Sujet de Devoir 20 Terminale littéraire

Exercice 1

Pour attirer la clientèle, un supermarché de la place décide que tout client ayant fait des achats d’un certain montant aura droit à tirer simultanément trois tickets d’un panier. Ce panier contient 10 tickets dont cinq portent le chiffre 0, trois le nombre 1000 et deux le nombre 2000.
Le client reçoit ainsi en francs la somme des nombres inscrits sur les tickets qu’il aura tiré.
1) Déterminer le nombre total de tirages possibles.
2) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « le client gagne la somme de 0 F ».
B : « le client gagne la somme de 1000 F ».
C : « Le client gagne la somme de 3000 f ».
3) Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur la somme reçue par le client.
a) Déterminer l’ensemble des valeurs prises par X.
b) Déterminer la loi de probabilité de X.
c) Déterminer puis représenter graphiquement la fonction de répartition de X.

Exercice 2

On considère les suites U et V définies par : $\begin{cases}U_0=\dfrac{3}{5} \\ U_n=\dfrac{U_{n-1}-3}{6}\end{cases}~et~V_n=3+5U_n$

1)
a) Montrer que V est une suite géométrique ; On précisera la raison et le premier terme.
b) En déduire l’expression de $V_n$ puis celle de Un en fonction de n.
2) Etudier la convergence de $(U_n)$
a) Calculer

S_n=V_0+V_1+\dots+V_n~et~S_n’=U_0+U_1+\dots+U_n

en fonction de n.

b) Calculer

\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}S_n

Problème

Soit f la fonction numérique définie par $f(x)=x+\dfrac{1+\ln x}{x}~et~(C)~$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(O.\vec{i},\vec{j})$ . (Unité 2cm)

1) On considère la fonction g définie par $g(x)=x^2 -\ln x$

a) Déterminer l’ensemble de définition de g.
b) Calculer $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0}} g(x)~et~montrer~que~\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}g(x)=+\infty$ .
2)
a) Etudier le sens de variations de g puis dresser son tableau de variations.
b) En déduire le signe de g sur $\real_{*}^+$
3)
a) Déterminer l’ensemble de définition de f.
b) Calculer les limites de f en O et en $+\infty$
4) a) Calculer f’(x) et l’exprimer en fonction de g(x).
b) En déduire le sens de variations de f puis dresser son tableau de variations.
5)
a) Montrer que la droite (D) d’équation y =x est asymptote à (C)
b) Etudier la position de (C) par rapport à (D)
6) Déterminer le point A de (C) où la tangente (T) est parallèle à (D)
7) Construire (C) ainsi que (D) et (T).
On donne $\ln (0,3)=-1,2;\dfrac{1}{e}=0,37; \ln 2=0,7$