Corrigés – Suites numériques réelles – 2nde Le

Exercice 1

(U_n) n \in \N est une suite arithmétique de raison r =2 telle que U₄=30.
1) Calculons u₀.
On a : U₄=U₀+4r = U₀+8
donc U₀=U₄-8=30-8=22.

2) Calculons U₁₁.
U₁₁=U₀+11r =22+11×2=44

3) Calculons la somme des 20 premiers termes de la suite (U_n).
On trouve :
S= \frac {20} {2} (U₀+U₁₉)
=10(2u₀+19r)
=10(44+38)
=820.

Exercice 2

(V_n) n \geq 0 est une suite arithmétique telle que V₅=7 et V₉=1.
1) Déterminons la raison et le premier terme de cette suite.
on a \begin{cases}V_0+5_r=7 \\ V_0+9_r=1\end{cases} la résolution du système donne V₀=22 et r= \frac {3} {2}

2) Donnons le sens de variation de la suite.
La raison étant négative, la suite est décroissante.

3) Donnons son terme général.
On obtient V_n=22- \frac {3} {2} n

4) Calculons S=V₅₃+V₅₄+V₅₅+…+V₁₀₀.
On trouve S= \frac {100-53+1} {2} (V₅₃+V₁₀₀)=24 (22- \frac {3\times53} {2} +22- \frac {3\times100} {2} )=-4452

Exercice 3

Soit la suite (U_n) n \geq 0 telle que U_n=2n+7.
1) La suite (U_n) est-elle arithmétique ?
U_n+1=2(n+1)+7= (2n+2)+7 =2n+9=U_n+2 donc (U_n) est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme U₀=7.

2) Calculons U₁₀₀.
U₁₀₀=2×100+7=207

3) Calculer la somme
S=U₀+U₁+…+U₉₉+U₁₀₀.
S= \frac {101} {2} (U₀+U₁₀₀)= \frac {101} {2} (7+7+2×100)=10807

Exercice 4

Soit la suite (V_n) n \geq 1 géométrique de raison 3 et de premier terme 5.
1) Calculons V₂ et V₃.
V₂=5×3=15 et V₃ =3×15=45

2) Déterminons le terme général de la suite (V_n).
On trouve V_n=5(3)^n-1

3) Calculons V₁₀.
On a V₁₀= 5(3)^10-1 = 98 415

4) Calculer la somme
S=V₁+V₂+…+V₉+V₁₀.
On a S=5( \frac {1-3^(10)} {1-3} )=5 (\frac {-59048} {-2} ) =147620.

Exercice 5

Calculons U₁ et S₃₀
On a: U_n=U_p+(n-p)r=U₁+(n-1)r=U₁+2n-2
U₃₀=U₁+2*30-2=62
\Leftrightarrow U₁+58=64
\Leftrightarrow U₁=64-58=4

S_n= \frac {(n-p+1) (U_p+U_n)} {2}

= \frac {(n-1+1) (U_1+U_n)} {2} = \frac {n (4+U_n)} {2}

S₂₀= \frac {30(4+U_30)} {2} = \frac {30(4+62)} {2} =990

Exercice 6

Calcul du 10^ème terme et de S₁₀
Soit (V_n) cette suite et V₁=5 son premier terme
On a: V_n=V_p\timesq^n-q
et S_n= V_p \frac {1-q^{n-p+1}} {1-q}

v_n=v₁( \frac {1-q^{n-p+1}} {1-q} )^n-1 donc v₁₀=5( \frac {1} {2} )⁹

S₁₀=5 \times \frac {1-(\frac {1} {2})^{10}} { \frac {1} {2} } =5 \times [ \frac {1-(\frac {1} {2})^{10}} { \frac {1} {2} } ]

=10[1- ( \frac {1} {2} )¹⁰]

Exercice 7

Déterminons la raison q et la somme S₁₅
U_n=U₀ \times Qⁿ=3qⁿ
U₄=3q⁴=48
\Leftrightarrow q⁴=16
\Leftrightarrow q=2 ou q=-2

Comme U₄>U₁, (U_n) croît et donc q>0 d’où q=2
S_n=3 \times \frac {1-(2)^n+1} {1-2} = -3[1-(2)ⁿ⁺¹)
Donc S₁₅=-3[1-(2)¹⁶] =196 605
S₁₅=196 605

Exercice 8

1) Etablissons la formule donnant u_n en fonction de n.
On a u_n+1=u_n+50 donc (u_n) est une suite arithmétique de raison 50 et de premier terme u₀=2500.
On en déduit que u_n= 2500+50n.
Calculons la production du 24 juin. U₂₄=2500+50×24=3700. La production du 24 juin est donc de 3700 boitiers.

2) Calculons le nombre de boîtiers stockés pour le client.
On a N= u₁₁+u₁₂+…+u₂₄ qui donne
N = \frac {24-11+1} {2} (u₁₁+u₂₄)
N =7(2500 +11 x 50+3700)=47250.
Le client a stocké 47250 boitiers.

3) On vend chaque boîtier 1000F pièce.
Calculons le montant de la facture pour le client.
Ce montant est de 47250 x 1000=47 250 000F.