5 : Dénombrement – 1e L
I. Généralité sur les ensembles
1. Ensemble-Elément
Un ensemble est une collection d’objets appelés éléments de E telle que quel que soit l’objet a, on peut dire sans ambiguïté que a est ou n’est pas un élément de E.
Si a est un élément de E, on écrit a \in E si non a \notin E.
Deux ensembles E et F sont égaux, et on écrit E=F, s’ils possèdent les mêmes éléments.
L’ensemble vide, noté \text{\O}, est l’ensemble qui n’a aucun élément.
Un ensemble qui n’a qu’un seul élément est un singleton.
2. Partie d’un ensemble : Inclusion
Soit A et E deux ensembles.
On dit que A est une partie de E (ou un sous ensemble de E ou inclus dans E) si tous les éléments de A sont éléments de E.
On écrit : A \subset E
(A \subset E) \Leftrightarrow (si x \in A alors x \in E)
(A \notin E) \Leftrightarrow (\exist ~ x,~x \in A et x \notin E)
A n’est pas inclus dans E s’il existe un élément de A qui n’est pas dans E.
3. Complémentaire d’une partie
Définition
Soient A et E deux ensembles.
L’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A est appelé complémentaire de A dans E et noté C_E A ou \overline{A}
\overline{A} = C_E A = \lbrace x, ~x \in E et x \in A \rbrace
Si x est un élément de E, on a : x \in \overline{A} \Leftrightarrow x \notin A
Et aussi x \in A \Leftrightarrow x \notin \overline{A}
4. Réunion et intersection de deux ensembles
Définitions
Soient A et B deux ensembles, la réunion de A et B notée A \cup B est l’ensemble des éléments appartenant à A ou à B
A \cup B = \lbrace x, ~x \in A ou x \in B \rbrace
Et l’ensemble des éléments qui sont à la fois dans A et B est l’intersection de A et B et noté A \cap B.
A \cap B = \lbrace x, ~x \in A et x \in B \rbrace
5. Ensemble produit
On appelle produit (cartésien) de A et B l’ensemble des couples (x ; y) tels que x \in A et y \in B. On le note : A \times B
A \times B = \lbrace (x ~;~ y) / x \in A et y \in B \rbrace
Remarque :
- (x ; y) = (x’; y’) \Leftrightarrow x = x’ et y = y’
- (x ; y) \ne (y ; x) sauf si x = y
- Si A = B ,~ A \times B = A \times A = A^2
II. Dénombrement
1. Factorielle
Soit n \in N, on appelle « factorielle (de) n » le réel noté défini par n!
- Si n = 0, n! = 0! =1
- Si n \ne 0, ~n! = n(n-1) \times ... \times 3 \times 2 \times 1
Exemple :
4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 \\ 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040
Propriété
n! = n(n-1)(n-2) ... 3 \times 2 \times 1
n! = n(n-1)!
n! = n(n-1)(n-2)!
Exemple : 7! = 7 \times 6 \times 5 \times ... \times 1 = 7 \times 6! = 7 \times 6 \times 5!
2. Cardinal d’un ensemble
Le cardinal d’un ensemble E est le nombre d’éléments de E. On le note \text{card} E.
Propriété
– E = \text{\o}, \text{card} E = 0
- Si A \cap B = \text{\o}, ~\text{card}(A \cap B) = \text{card}A + \text{card}B
- Dans le cas général \text{card}(A \cup B) = \text{card}A + \text{card}B - \text{card}(A \cap B)
- Si A \subset B alors \text{card}A \leq \text{card}B
- \text{card}(A \times B) = (\text{card}A)(\text{card}B)
- \text{card}(A_1 \times A_2 \times ... \times A_n) = (\text{card}A_1)(\text{card}A_2)...(\text{card}A_n)
- \text{card}(A^2)=(\text{card}A)^2
- \text{card}(A^n)=(\text{card}A)^n
Exercice d’application
\Omega est un univers fini d’éventualités muni d’une probabilité p. A et B sont deux évènements tels que p(A)=0,3 et p(B)=0,4
Calculer p(A \cup B) lorsque :
a) A et B sont incompatibles
b) P(A \cap B) = 0,12
Corrigé
Calculons :
a) Lorsque A et B sont incompatibles ;p(A \cup B) = p(A)+p(B) = 0,3+0,5 = 0,8
b) Lorsque p(A \cap B)=0,12 ; p(A \cup B) = p(A)+p(B)-p(A \cap B) = 0,3+0,5-0,12 = 0,68
3. Arrangement
a) Définition
Soit E un ensemble ayant n éléments et p \leq n.
Un arrangement de p éléments de E est une suite ordonnée de p éléments de E, deux à deux distincts.
b) Nombre d’arrangements :
Théorème
Le nombre d’arrangements de p éléments d’un ensemble ayant n éléments est :
A_n^p = n(n-1)...(n-p+1) = \dfrac{n!}{(n-p)!}
Exercice d’application
Calculons A_5^1 ; ~A_5^3 et A_5^5
A_5^1 = \dfrac{5!}{(5-1)!} = \dfrac{5!}{4!} = \dfrac{5 \times 4!}{4!} = 5
A_5^3 = \dfrac{5!}{(5-3)!} = \dfrac{5!}{2!} = \dfrac{5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!} = 60
A_5^5 = \dfrac{5!}{(5-5)!} = \dfrac{5!}{0!} = \dfrac{5!}{1} = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120
4. Permutation
E étant un ensemble ayant n éléments. Une permutation des éléments de E est un arrangement de n éléments de E.
Le nombre de permutation des éléments de E est donc :
P_n = A_n^n = \dfrac{n!}{(n-n)!} = \dfrac{n!}{0!} = n!
Théorème
Le nombre de permutation de n éléments est : P_n = n!
5. Combinaison
a) Définition
Soit un ensemble ayant n éléments et p \leq n; une combinaison de p éléments de E est une partie de E ayant p éléments.
b) Nombre de combinaison :
Théorème
Le nombre de combinaison de p éléments d’un ensemble à n éléments est :
C_n^p = \dfrac{A_n^p}{p!} = \dfrac{n!}{(n-p)!p!} = \dfrac{n(n-1)...(n-p+1)}{p!}
Propriété
C_n^0 = 1 \\ C_n^1 = n \\ C_n^n = 1 \\ C_n^p + C_n^{p+1} = C_{n+1}^{p+1}
Développement de Newton
On montre que quels que soient a, b réels, et n \in \N
(a+b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + ... + C_n^p a^{n-p} b^p +... + C_n^n a^0 b^n