Corrigé Sujet 6 – 1ère S
Exercice 1
La courbe représentative C_f de la fonction f coupe l’axe des abscisses aux points (s’ils existent) d’abscisse x tels que f(x)=0.
f est une fonction trinôme du second degré, de discriminant \Delta =b^2 – 4ac . Si a et c sont de signes contraires, alors, ac<0, et donc -4ac >0,
d’où, \Delta =b^2 – 4ac > b^2 >0 et le trinôme f admet deux racines réelles distinctes x_1 et x_2 . En d’autres termes :
f(x_1) = f(x_2) =0 , et ainsi C_f coupe l’axe des abscisses en deux points distincts.
Exercice 2
1) La parabole coupe la droite (D_p) aux éventuels points d’abscisse x tel que :
f(x)= x + p,
soit 9x^2 + 3x + 1 = x + p ,
ou encore 9x^2 + 2x + 1 -p=0 .
Le discriminant de cette équation du second degré est :
\Delta=4-4\times 9 \times(1-p)=4(-8 + 9p) .
La parabole coupe cette droite en un seul point si et seulement si \Delta=0,
soit -8 + 9p=0 , et donc si et seulement si p=\dfrac{8}{9} .
La parabole coupe cette droite en deux points distincts si et seulement si \Delta>0 , c’est-à-dire si et seulement si p> \dfrac{8}{9}.
2) La parabole coupe la droite (\Delta_m) aux éventuels points d’abscisse x tel que f(x)=mx,
soit 9x^2 + 3x + 1 =mx, ou encore :
9x^2 + (3-m)x + 1=0 .
La parabole coupe cette droite en un unique point si et seulement si le discriminant de cette équation est nul :
\Delta=(3-m)^2 – 4\times 9=0,
soit m^2 -6m + 9 – 36 =m^2 – 6m – 27 =0 .
Le discriminant de cette dernière équation est :
\Delta’ =36 + 4 \times 27 = 144 = 12^2 .
Elle admet donc dux solutions réelles distinctes :
m=\dfrac {6-12}{2}= -3 et m=\dfrac{ 6 + 12}{2}=9 .
Finalement, la parabole coupe (\Delta_m ) en un seul point pour m=-3 et m=9
Exercice 3
1) Comme N est le symétrique de M par rapport à (AC), \\ (\overrightarrow{CM},\overrightarrow{CA})=(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CN})
et de même,
(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CP})=(\overrightarrow{CN},\overrightarrow{CB})
2) D’après la relation de Chasles (on essaie de faire intervenir les angles de la question précédente), (\overrightarrow{CM},\overrightarrow{CP})= (\overrightarrow{CM},\overrightarrow{CA}) + (\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}) + (\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CP})
=(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CN}) + \dfrac{\pi}{4} + (\overrightarrow{CN},\overrightarrow{CB})
Soit, en utilisant à nouveau la relation de Chasles :
(\overrightarrow{CM},\overrightarrow{CP})=(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}) + \dfrac {\pi}{4}
= \dfrac {\pi}{4} + \dfrac {\pi}{4}=\dfrac {\pi}{2}
On en conclut donc que le triangle CMP est rectangle en C.
Exercice 4
1) Comme le pentagone est régulier:
(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}) = \dfrac{2\pi}{5}; (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC})= \dfrac{4\pi}{5};
(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OD})= \dfrac{6\pi}{5}; (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OE})= \dfrac{8\pi}{5}
2) Les coordonnées de chaque point sont les cosinus et sinus des angles correspondants :
A(1,0),
B(\cos(\dfrac{2\pi}{5}), \sin (\dfrac{2\pi}{5})),
C(\cos(\dfrac{4\pi}{5}), \sin (\dfrac{4\pi}{5})),
D(\cos(\dfrac{6\pi}{5}), \sin(\dfrac{6\pi}{5})),
E(\cos(\dfrac{8\pi}{5}), \sin (\dfrac{8\pi}{5}))
3) D’après ce qui précède, le vecteur \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OE} a pour abscisse \cos(\dfrac{2\pi}{5}) + \cos (\dfrac{8\pi}{5}) et pour ordonné \sin (\dfrac{2\pi}{5}) + \sin (\dfrac{8\pi}{5})
Or, \dfrac{8\pi}{5}=2\pi – \dfrac{2\pi}{5} , ainsi les points B et E sont symétriques par la symétrie d’axe (OA), et donc
\cos(\dfrac{8\pi}{5}) = \cos(\dfrac{2\pi}{5}) et \sin (\dfrac{8\pi}{5}) = -\sin(\dfrac{2\pi}{5}) .
On a donc bien , \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}= 2\cos(\dfrac{2\pi}{5}) \overrightarrow{OA} .
4) En utilisant les relations de la question précédente, on a:
\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} \\ = \overrightarrow{OA} + \cos(\dfrac{2\pi}{5}) \overrightarrow{OA} + \cos(\dfrac{4\pi}{5}) \overrightarrow{OA}
= [1 + 2 \cos(\dfrac{2\pi}{5}) + 2 \cos(\dfrac{4\pi}{5})] \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{0}
Ainsi, 1 + 2 \cos(\dfrac{2\pi}{5}) + 2 \cos(\dfrac{4\pi}{5}) =0
5) En utilisant la formule de duplication, la relation précédente devient:
1 + 2 \cos(\dfrac{2\pi}{5}) + 2 \cos(\dfrac{4\pi}{5})
= 1 + 2 \cos(\dfrac{2\pi}{5}) + 4 \cos^2(\dfrac{2\pi}{5}) – 2=0
Soit, 4 \cos^2(\dfrac{2\pi}{5}) + 2 \cos(\dfrac{2\pi}{5}) – 1 =0
a) Ainsi, \cos(\dfrac{2\pi}{5}) est solution de l’équation :
4 x^2 + 2x – 1=0
b) Le déterminant de cette équation du second degré est :
\Delta = 4 + 16 = 20,
et donc les racines sont :
x_1 = \dfrac {-2-\sqrt{20}}{8} = – \dfrac {1 + \sqrt{5}}{4}
et x_2 = \dfrac {-2-\sqrt{20}}{8} = \dfrac {-1 + \sqrt{5}}{4}
Comme \cos(\dfrac {-2\pi}{5} )>0 (c’est l’abscisse du point B), on en déduit que :
\cos(\dfrac {2\pi}{5}) = \dfrac {-1 + \sqrt{5}}{4}
Exercice 5
1) Pour x \in I, \\ \alpha x + \beta + \dfrac{2}{x-1} =\dfrac{\alpha x^2 + (-\alpha + \beta) x + 2 – \beta}{x-1} et donc, on doit avoir
\begin{cases}\alpha=1\\-\alpha + \beta=2 \\ 2 – \beta=1 \end{cases} soit, \begin{cases}\alpha=-1\\\beta=1 \end{cases} et donc, pour tout x \in I, \\ f(x)=-x + 1 +\dfrac{2}{x-1}
2) On peut écrire f comme la somme f= u + (-2v) où u(x)= -x + 1 est une fonction affine décroissante,
et v(x) = \dfrac{1}{x-1} est la composée de la fonction inverse qui est décroissante et de la fonction affine x\mapsto x-1 qui est décroissante. Ainsi, v est décroissante, donc -2 v est décroissante, et donc, la fonction f est décroissante.
3) a) Pour x \in I, le point P \in C_f a pour coordonnées (x; f(x)), tandis que le point Q \in (\Delta) a pour coordonnées (x~;~ – x +1).
La distance PQ est donc :
PQ= f(x) – (-x +1)=\dfrac{2}{x-1}.
b) Pour x \in I c’est-à-dire x>1, \\ x-1>0, et donc le point P est au dessus du point Q. On en déduit que C_f est au dessus de \Delta.
c) Lorsque x devient (très) grand, x – 1 devient aussi grand, et donc PQ=\dfrac{2}{x-1} devient (très) petit.
Cela signifie, géométriquement, que lorsque x devient grand, “à la limite lorsque x \rightarrow \infty, la courbe C_f se confond avec la droite \Delta.
