Corrigés – Dénombrement – 1e L

Exercice 1

Cette femme peut s’habiller de 4 x 5 x 3 = 60 façons

Exercice 2

Une poignée de main est un couple (une 2-liste) constitué d’un premier élément choisi dans l’ensemble constitué des 12 joueurs de la première équipe, et d’un deuxième élément choisi dans l’ensemble constitué des 15 joueurs de la deuxième équipe. Il y a donc 12 x 15 = 180 poignées de main

Exercice 3

Une réponse à ce QCM peut être désignée par une 15-liste de 15 chiffres choisis dans l’ensemble \Omega = {1; 2; 3; 4}
Le nombre de ces 15-listes est donc de (card(\Omega))15=415

Exercice 4

Un poème est une 14-liste de 14 nombres choisis parmi 10 (le premier nombre désignant le numéro de page où est sélectionné le premier vers, et ainsi de suite). Il y a donc 1014  poèmes possibles

Exercice 5

Un numéro de téléphone à 8 chiffres est une 8-liste d’éléments choisis dans l’ensemble \Omega = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
a) L’ensemble de ces 8-listes est donc de (card(\Omega))8=108
On peut donc choisir 108 numéros de téléphone à 8 chiffres
Un numéro de téléphone à 8 chiffres ne comportant pas le chiffre 0 est une 8-liste d’éléments choisis dans l’ensemble \Omega ‘ = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
b)L’ensemble de ces 8-listes est donc de
(card(\Omega ‘))8=98 =43046721
On peut ainsi former 43046721 numéros de téléphone à 8 chiffres ne comportant pas le chiffe 0.

Exercice 6

Une liste de passage des 24 élèves est une permutation des 24 éléments de l’ensemble classe.
Il y a donc 24! = 6, 21023  listes possibles

Exercice 7

Le mot « MATH » étant vu comme une liste ordonnée des 4 lettre (M,A,T,H), un anagramme du mot « MATH » est une permutation de ces quatre lettres. Il y en a donc 4!  = 4\times3\times2\times1 = 24 . Il y a 24 anagrammes du mot MATH

Exercice 8

Le nombre total de bureaux que l’on peut former est le nombre d’arrangements de 3 éléments pris parmi 20 ce qui donne :
card\Omega=A_{20}^3=20x19x18=6840
Soit A l’évènement: “les personnes choisies sont de même sexe »
On peut donc choisir un bureau composé de 3 filles prises sur 12 filles OU BIEN composé de 3 garçons choisis parmi 8 garçons.
card(A)=A_{12}^3+A_{8}^3=12x11x10+8x7x6=1320+336=1656
B: “ le président est un garçon et les autres sont des filles”.
card(B)= A_8^1 \times A_{12}^2 =8x12x11=8×132=1056
C: “le bureau est constitué de deux filles et d’un garçon”.
Le garçon est choisi de 8 façons et peut occuper chacun des 3 postes ce qui donne 8×3=24 choix au total.
Les deux filles sont choisies de C_{12}^2 façons et peuvent occuper les deux postes restantes de 2! façons soit au total 2 ! x C_{12}^2 =2 x 61=132 cas.
Ainsi : card(C)=24×132=3168
D : « le bureau comprend au moins un élève de terminale »:
\overline{D} : « Aucun élève de terminale n’est dans le bureau »
card(\overline{D})=A_{11}^3= 11x10x9=990
card(D)=card\Omega – card(\overline{D})=A_{20}^3 – A_{11}^3=6840 – 990=5850
E: “le bureau comprend un président et un vice-président de sexe différent”
Il s’agit de choisir un président parmi les 12 filles, un vice-président parmi les 8 garçons et un secrétaire parmi les 18 qui restent ou vice-versa.
card(E)= 12 x 8 x 18 + 8 x 12 x 18 = 2 x 8 x 12 x 18= 3456

Exercice 9

Une urne contient 3 boules jaunes, 5 boules rouges et 2 boules vertes.
A) On tire simultanément trois boules de l’urne.
card(\Omega)=C_{10}^3= 120.
1) Soit A l’évènement « avoir un tirage unicolore »
Il s’agit de tirer trois boules de même couleur.
card(A)= C_{5}^3 + C_{3}^3 = 10+1= 11.
2) Soit B l’évènement « avoir exactement 2 boules de même couleur »
card(B)= C_3^2 x C_7^1 + C_5^2 x C_5^1 + C_2^2 x C_8^1 = 79.
B) On tire successivement sans remise trois boules.
Soit C l’évènement « avoir des boules rouges uniquement »
card(C)= A_5^3 = 5 x 4 x 3 = 60.