Sujet de Devoir 24 Terminale littéraire

Devoir n°24 de Mathématiques

Exercice 1

1) Soit le polynôme p(x)=2x^3-x^2-8x+4
a) Vérifier que 2 est une solution de l’équation P(x) = 0
b) En déduire le polynôme du second degré Q(x) tel que pour tout réel x = P(x) = (x – 2) Q(x)
c) Achever la résolution dans R de l’équation P(x) = 0.
2) En déduire la résolution dans R de chacune des équations suivantes :
a) 2^{e3x}-e^{2x}-8e^x+4=0
b) 2[\ln(x-1)]^2-[\ln(x-1)]^2-8\ln(x-1)+4=0
c) e^{\ln(2x^{2}-x^2)}=\ln e^{8x-4}
3) Soit le système \begin{cases}x-2y=-2 \\ 2x+y=6\end{cases}
a) Résoudre ce système dans \R \times \R
b) En déduire la résolution des systèmes
(cap 34)

Exercice 2

Soit les suites U et V définies parU_0=\dfrac{5}{4}; U_{n+1}=\dfrac{1}{3}U_n-n-\dfrac{4}{3};V_n=U_n+\dfrac{3}{2}n-\dfrac{1}{4}.
1) Calculer V_0, V_1, V_2.
2) Montrer que V_n est géométrique. Préciser la raison et le premier terme.
3) Calculer S_n = V_0+V_1+V_2+…+V_n.
4) Soit t_n=\dfrac{-3}{2}n+\dfrac{1}{4}

a) Montrer que t_n est arithmétique, préciser le 1er terme et la raison.
b) Calculer en fonction de n la somme

T_n = t_0+t_1+t_2+…+t_n
5) Montrer que U_n=V_n+t_n

6) Soit S_n’=U_0+U_1+U_2+…+U_n
Montrer que S_n’= S_n + T_n~ et en déduire l’expression de S_n’ en fonction de n.

Exercice 3

Partie A
Le but de cette partie est de trouver une fonction dont la courbe représentative vérifie certaines conditions.

On considère la fonction numérique g définie sur \R~par~g(x)=e^{-2x}+ae^{-x}+b~ ou a et b sont des réels. On appelle (C) la courbe représentative de g dans le plan (P) muni d’un repère(O,i,j) (unité graphique 2 cm). Déterminer a et b pour que la courbe (C) passe par le point A de coordonnées (-ln2;1) et possède en ce point une tangente de coefficient directeur(-4).

partie B

On se propose d’étudier la fonction numérique f, définie par f(x)=(e^-x-1)^2
1) a) Comparer les fonctions f et g.
b) Déterminer la limite de f en -\infty ~et~en~ +\inftyet en déduire que la courbe (C) admet une asymptote (D) que l’on précisera.
c) Calculer les coordonnées du point B intersection de la courbe (C) et la droite (D).
2) Montrer que la fonction dérivée de f est définie sur \R ~par~ f'(x)= -2e^{-x}(e^{-x}-1) déterminer le sens de variation de f et dresser son tableau de variation.
3)a) Déterminer l’équation de la tangente (T) à (C) en B.
b) Construire la courbe (C).