Exercices – Dérivabilité – 1ère S
Le plan est muni du repère orthogonal (O,I,J).
Dans les exercices 1 à 7, f est une fonction de \R vers \R.
Exercice 1
Dans chacun des cas suivants, calculer en utilisant la définition le nombre dérivé de la fonction en .
a) f: x \mapsto -3x+2, x_0= -1
b) f: x \mapsto -4x^2+3x+5 , x_0= 3
c) f: x \mapsto -\frac{2}{x^2}, x_0= 1
d) f: x \mapsto\frac{2x+1}{x-1} , x_0= 2
e) f: x \mapsto 3x^2-2, x_0= -1
Exercice 2
Dans chacun des cas suivants, donner une équation de la tangente (T) à la courbe représentative de la fonction f en x_0 .
a) f : x\mapsto 3 , x_0 = -1
b) f : x\mapsto 2x^2-3x+2 , x_0 = 1
c) f : x\mapsto -\dfrac{4}{x^2} , x_0 = 1
d) f : x\mapsto \dfrac{2x+1}{3x-1} , x_0 = 2
e) f : x\mapsto 3x-7 , x_0 =0
f) f : x\mapsto x^2+4x , x_0 = -4
f) f : x\mapsto \dfrac{1}{x^2} , x_0 = -2
g) f : x\mapsto \dfrac{1}{3x-1} , x_0 = 2
Exercice 3
On donne ci-dessous la courbe représentative d’une fonction f définie sur \R et quelques-unes de ses tangentes.
1) Donner en utilisant ce graphique les valeurs de : f'(-3), f'(-\frac{3}{2}) et f'(0).
2) Dresser le tableau de variation de f
Exercice 4
Soit la fonction définie sur \R par :
f(x)=\dfrac{x^3}{6}-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{3x}{2}+5
La courbe (C) ci-dessous est la représentation graphique de f.
1. Déterminer f'(0).
2. Sans utiliser une équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse 0, tracer (T).
Exercice 5
On donne ci-dessous la courbe représentative d’une fonction f définie sur \R et quelques-unes de ses tangentes.
Donner en utilisant ce graphique les valeurs de f'(-1) et f'(3).
Exercice 6
Déterminer la dérivée de la fonction f dans chacun des cas :
a) f(x)=-2
b) f(x)=5x
c) f(x)=2x-7
d) f(x)=\dfrac{x^3}{3}
e) f(x)=\dfrac{3}{2x}
f) f(x)=x^2-3x+2
g) f(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}+x+1
h) f(x)=\dfrac{1}{2x+4}
i) f(x)=\dfrac{2-x}{2+x}
j) f(x)=(2-3x)(x+4)
k) f(x)=\dfrac{3}{2x+1}
l) f(x)=\dfrac{5-2x}{3}
m) f(x)=1-\dfrac{4}{2-x}
n) f(x)=(3+4x)(x^2-x+1
0) f(x)=(2x-1)^2
p) f(x)=-2x^3+x^2+3x-5
q) f(x)=-4x^2+3x-5
r) f(x)=\dfrac{3}{4}x-\dfrac{5}{2}
s) f(x)=\dfrac{1}{2}(x^2+3x)
t) f(x)=1-\dfrac{2}{x}
u) f(x)=\dfrac{4-6x}{5}
v) f(x)=(x^2+x)(2-x).
Exercice 7
Etudier les variations de la fonction f dans chacun des cas et dresser son tableau de variation :
a) f(x)=x^2-x
b) f(x)=3x^2+4x+2
c) f(x)=x^3+x^2
d) f(x)=-x^3+x^2-4x+1
d) f(x)=\dfrac{-2x+1}{x+1}
e) f(x)=\dfrac{2x-3}{x+1}
f) f(x)=\dfrac{-2}{3-x}
g) f(x)=\dfrac{x-1}{x+1}
h) f(x)=1-\dfrac{2}{x}
i) f(x)=-\dfrac{4}{x}
j) f(x)=-10
k) f(x)=\dfrac{x^3}{3}+x^2-3.
Exercice 8
(C_f) est la représentation graphique d’une fonction f.
(T1) et (T2) sont les tangentes à (C_f) aux points d’abscisses respectives 0 et 1.
Déterminer f'(0) et f'(1), puis les équations de (T1) et (T2).
Exercice 9
f est une fonction de \R vers \R. (C) désigne sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal (O,I,J).
1) Etudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variation.
2) Tracer (C) sur K.
a) f(x) = \dfrac{2x-1}{x+1} ,
K =[-4~ ; ~-1,2] \cup [-0,8~ ; ~3] ;
b) f(x)=\dfrac{5}{x} ,
K =[-2~ ; ~-0,5] \cup [-0,5 ~; ~4] ;
c) f(x) =x^2+x+1 ,
K =[-2 ; 2] ;
d) f(x) =x^3-3x+5
K =[-3 ; 3] ;
e) f(x) =-x^3+4x^2+3x-6
K =[-1 ; 4] ;
f) f(x) =\dfrac{x^3}{3}-x^2+x
K =[-1 ; 4] ;
g) f(x) =\dfrac{1}{2}x^2-x+1
K =[-2 ; 4].
Exercice 10
On considère la fonction f de \R vers \R et définie par :
f(x)=(2x+1)^2(x-1).
(C) désigne sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal (O,I,J). Unité graphique : 4 cm.
1) Donner la forme développée, réduite et ordonnée de f(x).
2) Etudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variation.
3) Démontrer que le point A(0 ;-1) est centre de symétrie de (C).
4) Calculer les coordonnées des points d’intersection de (C) avec l’axe (OI).
5) Tracer (C) sur [-1~;~\frac{3}{2}].
6) Tracer la tangente (T) à (C) au point A.
Exercice 11
Soit la fonction f définie sur \R par :
f(x)=-2x^2-3x+2.
1) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
2) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de (C) avec (OI) et (OJ).
3) Démontrer que la droite (D) d’équation x=-\frac{3}{4} est axe de symétrie de (C).
4) Tracer (C) sur [-3~;~2] dans le plan muni d’un repère orthonormé.
Exercice 12
Soit f la fonction définie sur \R par :
f(x)=\dfrac{x^2}{2}-x+1.
1) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
2) Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse 1.
3) Démontrer que la droite (D) d’équation x=1 est axe de symétrie de (C).
4) Tracer (T) et (C) sur [-2~;~4] dans le plan muni d’un repère orthonormé .
Exercice 13
Soit f et g les fonctions définies sur \R par :
f(x)=x^2-2x+2 et
g(x)=-3x^2-x+7.
(C_f) et (C_g) désignent respectivement les courbes représentatives de f et g dans le plan muni du repère orthogonal (O, I, J).
1) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
2) Etudier les variations de g et dresser son tableau de variation.
3) Etudier la position de (C_f) par rapport à (C_g).
4) Tracer (C_f) et (C_g) sur [-7~;~7] dans le plan muni d’un repère orthonormé .
Exercice 14
Soit f et g les fonctions définies sur \R par :
f(x)=1+x+\dfrac{x^2}{2}
et ~~g(x)=1+x+\dfrac{x^2}{2} +\dfrac{x^3}{6} .
(C_f) et (C_g) désignent respectivement les courbes représentatives de f et g dans le plan muni du repère (O, I, J).
1. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
2. . Etudier les variations de g et dresser son tableau de variation.
3. Etudier la position de (C_f) par rapport à (C_g).
4. Tracer (C_f) et (C_g) sur [-7~;~5] dans le plan muni d’un repère orthonormé .
Exercice 15
Soit f la fonction définie sur \R par :
f(x)=x^3-3x-1
1) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
2) Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse 0.
3) Démontrer que le point A(0 ;-1) est centre de symétrie de (C).
4) Tracer (T) et (C) sur [-2~;~2] dans le plan muni d’un repère orthonormé .
Exercice 16
Soit f la fonction définie sur \R par :
f(x)=-x^3+4x^2-4x+1 .
1) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
2. a) Calculer f(1)
b) Déterminer trois nombres réels a, b et c tels que, pour tout x de \R, on a :
f(x)=(x+1)(ax^2+bx+c).
c) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de (C) avec (OI) .
3. Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse 1.
4.a) Démontrer que, pour tout x de \R :
f(x)-(x-1)=(-x+2)(x-1)^2.
b) En déduire les positions relatives de (C) et (T).
5. Tracer (T) et (C) sur [-2~;~2] dans le plan muni d’un repère orthonormé .
Exercice 17
Soit f la fonction définie sur \R par :
f(x)=\dfrac{1}{2}(x+1)(x-2)^2.
1. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations.
2. Démontrer que le point A(1 ;1) est centre de symétrie de (C).
3.a) Déterminer que la droite (T) d’équation y=-\frac{3}{2}x+\frac{5}{2} est tangente à (C) au point d’abscisse 1.
b) Justifier que pour tout x de \R, on a :
f(x)-(-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{5}{2}=\dfrac{1}{2}(x-1)^3.
c) En déduire les positions relatives de (C) et (T).
4. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de (C) avec (OI) et (OJ).
5. Tracer (T) et (C) sur [-2~;~2] dans le plan muni d’un repère orthonormé .
Exercice 18
Soit la fonction f de \R vers \R et définie par :
f(x)=\dfrac{x+1}{2x-3}.
1) Déterminer l’ensemble de définition D_f de la fonction f.
2) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
3) Démontrer que le point A(\frac{3}{2} ; \frac{1}{2}) est centre de symétrie de (C).
4) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de (C) avec (OI) et (OJ).
Tracer les tangentes en ces points.
5) Tracer (C) sur [-5~;~6] dans le plan muni d’un repère orthonormé.
Exercice 19
Soit la fonction f de \R vers \R et définie par :
f(x)=\dfrac{2x}{x+1}.
1) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f.
2) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
3) Démontrer que le point A(-1 ; 2) est centre de symétrie de (C).
4) Tracer (C) sur [-7 ; 7] dans le plan muni d’un repère orthonormé (O,I,J).
Exercice 20
Soit la fonction f de \R vers \R et définie par :
f(x)=-\dfrac{3}{x}.
1) Etudier la parité de f.
2) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
3) Tracer (C) sur [-5 ; 5] dans le plan muni d’un repère orthonormé (O,I,J).
Exercice 21
Soit f une fonction dont le tableau de variation est le suivant :
1) f admet-elle un maximum ? Justifier.
2) Déterminer le signe de f(x) selon les valeurs de x.
Exercice 22
On considère la fonction f déterminée par sa représentation graphique ci-dessous.
Etudier le signe de f(x) suivant les valeurs de x sur [-2 ; 3].
Exercice 23
La fonction f définie et dérivable sur [-1 ; 4] est représentée par la courbe (C_f) ci-dessous.
Dresser le tableau de variation de f.
Exercice 24
La fonction f définie et dérivable sur [-4 ; 4] est représentée par la courbe (C_f) ci-dessous.
Dresser le tableau de variation de f.
Exercice 25
La fonction f définie et dérivable sur [0 ; 7] est représentée par la courbe (C_f) ci-dessous.
Dresser le tableau de variation de f.
Exercice 26
Une entreprise produit chaque trimestre des ardoises en quantité q (exprimée en milliers).
Lorsque la quantité q est comprise entre 10 et 29, on admet que le coût de production par trimestre, exprimé en milliers de F CFA, est donné par :
C(q) = q3 – 48q + 600.
L’entreprise vend chaque millier d’ardoises à 627 000 F CFA.
1) Démontrer que le bénéfice mensuel B(q), exprimé en milliers de FCFA, est donné par :
B(q) = -q3 + 675q – 600
avec q ∈ [10 ; 29].
2) Calculer B'(q) où B’ désigne la dérivée de la fonction B.
3) Étudier le signe de B'(q) sur l’intervalle [10 ; 29].
Dresser le tableau de variations de la fonction B.
4) En déduire le nombre de milliers d’ardoises à produire par trimestre pour obtenir un bénéfice maximal.
Quel est alors ce bénéfice maximal ?
5.a) Représenter graphiquement la fonction B.
b) En utilisant ce graphique, déterminer le nombre de solutions de l’équation B(q)=0 et donner des valeurs approchées de ces solutions.
6) Déterminer graphiquement les productions qui assurent à l’entreprise un bénéfice positif.
Exercice 27
Un libraire vend des stylos à 140 F l’unité.
Son bénéfice mensuel, en francs, sur cet article est donné par :
B(x)=x(48-\frac{x}{2}), où x est le nombre de stylos.
1.a) Etudier les variations du revenu.
b) En déduire le nombre de stylos rendant le revenu maximal.
2.a) Exprimer le chiffre de ce libraire sur la vente de ces stylos, en fonction de .
b) Déterminer le nombre de stylos à vendre permettant d’obtenir un revenu supérieur au quart du chiffre d’affaires sur cet article
