Corrigés - Position relative de deux droites

Exercice 2

Les hauteurs issues de I et de A sont toutes deux perpendiculaires à la base commune [AB] donc elles sont parallèles.

Exercice 3

ABCD est un trapèze de bases [AB] et [BC] donc (AB)//(BC).
Les perpendiculaires à (BC) passant par B et C coupent (AD) en E et F donc elles sont parallèles.
On conclut que EBCF est un rectangle.
Remarque : Un rectangle est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles et ses côtés consécutifs perpendiculaires.

Exercice 4

Exercice 5

[EF] et [GH] ont même médiatrice donc (EF) et (GH) sont toutes perpendiculaires à leur médiatrice ; par conséquent (EF)//(GH).

Exercice 6

Par hypothèse E et F équidistants des points B et C donc (EF) est la médiatrice de [BC].
De plus ( $\Delta$ )//(EF) et A $\in~(\Delta)$ ainsi ( $\Delta$ ) perpendiculaire à (BC)donc ( $\Delta$ ) est une hauteur du triangle ABC.

Exercice 7

1. a) On trace la droite (Δ) puis on place les points A et B :

1. b) Pour tracer le symétrique d’un point par rapport à une droite, on commence par tracer la perpendiculaire à la droite passant par ce point.
Ensuite, à l’aide du compas, on reporte la distance entre le point et la droite de l’autre coté de la droite :

2. Pour tracer le symétrique d’une droite, il faut commencer par construire les symétriques de deux points appartenant à cette droite.
On connait déjà le symétrique de A par rapport à la droite (Δ) : c’est le point A’.
Il faut donc trouver un autre symétrique d’un point de la droite (AB) par rapport à la droite (Δ) .
On appelle C le point d’intersection de la droite (AB) et de la droite (Δ) .
Le point D est un point de la droite(Δ) .
Le symétrique du point D par rapport à la droite (Δ) est le point D lui-même.
On en conclut que le symétrique de la droite (AB) par rapport à la droite (Δ) est la droite (A’D).

Exercice 8

1. Pour construire l’image du point O par rapport au point I, on trace la droite (OI) et on reporte au compas la longueur OI de l’autre coté.

2. a) Je sais que O est un point de la droite (d) et que O’ est le symétrique de O par rapport au point I.
Or, le symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite parallèle.
J’en conclus que le symétrique de la droite (d) par rapport au point I est la droite parallèle à la droite (d) passant par le point O’.
Traçons cette droite parallèle (que l’on appelle (d₁)) en utilisant l’équerre :

2. b) Je sais que O est un point de la droite (d’) et que O’ est le symétrique de O par rapport au point I.
Or, le symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite parallèle.
J’en conclus que le symétrique (d₂) de la droite (d’) par rapport au point I est la droite parallèle à la droite (d’) passant par le point O’.
De plus, je sais que es droites (d) et (d₁) sont parallèles et que les droites (d) et (d’) sont perpendiculaires.
Or, si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l’une et perpendiculaire à l’autre.
J’en conclus que les droites (d’) et (d₁) sont perpendiculaires.
De même, je sais que les droites (d’) et (d₂) sont parallèles et que les droites (d’) et (d₁) sont perpendiculaires.
Or, si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l’une et perpendiculaire à l’autre.
J’en conclus que les droites (d₁) et (d₂) sont perpendiculaires.
Donc, pour trouver l’image de la droite (d’) par rapport au point I, il nous suffit de tracer la perpendiculaire à la droite (d₁), image de la droite (d) passant pas O’.

Exercice 9

1. Pour construire le centre du cercle circonscrit à un triangle, il faut tracer deux médiatrices du triangle.

2. On sait que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
Or, le centre du cercle circonscrit est le point d’intersection des médiatrices d’un triangle.
Donc, O appartient à la médiatrice du segment [AC].
De même, on sait que O’ est le centre du cercle circonscrit au triangle ACD.
Donc, O’ appartient à la médiatrice du segment [AC].
Une droite étant définie par deux points distincts, on en déduit que la droite (OO’) est la médiatrice du segment [AC].

Exercice 10

Mesure de l’angle $\widehat{ADC}$ :
Les angles $\widehat{ADC}$ et $\widehat{BDC}$ sont deux angles supplémentaires.
Or, la somme des mesures de deux angles supplémentaires est égale à 180°.
Donc : $\widehat{ADC}$ = 180° – $\widehat{BDC}$ = 180 – 68 = 112°
Mesure de l’angle $\widehat{ABC}$ :
La somme des mesures des angles du triangle ABC est égale à 180°, donc :
$\widehat{ABC}$ = 180 – $\widehat{BAC}$ – $\widehat{ACB}$ = 180 – 44 – 68 = 68°
Mesure de l’angle $\widehat{DCB}$ :
La somme des mesures des angles du triangle BDC est égale à 180°, donc :
$\widehat{DCB}$ = 180 – $\widehat{CDB}$ – $\widehat{DBC}$ = 180 – 68 – 68 = 44° (car $\widehat{ABC}$ = $\widehat{DBC}$ )
Mesure de l’angle $\widehat{DCA}$ :
$\widehat{DCA}$ = $\widehat{BCA}$ – $\widehat{BCD}$ = 68 – 44 = 24°
2. On sait que $\widehat{CDB}$ = 68° et on a montré que $\widehat{ABC}$ = $\widehat{DBC}$ = 68°, donc $\widehat{CDB}$ = $\widehat{DBC}$
Le triangle DBC est donc isocèle en C.
On an conclut que BC = CD.

Exercice 11

1. Hypothèses :
ABC isocèle en A,
P appartient à [BC],
les droites (PM) et (AC) sont parallèles,
les droites (PN) et (AB) sont parallèles.

2. a) Comparons les angles $\widehat{BPM}$ et $\widehat{BCA}$ :
Les angles $\widehat{BPM}$ et $\widehat{BCA}$ sont deux angles correspondants définis par les droites (PM) et (AC) et la sécante (PC).
On sait que les droites (PM) et (AC) sont parallèles et que la droite (PC) est sécante à (PM) et (AC).
Or, si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles correspondants définis par ces deux parallèles et la sécante sont de même mesure.
On en déduit que les angles correspondants $\widehat{BPM}$ et $\widehat{BCA}$ sont de même mesure : $\widehat{BPM}$ = $\widehat{BCA}$ .
b) Nature du triangle BMP :
On a vu, à la question précédente, que $\widehat{BPM}$ = $\widehat{BCA}$ .
Comme le triangle ABC est isocèle en A, alors $\widehat{CBA}$ = $\widehat{BCA}$ .
Donc : $\widehat{BPM}$ = $\widehat{CBA}$ = $\widehat{PBM}$ .
On en conclut que le triangle BMP est isocèle en M.
Nature du triangle PNC :
Les angles $\widehat{CPN}$ et $\widehat{PBM}$ sont deux angles correspondants définis par les droites (PN) et (BM) et la sécante (PM).
On sait que les droites (PN) et (BM) sont parallèles et que la droite (PM) est sécante à (PN) et (BM).
Or, si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles correspondants définis par ces deux parallèles et la sécante sont de même mesure.
On en déduit que les angles correspondants $\widehat{CPN}$ et $\widehat{PBM}$ sont de même mesure : $\widehat{CPN}$ = $\widehat{PBM}$ .
Comme le triangle ABC est isocèle en A, alors $\widehat{CBA}$ = $\widehat{BCA}$ .
Donc : $\widehat{CPN}$ = $\widehat{PBM}$ (= $\widehat{CBA}$ = $\widehat{BCA}$ ) = $\widehat{PCN}$ .
On en conclut que le triangle PNC est isocèle en N.
3. Le périmètre du parallélogramme AMPN est égal à :
AN + NP + MP + AM = (AC – NC) + NP + MP + (AB – MB)
Or, le triangle PNC est isocèle en N, donc NC = NP. Le triangle BMP est isocèle en M,
donc MP = MB. Donc :
AN + NP + MP + AM = AC – NP + NP + MB + AB – MB = AC + AB
Donc : quelle que soit la position du point P sur le segment [BC], le périmètre du parallélogramme AMPN est égal à AB + AC.