₂L_f +m₂ c_e (θ_f – 0) + m₁ce (θ_f-20) =0
Soit
\theta_f=\dfrac{20m_1 c_e – 10m_2 c_g – m_2 L_f}{m_2 c_e + m_1 c_e}

\theta_f=\dfrac{20\times 30.10^{-3} \times 4,18.10^{3} – 10\times 5.10^{-3} \times2,1.10^3 – 5.10^{-3} \times 334.10^3} {(30 + 5)10^{-3} \times 4,18.10^3} ; \theta_f=5°C

Exercice n°7

1) Température finale
Soit Q₁’la quantité de chaleur nécessaire que doit absorber le cuivre pour élever sa température de -20°C à 0°C Q₁’ = m_cu c_cu( 0+20) = 0,3x387x20=2322 J
Et Q₂’ La quantité de chaleur que doit céder l’eau et le calorimètre pour que sa température passe de 4°C à 0°C(liquide) Q₂’ = 0,2×4,18×10³x(-4) = -3344J
IQ₁’’I<IQ₂’’I donc la température du mélange est telle que 0°C< θ_f<4°C
Q₁ est la quantité de chaleur reçue par la cuivre Q₁=m_cu c_cu (θ_f+20)
Q₂ est la quantité de chaleur cédée par l’eau Q₂= m_ec_e(θ_f -4)
Il n’ya pas eu d’échange de chaleur avec le milieu extérieur ainsi
Q₁+Q₂ = 0 m_cu c_cu (θ_f + 20) +me ce (θ_f – 4)= 0 d’où

\theta_f=\dfrac{-20m_{cu} c_{cu} + 4m_ec_e}{m_{cu} c_{cu} + m_e c_e}; \theta_f=\dfrac{-20 \times 0,3 \times 387 + 4\times 0,2 \times 4180}{0,3 \times 387 + 0,2 \times 4180}=1,07°C

2) Montre que si le cuivre était à -60°C une partie de l’eau se congèle et calculer la masse d’eau congelée
Q₁’’.= m_cu c_cu( 0+20) = 6966J
Q₂’’= 0,2×4,18×10³x(-4) = -3344J donc IQ₁I> IQ₂I donc une partie de l’eau se congèle et la température du mélange est 0°C ainsi
Q₁= m_cu c_cu( 0+20) et Q₂=m_ec_e (0-4)+ mg Ls considérant qu’il n’y a pas eu d’échange de chaleur avec la milieu extérieur m_cu c_cu( 0+20)+ m_ec_e (0-4) + m_g L_s

CHAPITRE III : L’ENERGIE MECANIQUE
I-ENERGIE CINETIQUE DE TRANSLATION
Solide en translation
Un solide en translation est un solide pour lequel l’ensemble de ses points à chaque instant a le même vecteur vitesse. On choisit le vecteur vitesse \overrightarrow{V_g} du centre d’inertie G comme étant la vitesse du solide.

2-Expression de l’énergie cinétique d’un système en translation rectiligne
L’énergie cinétique d’un solide est l’énergie qu’il possède du fait de son mouvement ; elle est égale au demi-produit de sa masse par le carré de sa vitesse
Ec=\dfrac{1}{2}.m.V_G ^2
EC : Energie cinétique en joule (J)
M : masse du solide en kg
V_G valeur de la vitesse du centre d’inertie du solide en m. s^-1

3-Effet d’une force sur l’énergie cinétique
a)Force parallèle au vecteur vitesse du solide
Considérons un mouvement de chute libre (mouvement dont la seule force qui agit sur le solide est son poids ; mouvement dans l’air où les résistances de l’air sont négligeables).
-Lançons un objet verticalement vers le haut, pendant la phase d’ascension il ralentit, son énergie cinétique diminue sa vitesse diminue

-Lâchons l’objet ; pendant son mouvement vers le bas il tombe de plus en plus vite suivant la verticale. Son énergie cinétique augmente.

Une force appliquée à un solide en translation et parallèle au vecteur vitesse ; modifie l’énergie cinétique du solide.

b)Force perpendiculaire au vecteur vitesse
Soit une boule de masse m reliée à un point fixe à l’aide d’un fil tendu. Quand la boule glisse sur une table horizontale parfaitement lisse, on constate que son mouvement est circulaire uniforme ; tant que le fil reste tendu. La valeur de sa vitesse ne varie pas donc son énergie cinétique ne varie pas.

\overrightarrow{R} + \overrightarrow{P} =\overrightarrow{0} donc \overrightarrow{R} et \overrightarrow{P} n’ont aucun effet sur le mouvement du

Toute force orthogonale au vecteur vitesse d’un solide en translation ne modifie pas l’énergie cinétique de celui-ci.
c) Force quelconque
Dans le cas d’une force \overrightarrow{F} quelconque, on peut à chaque instant décomposer la force en deux composantes :
Une composante tangentielle \overrightarrow{F_T} parallèle au vecteur vitesse qui fait varier l’énergie cinétique
Une composante normale \overrightarrow{F_N} perpendiculaire au vecteur vitesse et qui ne modifie pas l’énergie cinétique

Conclusion Lorsque l’énergie cinétique d’un système varie ; on dit que la force qui lui est appliquée effectue un travail ; Il y’a transfert d’énergie par travail mécanique de la force.
\overrightarrow{F}\overrightarrow{V}=\overrightarrow{0}\implies W(\overrightarrow{F}=0 IL n’ya pas de transfert d’énergie par travail.
\overrightarrow{F}\overrightarrow{V} \ne \overrightarrow{0}\implies W(\overrightarrow{F} \ne 0 IL ya transfert d’énergie par travail.

     II – BILAN ENERGETIQUE D’UN SYSTEME MECANIQUE

                1-Energie potentielle
a) notion  d’énergie potentille
Un corps du fait de sa position par rapport au sol, possède de l’énergie appelé Energie potentielle de pesanteur
Un ressort comprimé, un arc tendu, un fil de torsion possèdent de l’énergie appelé Energie potentielle Elastique
b) Expression de l’énergie potentielle de pesanteur
L’énergie potentielle de pesanteur d’un solide est l’énergie qu’il possède du fait de sa position élevée par rapport à la terre. L’énergie potentielle de pesanteur d’un corps de masse m placé dans un champ de pesanteur uniforme à l’altitude z a pour expression
E_P= m.g.Z_G + Constante
La constante est nulle lorsque la position de référence choisie est confondue avec l’origine des altitudes alors
E_P = m.g.Z_G
E_P : énergie potentielle de pesanteur en (J)
m : masse du corps en (kg)
Z : origine des altitudes en (m)

2-Energie mécanique d’un système:
On appelle système mécanique un système possédant :
Une énergie cinétique E_C par rapport à un repère donné
Une énergie potentielle E_P
On appelle énergie mécanique d’un système dans un référentiel donné la somme de son énergie cinétique relativement à ce repère et de son énergie potentielle.
E_M = E_C + E_p
Remarque : une de ces énergies peut être éventuellement nulle
3-système isolé
a)Rappels
Un système isolé est un système où il n’ya pas de transfert d’énergie avec le milieu extérieur. L’énergie totale d’un système isolé est constante.
E = E_C + E_P + U_int = E_M +U_in = cte
b)Système isolé conservatif
Un système est conservatif si son énergie interne reste constante.
Un système ne comportant aucun moteur thermique ou électrique, pour lequel il n y a pas de frottements est un système qui peut être considéré comme conservatif.
E = cst et U_int = cst
U système isolé est un système où il n’ya pas de transfert d’énergie avec le milieu extérieur. L’énergie totale d’un système isolé est constante.
E = E_C + E_P + U_int = E_M +U_in = cte
L’énergie mécanique d’un système isolé conservatif est constante
Notons E_M1 et E_M2 les énergies mécanique d’un système isolé conservatif aux instants t₁ et t₂
E_M1=E_M2 => E_P1 + E_C1 = E_P2 + E_C2
E_C1-E_C2 = E_P2-E_P1 => E_C2-E_C1 =-( E_P2-E_P1 )
On conclut que
ΔE_C = – ∆E_P
La variation d’énergie cinétique d’un système conservatif entre deux instant donnés est égale à l’opposée de son énergie potentielle entre ces deux instants.
Exemple
-un solide en chute libre est un système isolé conservatif.
-Une pendule oscillant sans frottement est isolé conservatif.
-Un solide glissant sur un plan incliné ans frottement est un système conservatif.
APPLICATION
Un solide tombe en chute libre du haut d’un immeuble de hauteur 40 m. Calculer sa vitesse juste avant l’impact avec le sol. On donne g = 9,8 N/kg ZA=40m

Le système étudié est l{Terre+solide de masse m }
Le référentiel d’étude est le référentiel terrestre.
Force appliquée : le poids \overrightarrow{P} qui est une force intérieure
Le système est isolé conservatif donc ∆E_C = – ∆E_P
\Delta E_c= \dfrac{1}{2} m V_s^2 car V_A=0
∆E_P =m g Zs –m g Z_A =- m g h
\dfrac{1}{2} m V_s^2 = m g h ↔ Vs=\sqrt{2gh} , AN VS=\sqrt{2\times 98 \times 40}= 28m.s^{-1}
C) Système isolé non conservatif
Un système isolé est non conservatif si son énergie interne varie
∆E_M = – ∆ U_int
L’énergie mécanique d’un système non isolé conservatif n’est pas constante. La variation de son énergie mécanique entre deux instants est égale à l’opposé de la variation de son énergie interne entre ces deux instants.
3-Un système non isolé
Un système est non isolé s’il existe des transferts d’énergie entre le système et l’extérieur
Soit un objet soumis en plus de son poids à une action mécanique extérieur autre que son poids, cette force est le siège d’un transfert de travail avec le milieu extérieur.
\Delta E= E_2 – E_1=\sum W_{1\to2}
Dans l’hypothèse où l’énergie interne du système reste constante :
ΔE = ∆E_M + ∆U_int = ∆E_M car ∆U_int = 0 d’où
\Delta E_M=\sum \overrightarrow{F}_{ex} (autre que le poids)
La variation entre deux instants t₁ et t₂ de l’énergie mécanique du système {terre + objet} est égale aux travaux de l’ensemble des forces appliquées au solide autre que le poids entre ces deux instants.
III -TRAVAIL ET PUISSANCE
1-Travail d’une force constante
a) Définition
Le travail d’une force constante \overrightarrow{F} pour le déplacement rectiligne AB de son point d’application est égale au produit scalaire W_{AB} (\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{F}.\overrightarrow{AB}
W_{AB} (\overrightarrow{F})=F\times AB \times cosα
En notant L la longueur du déplacement on a
W_{AB}( \overrightarrow{F})=F \times L \times cosα
b) Unité
Dans le système international d’unités le travail d’une force s’exprime en joule (J)
W_{AB} (\overrightarrow{F})= F \times L \times cos \alpha
W_{AB} (\overrightarrow{F}): travail en joule(J)
F : valeur de la force (N)
L : longueur du déplacement (m)
\alpha=(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{F})
c) Travail moteur, travail résistant
Le travail d’une force est une grandeur algébrique.
-Un travail positif porte le nom de travail moteur (la force est appelée force motrice et participe à la mise en mouvement du solide).
-Un travail négatif porte le nom de travail résistant (la force qui effectue le travail est une force résistante et s’oppose au mouvement).

Le travail du poids d’un corps entre deux points est indépendant du chemin suivi pendant le déplacement ; il ne dépend que de la hauteur de dénivellation.
-pour une montée du corps
W_{AB}(\overrightarrow{P})-P. h =- m.g.h (travail résistant)
-pour un mouvement descendant
W_{AB}(\overrightarrow{P})=P. h = m.g.h (travail moteur)
On choisit un axe (OZ) vertical et dirigé vers le haut ; la formule s’écrit alors ;
W_{AB}(\overrightarrow{P})= m g (Z_A-Z_B) [ Z_A est l’altitude du point de départ et Z_B l’altitude du point d’arrivé]

c) Energie potentielle et travail du poids
Lorsqu’un corps passe du point A d’altitude Z_A ă une position B d’altitude Z_B ;on a ;
E_P(A) =m g Z_A etE_P(B) =m g Z_B =>E_P(B) –E_P(A)=m g (Z_B-Z_A)=- m g (Z_A-Z_B) =-W_{AB}(\overrightarrow{P})
La variation de l’énergie potentielle de pesanteur d’un corps est égale a l’opposé du travail du poids de ce corps.
∆E_P = – W (\overrightarrow{P})
d) Variation de l’énergie cinétique (hors programme)
Pour un système non isolé tel que \Delta E_M = \sum W \overrightarrow{F_{ex}} (autre que le poids )
Or ∆E_M=∆E_C + ∆E_P =\sum W \overrightarrow{F_{ex}} (autre que le poids ) d’où

∆E_C = = \sum W \overrightarrow{F_{ex}} (autre que le poids ) – ∆E_P or ∆E_P = -W (\overrightarrow{P}) donc
∆E_C = =\sum W \overrightarrow{F_{ex}} (autre que le poids )+ W (\overrightarrow{P}) soit finalement

∆E_C = =\sum W \overrightarrow{F_{ex}}
Pour un solide en translation entre 2 instants
\dfrac{1}{2} m V^2_A -\dfrac{1}{2} m V^2_B=\sum W _{AB}\overrightarrow{F_{ex}} (T.E.C)
ENONCE
La variation d’énergie cinétique d’un solide en translation entre deux positions A et B est égale à la somme des travaux des forces extérieures appliquées au solide entre les positions A et B

e) Travail des forces de frottement
Les forces de frottement sont constamment parallèles et opposées à la vitesse \overrightarrow{v} chaque instant ainsi on a :
W_{AB}( \overrightarrow{f})=-f \times L (L étant la longueur du trajet).
f) Réaction d’un support
S’il n’ya pas de frottement ; la direction de réaction \overrightarrow{R} est constamment perpendiculaire à la vitesse (au déplacement) donc W_{AB}\overrightarrow{R}=0
S’ils existent des frottements : la réaction se décompose en réaction normale \overrightarrow{R_N} de direction perpendiculaire à la vitesse, et en réaction tangentielle \overrightarrow{R_T} colinéaire à la vitesse et représentant les forces de frottement de sorte que \overrightarrow{R}=\overrightarrow{R_N} + \overrightarrow{R_T}
D’où W_{AB}\overrightarrow{R} = W_{AB}\overrightarrow{R_T}= -f \times AB

2-Puissance mécanique d’une force
a) Définition
Si pendant la durée ∆t , la force \overrightarrow{F} effectue le travail W(\overrightarrow{F}) ; la puissance moyenne de cette force est le quotient du travail par la durée mise à l’effectuer.

P_m ( \overrightarrow{F}) =\dfrac{W(\overrightarrow{F})}{\Delta t} ainsi W(\overrightarrow{F})=P_m(\overrightarrow{F}) \times \Delta t

Dans le système international d’unité les puissances s’exprime en Watt(W) ; le temps en seconde(s) et le travail en (J)
b) Puissance instantanée
La puissance instantanée d’une force est égale au produit scalaire du vecteur force \overrightarrow{F} par le vecteur vitesse \overrightarrow{v} du déplacement.
+
P=\dfrac{ W_{AB}\overrightarrow{F}} {t}= \dfrac{\overrightarrow{F}.\overrightarrow{L}}{t}
P=\overrightarrow{F}.\overrightarrow{v}=F \times v \times cos \alpha avec \alpha=(\overrightarrow{v}; \overrightarrow{F}) pqge 119

IV- APPLICATION

1- Rendement d’un convertisseur
Pour un convertisseur mécanique ; on a :
Un travail moteur (positif) reçue Wr qui permet de transférer de l’énergie d’une source vers le milieu système.
Un travail résistant (négatif) Wu qui permet d’extraire de l’énergie du système vers l’extérieur utilisateur.
Une partie de l’énergie est perdue sous forme d’effet joule.

η

Wr =|Wu| +|Qp| => Pr = Pu + Pp

Le rendement du convertisseur est donnée par ;
η =\dfrac{|W_u|}{W_r}= \dfrac{W_r +Q_p}{W_r}=1- \dfrac{|Q_p|}{W_r}=1 – \dfrac {P_J}{P_r}P_J=P_P

2-Choc élastique ; choc inélastique
a) Choc élastique
Le choc élastique entre deux corps isolés est un choc pour lequel l’énergie interne du système composé des deux corps reste constante. L’énergie mécanique du système se conserve. IL y’a conservation de l’énergie cinétique . en effet sur une route horizontale sans frottement ∆E_M = ∆E_C car ∆E_P = 0 si le système est isolé l’Energie mécanique se conserve donc l’énergie cinétique aussi se conserve.
avant le choc ;les vitesses sont ( \overrightarrow{v_1}) et ( \overrightarrow{v_2} ) soit l’énergie cinétique avant donnée par
E_{cav}=\dfrac{1}{2} m_1 v^2_1 + \dfrac{1}{2} m_2 v^2_2
Apres le choc les vitesses des 2 solides sont ( \overrightarrow{v_1}‘ ) et ( \overrightarrow{v_2}‘ ) d’où
E_{cap}=\dfrac{1}{2} m_1 v’^2_1 + \dfrac{1}{2} m_2 v’^2_2
E_{cav}=E_{cap} \implies \dfrac{1}{2} m_1 v^2_1 + \dfrac{1}{2} m_2 v^2_2=\dfrac{1}{2} m_1 v’^2_1 + \dfrac{1}{2} m_2 v’^2_2
b) Choc inélastique
Dans ce cas l’énergie interne varie donc l’énergie mécanique n’est pas constante.
E_{cav}=\dfrac{1}{2} m_1 v^2_1 + \dfrac{1}{2} m_2 v^2_2 et E_{cap}=\dfrac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2et si on pose v_2=0
V=\dfrac{m_1}{m_1 + m_2}v_1 \implies E_{cap}=\dfrac{m_1}{m_1 + m_2} E_{cav}

EXERCICES RESOLUS

Sauf indication contraire; on prendra g=9,8N.kg^-1

Exercice n° 1

Une bille de masse de
Masse m=50g, est lancée verticalement vers le haut avec une vitesse v_A= 4ms^-1 à un point d’altitude
z_A = 1,80m.
1) Calculer dans le référentiel terrestre ; l’énergie cinétique ; l’énergie potentielle et l’énergie mécanique du système {Terre-bille} à l’instant du lancement.
2) Quelle est l’altitude maximale z_M atteinte par la bille ?
3) Calculer la vitesse de la bille juste avant l’impact avec le sol.

Exercice n°2

Un solide de masse m=200g assimilable à un point matériel glisse sans frottement sur un plan incliné d’un angle α=30° par rapport à l’horizontal. Le solide est lancé en O (bas de la pente) avec une vitesse v₀ =5m.s_-1. Le solide atteint le point B avant de redescendre. g= 9,8N/kg
Quelle est la vitesse du solide en A telle que OA=2m ?
Calculer la distance OB parcourue sur le plan
incliné avant la redescente.

Exercice n°3

Une pendule est constitué d’une petite sphère métallique de masse m=0,25kg suspendue en O à un support fixe par un fil fin, de longueur L=1m. On écarte la sphère de sa position d’équilibre(A) d’un angle α₀=3O° ; le fil étant tendu on l’abandonne ensuite sans vitesse initiale(B).

1) Déterminer l’énergie mécanique du système {Terre- air-sphère} dans sa position initiale. En fonction de m ; g ; L et α_p puis calculer sa valeur .L’origine de l’énergie potentielle correspond à la position de repos.
2) On néglige l’action de l’air, montrer que l’énergie mécanique se conserve.
3) Déterminer la vitesse de le sphère quand elle passe par sa position d’équilibre.
4) Exprimer la vitesse de la bille lorsque le fil fait avec la verticale un angle  α en fonction de α; α₀; g et L.
g=10N/kg

Exercice n°4

On lance d’un point O une pierre de masse m=100g avec un vecteur vitesse initial
\overrightarrow{v_0}(v_0=7m.s^{-1}) incliné d’un angle α=30°  au dessus du plan horizontal. La pierre décrit une trajectoire parabolique de sommet S.
Le point O est pris comme origine  des altitudes et on néglige l’action de l’air.
1) Exprimer en fonction de v₀ et α, les coordonnées v_ox  et v_oz du vecteur \overrightarrow{v_0}.
2) On montre que la vitesse au sommet S de la trajectoire est horizontale et a pour valeur  v_s= v_ox déterminer l’expression littérale donnant l’altitude  z_s du sommet S en fonction de  v_o et α puis calculer sa valeur.
3) Calculer la vitesse au point a I juste avant l’impact avec le sol horizontal g= 10N/kg

Exercice n°5

Un solide S de  masse m=2,5kg glisse le long d’un plan incliné de l’angle  α=20°  sur l’horizontal. Il descend ainsi de A en B tel que  AB=2m

1. Calculer le travail du poids de S au cours de ce déplacement.
2. Quel est le travail de la réaction \overrightarrow{R} si le contact a lieu avec des frottements de valeur constante f=50 N
   g=10N.kg^-1

Exercice n°6

Une  piste  horizontal AB dont la longueur L=1,5 m se termine par une portion circulaire BC de centre O, de rayon a  R= 2m et d’angle au centre α=50° .On lance un petit objet de masse m=100g sa vitesse lorsqu’il passe en A est v_A =5m.s^-1.

1. Calculer la longueur de la piste (ABC).
2. Déterminer l’altitude du point C si Z_A =0
3. Les frottements sont négligés ; déterminer les caractéristiques du vecteur vitesse   \overrightarrow{v_c} de l’objet lorsqu’il arrive en C
4. En fait on mesure une vitesse réelle v_C’= 2,8m.s^-1 montrer qu’il existe  des frottements puis calculer sa valeur si on considère que sa valeur est constante le long du parcourt ABC.
   g=9,8N.kg^-1

Exercice n 7

Un skieur de masse m=80kg se déplace sans frottements le long d’une glissière AB ayant la forme d’un arc de cercle de rayon R=10 cm, l’angle θ =60° . Le skieur part de A sans vitesse   et arrive au point B où il accomplit un saut et atterrit au bas de la glissière sur une piste horizontale au point situé  à une hauteur H=6m  (voir figure ci-dessus) On choisit comme état de référence et origine des altitudes le point B.

1. Calculer l’énergie potentielle de pesanteur du skieur en  A ; B ; C.
2. Calculer l’énergie mécanique au point A. En déduire la vitesse du skieur en B et C.
3. En réalité le skieur arrive en C avec une vitesse v_C’= 10,97m.s^-1. Déterminer l’intensité supposée constante des forces de frottement qui s’exerce entre A et B
   g=10N.kg^-1.

Exercice n°8

Un pendule simple pesant P est constituée par une bille sphérique de mass  m= 5Og considérée  comme ponctuelle suspendue  à l’extrémité inextensible sans masse de longueur l=1m
1) On l’écarte de sa position d’équilibre d’un angle α_m = 45°  et on l’abandonne sans vitesse initiale. A instant quelconque le fil fait avec la vertical un angle α .
a) Exprimer la vitesse v de la bille en fonction α ; α₀ , l et g ; faire l’application numérique α =30°
b)Déduire la vitesse de la bille au passage de sa position d’équilibre.
2) Au passage à la position d’équilibre ; la bille heurte dans le plan verticale du déplacement  du pendule, une deuxième bille sphérique immobile assimilable  à un point matériel de masse m’ qui a été déposée sur un plan horizontal. Le choc est parfaitement élastique.
a) Etablir les  relations exprimant les vitesses v’₁ et v’₂ des 2 billes après le choc, en supposant ces vitesses colinéaires.
b) Faire l’application numérique pour m’=50g.

Exercice n°9

Nafi et Sami montent dans le wagonnet d’une attraction de fête foraine ;la masse de l’ensemble wagonnet –passagers est m=250kg. Assimilable à  un point matériel.
Le trajet parcouru par l’ensemble est divisé en 5 parties (voir le schéma) :
Le plan incliné AB permet au wagonnet d’atteindre le plus haut du parcours où il s’arrête avant d’entamer la descente. Le plan AB forme avec l’horizontal un angle
α=45° sur lequel s’exerce des frottements assimilés à une force constante \overrightarrow{f_1} de valeur f₁=366N. Pour atteindre le point B, le wagonnet est tracté à vitesse constante par un câble dont la direction est  parallèle au plan incliné AB et dont la tension est constante. Une fois le wagonnet arrivé en B, le câble se détache
Le plan BC forme avec l’horizontale un angle β =30°  la vitesse atteinte par le wagon au point C est v_c=108km.h^-1. La valeur des forces de frottement sur cette portion est f₂ = 500N
L’Arc de cercle \overbrace{CD} de rayon R=75 m et de centre O tel que ( \overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OD})= θ= 60  est une portion où  les frottements sont négligés.
Le plan horizontal DE où les frottements sont négligés.
Le plan incliné EF de longueur EF = 76m forme avec l’horizontal un angle \delta au point af le wagonnet s’arrêté pour permettre aux passagers de descendre. La valeur des forces de frottement sur ce trajet est f₃=800N.
La cote des points A ,D et E est z_A = z_D = z_E =  0 ; g=10N.kg^-1

1. Déterminer la valeur de la tension \overrightarrow{T} du câble.
2.  Déterminer la distance BC parcourue par le wagonnet dans la première partie de la descente,
3. Déterminer la vitesse du wagonnet au point D et E
4. Déterminer la valeur de l’angle  que doit former avec l’horizontal, le plan EF pour que le wagon atteigne le point F.

POUR S’ENTRAINER

Sauf indication contraire on prendra g=9,8N.kg^-1

1.
Un  enfant  lance  verticalement  vers  le  haut  une bille de  masse  m=20g à  une  hauteur  de 1,3m  au  dessus  du  sol  ,sa vitesse   est  de 4 m.s^-1.On  néglige  la  résistance  de  l’ air 
1) Calculer   l’énergie  mécanique  de la  bille au point de lancement   en  précisant  le  niveau  de  référence pour  l’énergie  potentielle  de  pesanteur.
2) jusqu’à  qu’elle  hauteur la bille  va-t-elle  monter ?
3) Avec  quelle  vitesse  va  t-elle repasser  par le  point d’altitude   1,3m 
4) Avec  quelle  vitesse  va t-elle  atteindre le  sol ?
2. Un enfant  entraine  une  petite  pierre  de masse  m=50g  à l’aide  d’une  fronde  de  longueur L =50g  à  raison  de 240 tours /minute .On  suppose la pierre assimilable à  un  objet  ponctuel 
1) Calculer  la  valeur  v  de  la  vitesse de  la  pierre.
2) En  déduire  son  énergie  cinétique.
3)La  pierre est  en  mouvement  à  une  hauteur  constante  h=1,5m  du  sol. Calculer  son  énergie  mécanique.
3. On  lance  verticalement  vers le  haut  avec une  vitesse v_o=3m.s^-1. Un  solide  quasi  ponctuel  ,de  masse  m=500g, à partir  d’un  point  de  cote  z₁=1,8m. la  résistance de  l’air est  négligée. On attribut  une  valeur nulle  à  l’énergie  potentielle  de  pesanteur  au  point  de  cette  cote  z₀=0
1) Montrer  que  l’énergie mécanique   se  conserve  puis  calculer  sa  valeur .
2)Exprimer  en  fonction  de  z  l’énergie  potentielle  Ep(z)  du solide   puis  v²(z).
3) Exprimer  l’énergie  cinétique  en  fonction  de  z.
4) Représenter  sur  un  même  graphique Ep(z) ; Ec(z) ; Em(z)
4. Un chariot de masse  m=500g  se  déplace  le  long  d’une  glissière ABCD  représenté par  la  figure  .  les  frottements sont considérés comme négligés  .Le  plan  incliné  AB fait  un  angle  α=30°  avec  l’horizontale  et  a  pour  longueur l₁=1m  le traçons  BC  est   horizontal  et  a   pour  longueur  l₂=50m  ,le   tronçon  CD fait un  angle  β=45°  avec  l’horizontale  et  a  pour  largueur l₃ =1,5m.

Le   chariot  part  de A avec  une  vitesse  nulle.
1) Calculer  sa  vitesse  en  B.  
2) Calculer  sa vitesse  en C.
3) Calculer  la  hauteur   maximale  atteinte  par  le  chariot  sur le  parcours  CD ?
4) Quelle  est  alors   la distance parcourue   sur  ce  tronçon ?
5) Décrire    le  mouvement  ultérieur  du chariot.

5. Un toboggan  a  la  forme indiqué  sur  la  figure  ci- dessous  où  h_A=3m ; h_B=5m ; h_D=2m.  le  véhicule a  une  masse   de  120kg.  On  le   lâche  de B  vers  C et D  sans  vitesse  initiale. On néglige  les  frottements.
1) Calculer la vitesse du véhicule en C  et  D  si on le lâche en B sans vitesse initiale ,les  freins  étant  desserrés.
2) Avec quelle vitesse doit on  le lancer en A pour atteindre  le point D ?

6.
Un  solide de petite dimension de masse m=10g  peut glisser sans frottement à l’intérieur    d’une demi sphère de centre O et de rayon r=1,25m.                                                                                           
Le solide reste dans un plan vertical.
Sa  position à l’intérieur de la demi sphère est repérée par l’angle θ. On lâche le solide S  du  point  A sans  vitesse  initiale
1) Exprimer la vitesse de S au point M en fonction de g, r, θ, puis la calculer au point  B.
2) Décrire le mouvement du solide après son passage  en  B.

7.
Un  solide  S  de  masse  m=250g  glisse sans frottement sur un plan horizontal  parfaitement  lisse avec une vitesse de valeur v = 5.m.s^-1
Avec  cette vitesse, il aborde un long plan MN incliné d’un angle α=10° sur horizontale  sur  lequel il se déplace sans frottement.
1) Quelle est la  transformation qui s’effectue lorsque le solide s’élève le long du plan incliné sans frottement.
2) Quelle distance MP=l  parcourt- il le long du plan incliné avant de s’immobiliser ?
3) De quelle hauteur h s’est-il élevé par rapport à l’horizontal ?

8.
Un  pendule  est  constitué  d’une  petite  boule  métallique de  masse m=80g  suspendu  à un  fil inextensible de masse considérée  comme négligeable et de longueur =1,00 m.
Le fil  est  accroché en un point fixe 0 et les mouvements du pendule s’effectue  dans un  plan  verticalement   on  l’écarte  de cette position d’un angle  θ_m = 45°  puis, fil  tendu  ,on  lâche sans  vitesse initiale
1) Décrire  le mouvement  de la boule, justifier  la conservation de l’énergie   mécanique de la boule. Quelle est la  transformation d’énergie  qui s’effectue   au cours du mouvement.
2) Déterminer la valeur v₂  de la vitesse de laboule lorsqu’elle passe par la position  d’équilibre (verticale) ; exprimer  l’expression littérale puis calculer numériquement v₂.
3) la position intermédiaire du pendule  est  définie par l’angle θ qu’il forme  avec la verticale, la valeur de la vitesse de la boule est alors v.
a) Dans l’hypothèse où  l’énergie potentielle de pesanteur n’est nulle dans la position la plus basse.
b) En déduire la formule  littérale  donnant la  valeur  v  de la vitesse en fonction  de θ ;θm ; g et l  faire l’application numérique  pour θ=30°et θ’= 15°
c))On place, sur la verticale de O, à la distance d=60cm, une tige métallique T sur laquelle le fil du pendule, lâché comme précédemment (θm=45°) vient buter.
En admettant  que  le choc du fil- pendule sur la tige T s’effectue sans  perte d’énergie, déterminer l’angle α dont le pendule remonte après le choc avec la tige.

9. On étudie  le mouvement d’un solide (S) de masse m assimilable à un point matériel  qui glisse  sur  une piste ABC. La piste  est composée de deux parties
-La partie AB de longueur L est inclinée d’un angle α par rapport au plan horizontal
– La partie BC est  un arc de cercle de rayon r et de centre O
Les deux  parties sont raccordées tangentiellement au point B (voir figure) ;les  frottements  sont  négligés. Données :  ;α=45  ;L=2m ;m=250g et r=1,5m
1)Le solide est abandonné sans vitesse initiale au point A et  arrive en B avec un vecteur vitesse \overrightarrow{V_B}
a)Faire l’inventaire des forces extérieures appliquées au solide S sur AB
b) Exprimer  la vitesse V_B du solide en B en fonction  de  α,L, et g/
c)Calculer  V_B
2) On  considère le mouvement du solide  sur  BC.
a)Déterminer  la  vitesse  V_f  de S   au  point F.
b) Montrer que  la  vitesse   du  solide  en C est  la  même  qu’en B 

3) Le  solide quitte le circuit au point C
IL  subit un mouvement   de  chute  libre et retombe sur le sol en  un point D (figure) 
a)Déterminer dans le repère (Cx ;Cy ) les  coordonnées de  V_C  en  fonction  de Vc et α
b) On  montre que la vitesse du  sommet S de la  trajectoire est horizontale   et a pour  valeur  Vs=Vox
Déterminer l’expression littérale donnant l’altitude Zs  du sommet S en  fonction  de  Vc et α (le  point F sera prit comme origine  des  altitudes)
5. Calculer la vitesse V_D juste avant  l’impact sur le sol. 

10. Une  bille  d’acier,  de dimension négligeable de masse m=200g est abandonnée sans vitesse initiale  en  un point O situé sur un plan incliné OA faisant un angle  α=30°  avec  le  sol  horizontal 
La position de la bille dans le repère (O ; \overrightarrow{i}) est  repérée  par  l’abscisse x  de  son centre  de  gravité G .  On néglige  les frottements.
La  longueur  du plan incliné est OA=4m  .
Le point A étant au sol,  on donne g=10N /kg.
On  choisit  l’origine des  temps  à l’instant ou la bille est  lâchée.  On fixe la  position de référence et à l’origine des altitudes  au niveau du sol (plan horizontal  contenant  le point A) voir figure.
1) Donner  l’expression de  l’énergie  potentielle de pesanteur E_P  de la bille en  fonction de m,α ; x ;OA
2) calculer l’énergie mécanique initiale de la bille
3) Calculer  l’énergie potentielle de la bille après un parcours de 3m sur le plan  incliné à partir de sa position initiale
4) Représenter  graphiquement (sur le même graphique) l’énergie potentielle, l’énergie mécanique et  l’énergie cinétique de la bille en fonction de x.

11. Un solide est constitué par une bille ponctuelle(M) de masse m=100g accroché en A à l’une des extrémités  d’une tige OA de longueur L=0,8m et de masse négligeable, g=10 N.kg^-1
1) la bille étant dans sa position d’équilibre stable A_O. On lui communique une vitesse horizontale Vo. La tige tourne d’un angle α_O autour de 0, puis rebrousse chemin. Donner l’expression de l’énergie mécanique du mouvement E_O en A₀ puis calculer v₀ sachant que la tige s’écarte au maximum d’un angle α_O=150°
2) pour  quelle vitesse initiale V₀ la bille décrit-elle un cercle complet ?
3) On suppose que v₀=6,5m.s^-1.dans   ces conditions, la bille atteint-elle le sommet S ?
La position de référence est le point A_O

Un mobile autoporteur est abandonné sans vitesse initiale sur une table inclinée. Le tableau de mesures ci-dessous donne son énergie  cinétique et son énergie potentielle en différents points de sa trajectoire

1) Calculer l’énergie mécanique du système {terre –air-table-mobile  } dans les différents états puis conclure
2) Ce système est -il soumis à des forces extérieures ? Conclure.

13. Une caisse de masse m= 20 kg est tirée sur un sol horizontal supposé parfaitement lisse (absence de frottement) le câble de traction fait un angle  =60⁰  avec l’horizontal et la force de traction a pour valeur F= 10N

1. Représenter les forces s’exerçant sur la caisse sur un schéma les nommer et préciser leurs caractéristiques.
2. Calculer le travail de chacune des forces lorsque la caisse se déplace de 5 m sur le sol.
3.  Reprendre les questions précédentes en supposant que le sol est rugueux (existence de frottements) la valeur des forces de frottement étant f= 0,8N.

14. On déplace un objet S de mase M=5kg sur un plan incliné d’un angle   par rapport  à l’horizontale, en tirant avec une force \overrightarrow{F} constante un câble  inextensible de masse négligeable.  Le déplacement est une translation à la vitesse constante V_C= 9 km pendant une minute vers le haut puis pendant  une minute vers le bas. Le contact plan –objet génère des frottements qui équivalent à une force de frottement \overrightarrow{f} parallèle au plan d’intensité f égale a 10% du poids  de sens oppose a la vitesse.
1) On considère la phrase de monte
a) Déterminer la force F
b) Calculer le travail de \overrightarrow{F}
c) Calculer le travail de \overrightarrow{F}
d) Reprendre les questions posées  au 1)  en considérant la phase de retour puis calculer le travail  total des forces lors de l’aller –retour.

15. Dans une fête foraine, il est possible de tester sa force grâce a l’attraction suivante .La personne qui se teste  pousse un chariot de masse M=4Kg supposé  ponctuel sur une longueur OA=0,8m on supposera que la force ainsi exercée  est horizontale et de valeur constante F=200N le chariot aborde alors une pente AB pour venir éventuellement frapper la cible.
1) Calculer l’énergie mécanique du chariot quand il aborde la partie circulaire en A
2) Soit h=2,5m la dénivellation entre l’altitude de A et la cible. La cible peut elle être atteinte ? Si oui avec quelle vitesse ?

16. une piste est constitue d’une partie rectiligne en AB de longueur L= AB=1m inclinée d’un angle α = 60⁰ sur l’horizontale et d’une partie circulaire BCD raccordée tangentiellement en B à la partie AB. Le rayon de la partie circulaire est R=20cm. Un solide ponctuel de masse M=200g, de dimension négligeable est abandonné en A sans vitesse initiale. On prendra le point  C comme une position de référence et  comme origine  des altitudes  on donne g=10N/Kg .
1) calculer l’énergie potentielle de pesanteur  du solide aux  points  A ; B ; C ; D ;
2) Calculer l’énergie mécanique  du solide au début du mouvement 
3)  En supposant les frottements négligeables ; calculer la vitesse du solide lors de son passage en  B , C et D.
4) En réalité  le solide lâché du point A sans vitesse initiale arrive  au point B avec la moitié de la  vitesse calculée au  point B à la troisième question. Montrer qu’il existe des frottements  et  calculer  la valeur de cette force de frottement. 

 17. Un skieur chaussé de ses  skis (de masse m=90kg) remonte une piste en téléski. Le système mécanique étudié est l’ensemble (skieur – skis) .Il ya des frottements sur la neige . La force de frottement f a même direction que le vecteur vitesse et de sens inverse. Sa valeur constante vaut f = 30N ; la remontée en téléski correspond à un déplacement AB de longueur 1250 m, le plan de remontée forme un angle (α =20⁰ avec l’horizontale)
1) Reproduire le schéma  et représenter  les forces s’exerçant sur le système
2) calculer le travail du poids \overrightarrow{P} du système lors du déplacement considéré.
On prendra g=10 N.kg^-1
3) Calculer  le travail de la force de frottement \overrightarrow{f} lors du déplacement considéré
4) Dans ces  conditions quel est le travail de la réaction du support neigeux sur le système ?
5) Pour \beta=60° et T=675N calculer le travail de la tension du câble qui tire.

18. Une voiture tracte une caravane dont la masse est M=800kg sur une route rectiligne horizontale. L’ensemble se déplace à la vitesse constante de v =60km .h^-1
La force  de frottement s’exerçant sur la caravane  supposée constante, a pour valeur f=150N
1) Calculer la valeur de la force de traction exercée par la voiture sur la caravane
2) Quelle est la valeur de la puissance développée par la voiture sur la caravane ?

19. Une automobile de masse 1300kg tire une caravane de masse 550kg. Sur chaque véhicule l’ensemble des forces des résistances est équivalente à une force unique, parallèle au déplacement et, opposée au  mouvement .A 75km .h ^-1, l’intensité de ces forces est de 600N pour la voiture et 1200N pour la caravane.
1) Cet équipage se déplace à la vitesse constante sur une voie horizontale Calculer
a)La puissance fournie par le moteur.
b) La force de traction sur l’attelage.
2) L’ensemble aborde une coté à 4% (élévation de 4m pour un parcourt de 100m) et garde la même vitesse. Calculer :
a) La puissance fournie par le moteur
b) La force de traction sur l’attelage.

20. Un bloc de pierre de poids 300N est tiré par un câble suivant la plus grande pente d’un plan incliné rugueux d’angle =30° par rapport à l’horizontale. Le câble exerce une force constante  \overrightarrow{F}  d’intensité F=4000N et dont la droite d’action passe par G, centre d’inertie du bloc .La vitesse du bloc est constante   et égale à 5m.s^-1.
1) Rappeler le principe de l’inertie.
2) Calculer la résultante R des forces  qu’exerce le sol sur le bloc de pierre.
3) Calculer la puissance  de la force \overrightarrow{F}, du poids \overrightarrow{P} de la réaction \overrightarrow{R}.

 21. Un skieur aborde une piste constituée de quatre parties (figure). La première partie AB est horizontale et le skieur de masse 80kg arrive en B avec une vitesse V_B =2,5 m.s^-1. On donne g=9,8N.kg^-1.Le trajet BC, de longueur BC=30m, est verglacé (les frottements sont négligés) et  est assimilable à un plan incliné d’un angle β=30⁰ sur l’horizontal.
1) Faire le bilan des forces qui s’exercent sur le skieur sur la partie BC.
2) Calculer la vitesse du skieur en C
3) La partie CD, horizontale, de longueur CD=5m ; est recouverte de neige fraîche, le skieur sera freiné. Les frottements sont équivalents à une force d’intensité 100N
a) Calculer sur la partie CD ; le travail des forces de frottement.
b) Calculer la vitesse du skieur en D.
4) Le tronçon DE, verglacé (absence de frottement) est assimilable à un quart de cercle de centre O et de rayon r. Le skieur est repéré  sur la partie DE par l’angle θ.
a) Exprimer sa vitesse V au point M en fonction de θ et du rayon r.
b) Calculer la vitesse du skieur lorsque θ=60⁰ et r=10m

 22. Un skieur de masse m = 90 Kg descend une piste inclinée d’un angle β = 40° par rapport à l’horizontale à une vitesse constante V = 70 km.h^-1. Les forces de frottement de la piste sur les skis ainsi que celles de l’air ont une résultante parallèle à la pente.
1) Faire l’inventaire des forces agissant sur le skieur                                          .                       
2) Calculer  F                                                                                                    
3) Déterminer le travail de cette force lorsque le skieur   parcourt une distance d = 100 m dans ces conditions ?                                                                         
4) Calculer la puissance mécanique de  \overrightarrow{F}
5) Déterminer le travail du poids du skieur pour ce même parcours ?

23. On dispose d’un chariot, de masse m = 80 Kg, qui se déplace le long d’un trajet ABCDE par l’action d’une force motrice constante, de valeur F = 450 N et appliquée par un câble de masse négligeable faisant un angle α = 40° avec l’horizontale. 
Le long de ce trajet, le chariot est soumis à une force de frottement \overrightarrow{f} toujours opposée à son mouvement et de valeur f = 200 N.
1) Représenter les forces qui s’exercent sur le chariot dans les positions indiquées sur la figure

AB = 80 m ; BC = 20 m ; CD = 12 m ; DE = 29,238 m

2) Calculer :
a. Le travail du poids du chariot sur le parcours ABC, puis sur le parcours ABCDE.
b. Le travail de la force motrice \overrightarrow{F} sur tout le parcours.
c. Le travail de la force de frottement \overrightarrow{f} sur tout le parcours. 
d. Conclure sur les types des travaux des forces \overrightarrow{F} et \overrightarrow{OD}
3)Sachant que la durée du parcours est Δt = 2,5 s, calculer la puissance moyenne développée par  la force motrice \overrightarrow{F}

25. On considère un solide S, de masse m=300g ,qui se déplace de A vers E .
La partie AB : le solide S se déplace sur un plan incliné d’un angle α=30° par rapport à l’horizontal. Sur la partie BC : Le solide S se déplace sur un plan horizontal.
Et au niveau de partie CE ,le solide S se déplace selon sur une trajectoire circulaire.
Au cours de son déplacement le solide est soumis à une force de frottement de valeur
Constante f =0,2N .
1) Donner le bilan des forces et les représenter.
2) Calculer le travail de poids lors du déplacement de A vers B puis de B vers C.
3) Calculer le travail de force de frottement dans le même trajet.
4) Déterminer la nature de travail du poids et du force de frottement, en justifiant la réponse, lors du déplacement entre : C et D. puis D et E .
5) Calculer le travail de poids lors du déplacement de C vers E.
6) Lors du déplacement de A vers B le solide est animé d’une vitesse constante
v=35m.s^-1
Déterminer la puissance moyenne lors de ce déplacement.

SOLUTION DES EXERCICES

Exercice n°1

-Le système étudiée est le système { Terre-bille}.
-Le référentiel d’étude est le référentiel terrestre
-Inventaire des forces : le poids \overrightarrow{P} qui est une force intérieure.
L’énergie mécanique du système se conserve se conserve car il isolé conservatif.
1) E_c(A)= \dfrac{1}{2}mv^2_A AN: Ec(A)=\dfrac{1}{2} \times 0,05 \times 4^2=0,4J
La terre étant immobile l’énergie cinétique du système {Terre-bille} est E_C(A)= 0,4J
L’énergie potentielle :
L’origine est le sol donc E_P(A)= m g z_A  =0,05 9,8 1,8 =0,882J
L’énergie mécanique du système vaut donc a ;

     E_M(A)= E_C(A)+ E_P(A) = 0,4+0,882=1,282J
2) L’altitude maximal z_M atteinte par la bille.

E_M(A)= \dfrac{1}{2} mv^2_A  + mgz_A et au point M  la vitesse est nulle v_M = 0 donc E_M(M)=mgz_M
Il y’a conservation de l’énergie mécanique
E_M (A) =E_M (M) =>  \dfrac{1}{2}m v^2_A +mgz_A = mgz_M soit:

z_M=\dfrac{v^2_A}{2g} + z_A AN z_M=\dfrac{4^2}{2\times 9,8} + 1,8=2,61m

3) Vitesse de la bille juste avant l’impact avec le sol :

Au sol z_S=0  E_M(S)=\dfrac{1}{2}mv^2_s + mgz_s=\dfrac{1}{2}mv^2_s

Il y’a conservation de l’énergie mécanique entre le point S et A d’où :

E_M(A) =E_M(S) => \dfrac{1}{2}mv^2_A  + mgz_A=\dfrac{1}{2}mv^2_s => v^2_s=v^2_A + 2gz_A
v_S=\sqrt{v^2_A + 2gz_A}=\sqrt{4^2 + 2 \times 9,8 \times 1,8}=7,16 m.s^{-1}

Exercice n°2

Le système étudié est : [Terre + solide de masse m] solide de masse m
Le référentiel d’étude est le référentiel terrestre
Inventaire des forces : le poids \overrightarrow{P} qui est une force intérieure et la reaction \overrightarrow{R} qui est une force extérieure.

1) Relation de transfert: \Delta E_{M}=W(\overrightarrow{R})=0
E_M(O)=\dfrac{1}{2}mv^2_o + mgz_o=0 avec z_o=0\implies E_M(O)=\dfrac{1}{2}mv^2_o et E_M(A)=\dfrac{1}{2}mv^2_A + mgz_A

Posons que z_A – z_Q= h_1 or \dfrac{h_1}{OA}= sin\alpha soit h_1 = OA sin\alpha \implies v^2_A= v^2_o – 2gx OA sin\alpha soit

v_A= \sqrt{v^2_o – 2g \times OA sin\alpha} = \sqrt{ 25- 2 \times 9,8 \times 2 \times 0,5} = 2,32m.s^{-1}

1) Energie mécanique au point B
E_M(B)=\dfrac{1}{2}mv^2_B + mgz_B ; il y a conservation de l’énergie mécanique donc E_M(B)=E_M(O)

\dfrac{1}{2}mv^2_B + mgz_B= \dfrac{1}{2}mv^2_o + mgz_o or v_B = 0=> m g z_B- mgz_0= \dfrac{1}{2}mv^2_o  soit

mg(z_B – z_O)=\dfrac{1}{2}mv^2_o posons h_2=z_B – z_A or \dfrac{h_2}{OB}= sin\alpha => h₂= OB sin\alpha on obtient alors

Exercice n°3

1) Le système étudié est {Terre- air-bille} 
Le référentiel d’étude est le référentiel terrestre
Inventaire des forces : le poids \overrightarrow{P} qui est une force intérieure et la tension \overrightarrow{T}  du fil qui est une force extérieure.
Energie mécanique du système {Terre- air-sphère} en B, position initiale.

E_M(B)=\dfrac{1}{2} mv^2_B +  + m g z_B = m g z_B car v_B=0.or z_B= h =OA – OB’ puis OB = OA=L

Le triangle OBB’ est rectangle en B’ =   => OB’ = OB cos  = L  soit ;

h = L – L cos  = L (1-cos ) donc on déduit que

E_M( B) = m g L(1-cos )  = 0,25 9,8 1(1-cos 30 ) = 0,328J

2)

A chaque instant  est orthogonal à  donc W(  ) = 0

Relation de transfert : = W(  ) = 0 E_M=cste

3) Vitesse au passage de A 

 E_M(A)=  m  + m g z_A  =   m   car z_A=0

E_M(B)= E_M(A) =>  m   = m g L(1-cos )d’òu

v_A =   =   =  1,6 m.s^-1

4) z_M = OA- OM’  or OA=OM=L; aussi le triangle  OMM’ est rectangle en M donc

 =  => OM’  = L   => z_M=L-L  =>z_M =L(1-cos )

\overrightarrow{AB}
\overrightarrow{AB}