Généralités sur les fonctions – 2nde Le
I) Vocabulaire et notations
1. Exemple d’introduction :
Avec une ficelle de longueur 10 cm, on fabrique un rectangle.
On désigne par x la longueur d’un côté de ce rectangle.
a) Calculer l’aire du rectangle lorsque x = 3 cm.
Si la longueur est égale à 3 cm alors la largeur est égale à 2 cm.
Donc A = 3 x 2 = cm2.
b) Exprimer en fonction de x l’aire du rectangle.
Les dimensions du rectangle sont donc : x et 5 – x.
En effet : P = 2x + 2(5 – x) = 10 cm.
Ainsi l’aire du rectangle s’exprime par la formule A = x(5 – x)
c) Développer A.
A = x(5 – x) = 5x – x^2
d) On peut calculer l’aire du rectangle pour différentes valeurs de x :
Ce tableau est appelé un tableau de valeurs.
Pour chaque nombre x, on a fait correspondre un nombre égal à l’aire du rectangle.
De façon générale, on note : A : x 5x – x
A est appelée une fonction. C’est une « machine » mathématique qui, à un nombre donné, fait correspondre un autre nombre.
L’expression A dépend de la valeur de x et varie en fonction de x.
x est appelée la variable.
2. Définitions
Définitions :
Soit D une partie de l’ensemble des nombres réels ℝ.
Une fonction f définie sur D associe à tout nombre réel x de D un unique nombre réel, noté f (x).
D est appelé l’ensemble de définition de la fonction f.
Et on lit :
« La fonction f, définie pour x appartenant à D, qui à un nombre x associe le nombre f (x). »
3) Image, antécédent
Exemples :
Pour la fonction A définie plus haut, on avait :
A(2,5) = 6,25 A(1) = 4
On dit que :
- l’image de 2,5 par la fonction A est 6,25.
- un antécédent de 6,25 par A est 2,5.
Remarques :
– Un nombre possède une unique image.
– Cependant, un nombre peut posséder plusieurs antécédents.
Par exemple : les antécédents de 5,25 sont 1,5 et 3,5 (voir tableau de valeurs).
II) Variations d’une fonction
1) Exemple
Pour des valeurs croissantes choisies pour x dans l’intervalle [0 ; 2,5], l’aire A du rectangle est également croissante.
Par exemple : 1 < 2 et A(1) < A(2).
Pour des valeurs croissantes choisies pour x dans l’intervalle [2,5 ; 5], l’aire A du rectangle est décroissante.
Par exemple : 3 < 4 et A(3) > A(4).
On dit que la fonction A est croissante sur l’intervalle [0 ; 2,5] et décroissante sur l’intervalle [2,5 ; 5].
2) Définitions
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
- Dire que f est croissante sur I signifie que pour tous réels a et b de I :
si a < b alors. f(a) \leq f(b).
- Dire que f est décroissante sur I signifie que pour tous réels a et b de I :
si a < b alors. f(a) \geq f(b).
- Dire que f est constante sur I signifie que pour tous réels a et b de I : f(a) = f(b).
- Dire que f est monotone sur I signifie que f est soit croissante sur I, soit décroissante sur I.
Remarques :
- On dit qu’une fonction croissante conserve l’ordre.
- On dit qu’une fonction décroissante renverse l’ordre.
- Une fonction constante sur I peut être considérée comme croissante et décroissante sur I.
3. Maximum ; minimum
Exemple :
Pour tout nombre réel x de l’intervalle [0 ; 5], on a : A(x) ≤ 6,25.
6,25 est le maximum de la fonction A.
L’aire du rectangle est maximum pour x = 2,5.
Définitions :
Soit f une fonction de l’intervalle I.
a et b deux nombres réels de I.
– Dire que f admet un maximum M en a de I signifie que pour tout nombre réel x de l’intervalle I, f(a) \leq M.
– Dire que f admet un minimum m en b de I signifie que pour tout nombre réel x de l’intervalle I, f(a) \geq m.
4. Tableau de variations
Un tableau de variations résume les variations d’une fonction en faisant apparaître les intervalles où elle est monotone.
Exemple :
La fonction A est croissante sur l’intervalle [0 ; 2,5] et décroissante sur l’intervalle [2,5 ; 5].
A(0) = 0
A(2,5) = 6,25
A(5) = 0
1) Donner son ensemble de définition.
2) Donner les variations de la fonction.
3) Donner les extremums de la fonction en précisant où ils sont atteints.
4) Résumer les résultats précédents dans un tableau de variations.
1) La fonction f est définie sur [-5 ; 7].
2) La fonction f est croissante sur les intervalles [-4 ; 0] et [5 ; 7]. Elle est décroissante sur les intervalles [-5 ; -4] et [0 ; 5].
3) Le maximum de f est 3,5. Il est atteint en x = 0.
Le minimum de f est -4. Il est atteint en x = -4.
4)
La fonction carrée
Il s’agit de la fonction f définie par f(x) = x2.
f est définie sur R.
Résoudre les équations suivantes : x2 = 0 ; x2 = 1 ; x2 = -1
a) Tracé point par point de la courbe représentative de f.
Etablir un tableau de valeurs en utilisant la calculatrice.
On peut alors tracer la courbe représentative de f.
La courbe représentative de f s’appelle une parabole.
b) Etude de la parité de f
Soit x Î R, comparer f(x) et f(-x).
f(-x) = (-x)² = x² = f(x).
On dit que f est une fonction paire.
Graphiquement, cela signifie que les points M(x ; f(x)) et M’(-x ; f(-x)) qui sont des points de la courbe représentative de f sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.
La représentation graphique de f admet donc l’axe des ordonnées pour axe de symétrie.
c) Sens de variation de f
D’après le graphique, on peut établir le tableau de variation de f.
f est strictement croissante sur [0 ; +f\infty[.
f est strictement décroissante sur ]-\infty ; 0].
Par le calcul : Soient a et b deux nombres réels tels que a < b.
f(a) – f(b) = a² – b² = (a + b)(a – b)
Si a et b sont positifs ou nuls, alors a + b > 0 et comme a – b < 0, on déduit que f(a) – f(b) < 0
Donc f est strictement croissante sur [0 ; +\infty[.
Si a et b sont négatifs ou nuls, alors a + b < 0 et comme a – b < 0, on déduit que f(a) – f(b) > 0
Donc f est strictement décroissante sur ]-\infty ; 0].