2. Position relative de deux droites
I)Position relative de deux droites
1)Rappel
Placer deux points A et B ; tracer une droite passant par ces deux points A et B .
Peut-on tracer d’autres droites passant par A et B ?
Réponse :

On ne peut tracer qu’une et une seule droite passant par A et B;cette droite se note (D) ou (AB) .
Par deux points distincts on ne peut faire passer qu’une et une seule droite.Si deux droites (D) et (AB) sont confondues on note (D)=(AB)
2) Droites sécantes-droites parallèles
a) Droites n’ayant pas de points communs
Tracer deux droites n’ayant pas de points communs

Dans ce cas on dit que (D) et (D’) sont distincts et on note (D) \cap (D’)= \phi qui se lit « (D) inter (D’) est l’ensemble vide ». On dit aussi que (D)//(D’)
b) Droites sécantes
Tracer deux droites (D) et (D’) sécantes en A

(D) et (D’) se coupent en A. A est le seul point commun à (D) et à (D’).On note (D) \cap (D’)= {A} qui se lit (D) inter (D’) est égal au singleton A.
Remarque : Deux droites du plan sont soit sécantes soit parallèles
II) Parallélisme
1) Axiome d’Euclide
a) Activité
Tracer une droite (D) et marquer un point A n’appartenant pas à (D).Tracer ensuite une droite parallèle à (D) et passant en A.
Combien de droites passant par A et parallèle(s) à (D) peut-on tracer ?

On ne peut tracer qu’une seule droite
b) Axiome d’Euclide
Etant donné une droite (D) et un point A ;il existe une et une seule droite parallèle à(D) et passant par A.
2) Propriétés
a) Activités 1
Tracer deux droites parallèles (\varDelta) et (\varDelta’).
Tracer une troisième droite (D) parallèle à (\varDelta) ; Quelle est la position relative de (D) par rapport (\varDelta‘) ?

(D) est aussi parallèle à (\varDelta‘)
b) Propriété 1
Si deux droites sont parallèles, alors toute droite parallèle à l’une est parallèle à l’autre.
c) Activité2
Tracer deux droites parallèles ( \varDelta‘) et (\varDelta‘) puis une troisième (D) sécante à ( \varDelta)
Quelle est la position relative de (D) par rapport (\varDelta‘) ?

(D) est aussi sécante à ( \varDelta‘ )
d) Propriété 2
Si deux droites sont parallèles alors toute droite sécante à l’une est sécante à l’autre
III) Perpendicularité
- Droites perpendiculaires
- Définition
On dit que deux droites (D) et (D’) sont perpendiculaires lorsqu’elles se coupent en formant un angle de 90° ; On note (D)\perp (D’) ou (D’) \perp (D)
2. Propriétés
a)Activités
Soit une droite ( \varDelta ) et un point A dans le plan. Tracer une droite perpendiculaire à ( \varDelta ) et passant par A. Combien de droite(s) perpendiculaire(s) à ( \varDelta ) et passant par A peut-on tracer ?

On ne peut tracer qu’une seule droite .
b) Propriété 1
Etant donné une droite (D) et un point A ; il existe une et une seule droite perpendiculaire à (D) et passant par A.
c) Activité2
Tracer deux droites perpendiculaires ( \varDelta ) et ( \varDelta’ ) et tracer une autre droite (D) perpendiculaire à ( \varDelta ). Que peut-on dire des droites (D) et ( \varDelta’ ) ?

( \varDelta’ ) et (D) sont parallèles
d) Propriété 2
Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles
Si ( \varDelta ) \perp ( \varDelta’ ) et ( \varDelta ) \perp (D) alors ( \varDelta’ )//(D)
Activites 3
Tracer deux droites parallèles ( \varDelta ) et ( \varDelta’ ) ; tracer une droite (D) perpendiculaire à ( \varDelta )
Que peut-on dire des droites ( \varDelta’ ) et (D) ?
Réponse :

(D) est aussi perpendiculaire à (Δ’)
Propriété 3
Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre. On écrit : si ( \varDelta )// ( \varDelta’ ) et ( \varDelta ) \perp (D) alors ( \varDelta‘ ) \perp (D).