Corrigés – Généralités sur les fonctions – 2nde Le

Exercice 1

1) Δ< 0 donc -x^2 + 6x -10 = 0 n’admet aucune solution dans \R

2) Δ > 0 donc x^2 + 4x – 21 = 0 admet deux racines réelles :
x_1 =\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
et
x_2 =\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
S={-7;3}

3).Δ = 0 donc 9x^2 + 6x + 1 = 0 admet une racine double x=\dfrac{-b}{2a}
S={-\dfrac{1}{3}}

Exercice 2

1). Δ = 0 donc 8x^2 + 8x + 2 est du signe de a donc 8x^2 + 8x + 2 est positif ou nul

2). Δ < 0 donc 2x^2 – 3x + 2 est strictement du signe de a
donc 2x^2 – 3x + 2 est positif.

3). Δ > 0 donc -x^2 -3x + 10 est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de -a à l’intérieur des racines.
Or -x^2-3x + 10 admet comme racines 2 et -5
Donc -x^2 -3x + 10 > 0 lorsque x appartient à ]-5 ;2[
-x^2 -3x + 10 < 0 lorsque x appartient à ]-\infty ; -5[ \cup ]2 ; +\infty [[/latex]
-x^2 -3x + 10 = 0 lorsque x = -5 ou x = 2
f_3(-7) < 0 , f_3 \dfrac{1}{2})> 0 et f_3(148) < 0

Exercice 3

a) Pour tout x \in \R , f(x)=2x^2
f(0)=2 \times 0=0
f((\sqrt{2}))=2\times (\sqrt{2})^2=2\times 2=4
f(-4)=2 \times (-4)^2=2 \times 16=32

b) f(\sqrt{2})=2 \times ((\sqrt{2})^2 =2 \times 2=4
f(\sqrt{-2})=2 \times (-(\sqrt{2})^2)=2 \times 2=4
On a donc bien :
f(\sqrt{2})=f(\sqrt{-2})= 4

c) La fonction f associe à tout réel x un réel égal à 2x^2. Or un carré est toujours positif, donc -4 ne peut être l’image d’aucun réel par la fonction f.

d) On cherche les tels que  f(x) =\dfrac{5}{4}
f(x)=\dfrac{5}{4}\iff 2x^2= \dfrac{5}{4}
Il faut donc résoudre l’équation
2x^2= \dfrac{5}{4}
x^2= \dfrac{5}{8}
x= \sqrt(\dfrac{5}{8}) ou x=-\sqrt(\dfrac{5}{8})
x= \sqrt(\dfrac{5}{2 \times 4}) ou x=-\sqrt(\dfrac{5}{2\times 4})
x= \dfrac{1}{2} \sqrt(\frac{5}{2}) ou x=-\dfrac{1}{2} \sqrt(\dfrac{5}{2})

Exercice 4

a) Pour tout réel x, f(x)=x^2+3x+1
f(0)=0^2 +3 \times 0+1=1
f(1)= 1^2+3 \times 1+1=5
f(-\sqrt{3} )=(-\sqrt{3})^2 +3(-\sqrt{3}) +1 = 4-3\sqrt{3}
f(\dfrac{1}{2}) = (\dfrac{1}{2})^2 +3(\dfrac{1}{2}) +1=\dfrac{11}{4}

b) On cherche tous les réels x tels que f(x)=1
f(x)=1 \iff x^2+3x+1=1
Résolvons donc cette équation :
x^2 + 3x + 1 = 1 \\ x^2 + 3x = 0 \\ x (x + 3) = 0 \\ x = 0   ou  x = -3

Exercice 5

Pour tout réel x, f(x) = 3x – 2
f est une fonction affine de coefficient directeur 3, strictement positif.
Donc f est croissante sur \R .
Autre méthode ; Soient a et b deux réels tels que a < b.
On a :
f(a) – f(b) = 3a – 2 – (3b – 2) \\ = 3a – 2 – 3b + 2 \\ = 3(a – b)
Comme a < b, alors a – b < 0.
Donc 3(a – b) < 0.
Conclusion : Pour tous réels a et b tels que :
a < b, f(a) – f(b) < 0, soit f(a) <f(b).
La fonction f est donc croissante sur \R .

Exercice 6

Pour tout réel x, f(x) = 2|x|.
Donc, pour tout réel <em>x</em>, \\ f(x) = \begin{cases} 2 x si x \geq 0 \\-2 x si x \le 0 \end{cases}
Sur ]-\infty ; 0], f est une fonction linéaire de coefficient négatif.
Donc f est décroissante sur ]-\infty ; 0].
Sur [0; +\infty [, f est une fonction linéaire de coefficient directeur positif.
Donc f est croissante sur [0; +\infty [.

Exercice 7

x^2 < 3 équivaut successivement à
x^2 – 3 < 0 \\ x^2 – (\sqrt{3} )^2 < 0 \\ (x – \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) < 0 \\ x – \sqrt{3} < 0 si x< \sqrt{3} \\ x + \sqrt{3} < 0 si x< – \sqrt{3}
D’où S=]-\sqrt{3};\sqrt{3}[