4 : Suites numériques réelles – 1e L
I. Généralités
1. Définition
On appelle suite numérique réelle, toute application u d’une partie I de \N dans \R. L’image d’un entier n (de I) est notée u_n
u : I \rightarrow \R \\ ~~~~~~ n \mapsto u(n) = u_n
Le terme d’indice n qui est u_n , est appelé terme général de la suite u. et on note aussi u = (u_n).
Si u est définie pour tout n \in \N^*
le 1e terme est u_1
le 2e terme est u_2
le ne terme est u_n
Si n est définie sur \N
le 1e terme est u_0
le 2e terme est u_1
le ne terme est u_{n+1}
Deux façons de définir une suite :
– Une suite peut être définie par la donnée de l’expression de son terme général en fonction de n
Exemple : (U_n) est la suite définie par
u_n = \dfrac{n}{n+1} ~~( u_n = f(n) avec f : x \mapsto \dfrac{x}{x+1}) \\ u_0=0 ~;~ u_1= \dfrac{1}{2}; u_{100} = \dfrac{100}{101}
– On peut aussi définir une suite par la donnée d’un premier terme (u0 ou u1 en général) et d’une relation entre deux termes consécutifs quelconques de la forme un+1= f(un)
Exemple : (u_n) est la suite définie par : \begin{cases} u_0 =1 \\ u_{n+1} = \dfrac{u_n}{u_n + 1} \end{cases}
On a : u_1= \dfrac{u_0}{u_0 +1} = \dfrac{1}{2} ~;~ u_2 = \dfrac{u_1}{u_1 + 1} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2} + 1} = \dfrac{1}{3}~;~ u_3 = \dfrac{1}{4}
La relation un+1= f(un) est dite relation de récurrence.
La relation de récurrence peut lier trois termes (ou même plus) consécutifs.
Exemple : (u_n) est la suite définie par : \begin{cases} u_0 = 1 ~;~ u_1 = 2 \\ u_{n+1} = \dfrac{u_n - u_{n-1}}{u_n + u_{n-1}} \end{cases}
On a alors u_3 = \dfrac{u_2 - u_1}{u_2 + u_1} = \dfrac{2-1}{2+1} = \dfrac{1}{3} ; u_4 = \dfrac{u_3-u_2}{u_3+u_2} … ;
2. Sens de variation d’une suite
Définitions :
Une suite (u_n) est dite croissante si quel que soit n, u_{n+1} \geq u_n
Une suite (u_n) est dite décroissante si quel que soit n, u_{n+1} \leq u_n
(u_n) est dite constante ou stationnaire si quel que soit n, u_{n+1} = u_n
Etude de variation
1ère méthode :
On étudie le signe de u_{n+1} - u_n :
– si u_{n+1} - u_n \geq 0 ; (u_n) est croissante
– si u_{n+1} - u_n \leq 0 ; (u_n) est décroissante
– si u_{n+1} - u_n = 0 ; (u_n) est constante
2e méthode :
Si tous les termes de la suite sont strictement positifs, on peut comparer \dfrac{u_{n+1}}{u_n} à 1 :
Si \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1 pour tout n, (U_n ) est croissante
Si \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1 pour tout n, (U_n ) est décroissante
Si \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 1 pour tout n, (U_n ) est constante
3e méthode :
Si (u_n) est définie par U_n = f(n), on étudie la variation de f sur [0 ~;~+\infty [.
Si f est croissante, (U_n) est croissante
Si f est décroissante, (U_n) est décroissante
Si f est constante, (U_n) est constante
II. Suites particulières
1. Suites arithmétiques
Définition
Une suite (U_n) est une suite arithmétique, si quel que soit n, u_{n+1} - u_n est une constante r.
On a donc pour tout n, u_{n+1} - u_n = r ou u_{n+1} = u_n + r
Le réel r est appelé raison de (U_n)
On a alors, si U_0 est le 1er terme de (U_n) et r sa raison alors :
u_n = u_0 + nr
D’une manière générale si U_p est le 1er terme de la suite arithmétique (U_n) et r sa raison alors :
u_n = u_p + (n - p)r
Somme des termes consécutifs d’une suite arithmétique
Soit (u_n) une suite arithmétique de 1er terme U_0 et de raison r. On a :
S_n = u_0 + u_1 + ... + u_n
S_n = u_0 + u_1 + ... + u_2 = \dfrac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}
où U_0 : le 1er terme de la somme, U_n : le dernier terme de la somme et (n+1) : le nombre de termes..
2. Suites géométriques
Définition
(U_n) est une suite géométrique s’il existe un réel q tel que quel que soit n, \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = q.
Le réel q est appelé raison de la suite géométrique (U_n) et on a u_{n+1} = q.u_n
Expression de U_n en fonction de n
Quels que soient n et k (U_k étant le premier terme de la suite)
u_n = q^{n-k} . u_k
Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique
Soit (U_n) une suite géométrique de raison q et de 1er terme U_0
S_n = u_0 + u_1 + ... + u_n
Si q \ne 1 , S_n = u_0 \dfrac{1 - q^{n+1}}{1-q}
où U_0 : 1er terme de la somme et n+1 : nombre de termes de la somme.
Exercice d’application
1) Soit (U_n) la suite définie par U_n = \dfrac{1}{3^n}. Montrer que (U_n) est une suite géométrique que l’on précisera son premier terme et sa raison.
2) (V_n) est la suite arithmétique de premier terme V_0 = 3 et de raison r = 5
a) Exprimer V_n en fonction de n (n \in \N)
b) Calculer la somme S_{10} des 10 premier termes
Corrigé
1) Montrons que (U_n) est une suite géométrique
\dfrac{U_{n+1}}{U_n} = \dfrac{\dfrac{1}{3^{n+1}}}{\dfrac{1}{3^{n}}} = \dfrac{1}{3^{n+1}} \times 3^n = \dfrac{3^n}{3^{n+1}} = \dfrac{3^n}{3 \times 3^n} = \dfrac{1}{3} donc U_n est une suite géométrique de raison q = \dfrac{1}{3} et de premier terme U_0 = \dfrac{1}{3^0} = 1.
2.a) Expression de V_n en fonction de n.
V_n=V_0+ n.r= 3+5n.
b) Calcul de la somme S10
S_n = \dfrac{n(V_0+V_{n-1})}{2} donc S_{10} = \dfrac{10(V_0+V_{9})}{2} avec
V_9 = V_0 + n.r = 3 + 9 \times 5 = 48 d’où
S_{10} = \dfrac{10(3+48)}{2} =255