Sujet de Devoir 9 Terminale littéraire

Exercice 1

1)Factoriser P(x)
P(x)=x^3+2x^2-x-2
2) On considère le polynôme Q(x) définie par : x^3-7x+6
a) Montrer que 1 est une solution de l’équation : Q(x)=0.
b) En déduire que Q(x) peut s’écrire sous la forme :Q(x)=(x-1)(x^2+ax+b)~ou a et b sont des nombres réels à préciser.
c) Résoudre dans \R ~l’équation~ : Q(x) = 0
d) Résoudre dans \R ~l’équation~ : Q(x) < 0

Exercice 2

Soit f la fonction définie par : f(x)=\dfrac{x+1}{x^2+3x-4}

1.a) Déterminer l’ensemble de définition f.
b) Calculer les limites de f aux bornes de l’ensemble de définition.

  1. a) Déterminer la fonction dérivée f’et de f.
    En déduire le sens de variation de f.
    b) Dresser le tableau de variation de f.

Problème

Le plan est muni d’un repère orthogonal d’unités graphiques 1 cm sur chaque axe.
On désigne par f la fonction numérique de la variable réel x définie sur
D=\R-{2}~par~f(x)=\dfrac{x^2-5x-15}{x-2}~et (C) sa représentation graphique.

  1. a) Vérifier que : pour tout x de D, f(x)=x-3+\dfrac{9}{x-2}
    b) En déduire que la droite d’équation y = x – 3 est asymptote à (C).
    c) Préciser la position relative de (C) et (\Delta).
    2) Déterminer \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 2}}f(x)~et~\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 2}}f(x)
  2. Démontrer que (C) admet le point A(2:-1) comme centre de symétrie.
    4.a) Vérifier que : pour tout x de D,f'(x)=\dfrac{(x-5)(x+1)}{(x-2)^2}
    b) Dresser le tableau de variation de f et construire (C).
    c) Donner une équation de la tangente à (C) au point d’abscisse 1.
  3. Tracer la droite d’équation y = -7.

En déduire la résolution graphique de l’inéquation :\dfrac{x^2-5x+15}{x-2}<7

  1. Construire (C) l’asymptote et la tangente.