Coniques – Tle

I. Généralités

1. Définition par foyer et directrice 

La conique \Gamma de foyer F, de directrice (D) et d’excentricité e est l’ensemble les points M du plan tels que :
\dfrac{MF}{d(M;(D))} = \dfrac{MF}{MH} = e, avec H le projeté orthogonal de M sur (D). 

Cette conique est appelée :
parabole lorsque e=1, 
ellipse lorsque 0 < e < 1,
hyperbole lorsque e > 1.

2. Axe focal 

a. Définition 

La droite (\Delta ) passant par le foyer F et orthogonale à (D) est appelée axe focal de la conique (\Gamma).

b. Propriété 

L’axe focal de d’une conique est axe de symétrie de cette conique.

3. Sommets 

a. Définition 

    Les points d’une conique situés sur l’axe focal sont appelés sommets de la conique.

b. Propriété 

L’axe focal d’une conique (\Gamma) rencontre cette conique en :
La parabole en un sommet unique S (e = 1)
L’ellipse ou l’hyperbole en deux sommets distincts A et A’ (e \ne 1)

II. Caractérisation analytique d’une parabole (P) de foyer F et de directrice (D) :

1. Définitions et propriétés 

(P) = \lbrace M~ \text{un~point~du ~plan} ~;~ \dfrac{MF}{MH} = 1 \rbrace. H est le projeté orthogonal de M sur (D)

On appelle paramètre d’une parabole la distance du foyer à la directrice.
On note p ce paramètre.

2. Equation réduite d’une parabole 

Dans un repère orthonormé (S, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) où \overrightarrow{i} = \dfrac{1}{SF} \overrightarrow{SF}. On pose p = KF ~ (p paramètre de la parabole (P))

Equation réduite de (P) : y^2 = 2px.
Foyer :  F(\dfrac{p}{2}~;~0).
K(- \dfrac{p}{2}~;~0) et H(- \dfrac{p}{2}~;~y)
Directrice : (D) : y = - \dfrac{p}{2}

NB : un échange  des axes de repère (S , \overrightarrow{i}) et (S , \overrightarrow{j}) conduit à une équation réduite de la forme x^2 =2py
Dans ces conditions on a Foyer : F(0 ~;~\dfrac{p}{2}) ; K(0 ~;~-\dfrac{p}{2}) ; H(-\dfrac{p}{2} ~;~0) et Directrice : (D) : x = - \dfrac{P}{2}.

3. Réciproque : Dans un repère orthonormé (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})

La courbe (P) d’équation : y^2 = 2px est la parabole de foyer F( \dfrac{p}{2} ~;~0), de sommet O, d’axe focal (O; \overrightarrow{i}) et de directrice (D) d’équation x = -\dfrac{p}{2}.
|p| est le paramètre de (P).

4. Construction d’une parabole

Soit (P) la parabole de foyer F et de directrice (D). Pour construire un  point M de (P),

• Choisir un point H de (D), tracer la droite (\Delta _H) perpendiculaire à (D)
• Tracer la médiatrice (\Delta) de [FH]
• \lbrace M \rbrace = (\Delta ) \cap (\Delta)

5. Exemples

Soit (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) un repère orthonormé du plan. Déterminer la nature et les caractéristiques de la courbe (P) d’équation :
a) x = y^2
b) y = -2x^2
c) y^2 + 2y - X - 5 = 0
d) 2x^2 - 4x -6 -y =0

III. Conique à centre (Cas e \ne 1) 

Soit \Gamma une conique de foyer F, de directrice (D) et d’excentricité e ~(e \ne 1)
On désigne par A et A’ les sommets de (\Gamma) situés sur son axe focal
On designe O le milieu de [AA’]
On considere le repere (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) avec \overrightarrow{i} = \dfrac{\overrightarrow{OA}}{||\overrightarrow{OA}||}
On pose

On a :
A = \text{bar} \lbrace (F,1)~;~(K,e) \rbrace \Leftrightarrow \overrightarrow{OF} + e\overrightarrow{OK} = (1+e) \overrightarrow{OA} ;
A' = \text{bar}\lbrace (F,1)~;~(K,-e) \rbrace \Leftrightarrow \overrightarrow{OF} - e\overrightarrow{OK} = (1-e) \overrightarrow{OA}
On en déduit que : \overrightarrow{OF} = e\overrightarrow{OA} et \overrightarrow{OA} = e\overrightarrow{OK}

On pose : a = OA et c = OF
On a OF = eOA et OA = e OK ; on en déduit que : e = \dfrac{c}{a} et OK = \dfrac{a^2}{c}
De plus, F \binom{c}{0} et (D) : x = \dfrac{a^2}{c}

Soit M \binom {x}{y} un point du plan ; H \begin{pmatrix} \frac{a^2}{c} \\ y \end{pmatrix} est le projeté orthogonal de M sur (D)
On a : M \in (\Gamma ) \Leftrightarrow MF = eMH
\Leftrightarrow (x-c)^2 + y^2 = \dfrac{c^2}{a^2} (x - \dfrac{a^2}{c})^2 \\ \Leftrightarrow (a^2 - c ^2) \dfrac{x^2}{a^2} + y^2 - (a^2 - c^2) =0 \\ \Leftrightarrow \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{a^2 - c^2} = 1

A. Caractérisation analytique d’une ellipse (E)  de foyer F et directrice associée (D) 

1.  Equation réduite de l’ellipse (E) : Dans le repère orthonormé (\Omega, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) où \overrightarrow{i} = \dfrac{1}{\Omega F'} \overrightarrow{\Omega F'}

Equation réduite : \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1.
Foyers : F(c ~;~0) et F'(-c~;~0).
Directrices : (D) : x = \dfrac{a^2}{c} et (D') : x= -\dfrac{a^2}{c}.

2. Réciproque 

Dans un repère orthonormé (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}). a et b sont des nombres réels strictement positifs.
L’ensemble des points M(x~;~y) tels que : \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 est une ellipse.

3. Exemples 

Soit (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) un repère orthonormé du plan. Déterminer la nature et les caractéristiques de la courbe (E) d’équation :
a) \dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1 
b) 4x^2 + y^2 = 1 
c) 16x^2 + 9y^2 + 32x -54y - 47 = 0 

B. Caractérisation analytique d’une hyperbole (H) de foyer F et de directrice (D) 

1. Equation réduite de l’hyperbole (H) : Dans le repère orthonormé (\Omega, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) où \overrightarrow{i} = \dfrac{1}{\Omega F'} \overrightarrow{\Omega F'}.

Equation réduite : \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1.

Foyers : F(c ~;~ 0) et F’(-c ~:~ 0)

Directrices : (D) : x = \dfrac{a^2}{c} et (D') : x = - \dfrac{a^2}{c}.

Asymptotes : (\Delta) : y = \dfrac{b}{a} et (\Delta ') : y = - \dfrac{b}{a}.

2. Réciproque : Dans un repère orthonormé (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}). a et b sont des nombres réels strictement positifs.

3. Exemples

Soit (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) un repère orthonormé du plan. Déterminer la nature et les caractéristiques de la courbe (E) d’équation :
a) \dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1 
b) x^2 - 4y^2 = 1 
c) 16x^2 - 9y^2 - 64x -54y - 161 = 0 

4. Equation d’une hyperbole rapportée à ses asymptotes 

 Soit \overrightarrow{u} un vecteur directeur de l’asymptote (\Delta) et \overrightarrow{v} un vecteur directeur de l’asymptote (\Delta ').
    Dans le repère (O, \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}), (H ) a pour équation XY = k où k \in \R.

 Exemple : Soit (H) l’hyperbole d’équation \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1
(\Delta) : y = \dfrac{b}{a} x  de vecteur directeur \overrightarrow{U}(a~;~b) , (\Delta ') : y = - \dfrac{b}{a} x  de vecteur directeur \overrightarrow{U}(-a~;~b).

Dans le repère (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}), ~M(x~;~y).
Alors \overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j}

Dans le repère (O, \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}), ~M(X~;~Y).
Alors :
\overrightarrow{OM} = X\overrightarrow{u} + Y \overrightarrow{v} \\ = X(a\overrightarrow{i} + b \overrightarrow{j}) + Y(-a\overrightarrow{i} + b \overrightarrow{j}) \\ a(X-Y)\overrightarrow{i} + b(X+Y)\overrightarrow{j}

On a :
\begin{cases} x = a(X-Y) \\ y =b(X+Y) \end{cases}
Alors
\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{a^2(X-Y)^2}{a^2} - \dfrac{b^2(X+Y)^2}{b^2} = 1 \\ \Leftrightarrow (X-Y)^2 - (X+Y)^2 = 1 \\ \Leftrightarrow -4XY = 1 \\ \Leftrightarrow XY = -\dfrac{1}{4}

5. Hyperboles équilatères :

Lorsque les asymptotes d’une hyperbole sont perpendiculaires, on dit que l’hyperbole est équilatère. Son excentricité est \sqrt2.

VI. Définitions bifocales d’une l’ellipse ( non réduite à un cercle ) et d’une l’hyperbole 

  Théorème 1 :

Si (E) est l’ellipse de foyers F et F’ et de sommets A et A’ tels que AA' = 2a (a > 0), alors :
M \in (E) \Leftrightarrow MF + MF' = 2a.

Soit F et F’ deux points donnés, distincts du plan P et un réel a, a > 0. 
\lbrace M \in P, MF + MF' = 2a \rbrace  est :
– L’ellipse (E) de foyers F et F’ et de sommets A et A’ tels que AA’ = 2a, si 2a > FF’,
– L’ensemble  vide, si 2a < FF’,
– Le segment [FF’], si 2a = FF’.

Théorème 2 :

Si (\Gamma) est l’hyperbole de foyers F et F’ et de sommets A et A’ tels que AA' = 2a (a > 0), alors :
M \in (E) \Leftrightarrow |MF + MF'| = 2a.

 Soit F et F’ deux points donnés, distincts du plan P et un réel a, a > 0. 
\lbrace M \in P, |MF + MF'| = 2a \rbrace est ;
– l’hyperbole (\Gamma) de foyers F et F’ et de sommets A et A’ tels que AA’ = 2a, si 2a < FF’,
– l’ensemble vide, si 2a > FF’,
– les demi-droites  [Fx) et [F’x’) , si 2a = FF’.