Corrigés - Calculs numériques

2nde S Mathématiques 1. Calculs numériques Corrigés – Calculs numériques

Exercice 1

a) $-3\leq x\leq 2 \\ x \in ~[-3 ; 2]$

b) $x \geq 7 \\ x \in ~[7 ; +\infty[$

c) $1 > x \\ x \in ~]-\infty ; 1[$

d) $-4 \leq x <1 \\ x \in ~[-4 ; 1[$

e) $-\dfrac{1}{2} \leq x \leq \dfrac{1}{2} ~\\~ x \in ~[-\dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2} ]$

Exercice 2

Il n’existe pas de réel commun a ces cinq intervalles (la valeur 1 est exclu dans l’intervalle ]- $\infty$ ; 1[ )

Exercice 3

$A=\dfrac{c}{(\dfrac{a}{b})^2} = a^{-2} \times b^{2} \times c ~;$
$B=a^5(bc)^2 \times \dfrac{1}{(a^3b)^2} = a^{-1} \times c^2 ~;$
$C=\dfrac{ab^2}{ca^{-2}} = a^{3} \times b^{2} \times c^{-1} ~;$

D=(a^3b^{-5})^2 = a^{6} \times b^{-10}

Exercice 4

$3-x \leq 2x+4 \leq 5-x \\ \Leftrightarrow 3 \leq 2x +x +4 \leq 5 \\ \Leftrightarrow 3 \leq 3x+4 \leq 5 \\ \Leftrightarrow 3-4 \leq 3x \leq 5-4 \\ \Leftrightarrow -1 \leq 3x \leq 1 \\ \Leftrightarrow -\dfrac{1}{3} \leq x \leq \dfrac{1}{3}$
Il existe un unique entier relatif unique compris entre $-\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{1}{3}$ , il s’agit de 0.

Exercice 5

a) $(5-3x)(2x+1) \\ (5-3x)=0$ si et seulement si $x=\dfrac{5}{3}$
et $(2x+1)=0$ si et seulement si $x=-\dfrac{1}{2}$
pour $x \in ~]-\infty ; -\dfrac{1}{2}[ ; ~2x+1$ est négatif et $~5-3x~$ est positif donc $(5-3x)(2x+1)$ est négatif.
pour $x \in ~]-\dfrac{1}{2} ; \dfrac{5}{3}[ ; ~2x+1$ est positif et $~5-3x~$ est positif donc $(5-3x)(2x+1)$ est positif.
pour $x \in ~~~]\dfrac{5}{3} ; +\infty[ ; ~2x+1$ est positif et $~5-3x~$ est négatif donc $(5-3x)(2x+1)$ est négatif.
pour $x=\dfrac{5}{3}$ ou $x=-\dfrac{1}{2}$ , $(5-3x)(2x+1)$ est nul.

b) $(x+1)^2-4x^2$

$(x+1)^2-4x^2 \\ =[(x+1)-2x][(x+1)+2x] \\ =(-x+1)(3x+1)$
on pose $-x+1=0$ si et seulement si $x=1$
et $3x+1= 0$ si et seulement si $x=-\dfrac{1}{3}$
pour $x \in ~]-\infty ; -\dfrac{1}{3} [ ; ~-x+1$ est positif et $~3x+1~$ est négatif donc $(x+1)^2-4x^2$ est négatif
pour $x \in ~] -\dfrac{1}{3} ;1[ ; ~-x+1$ est positif et $~3x+1~$ est positif donc $(x+1)^2-4x^2$ est positif
pour $x \in ~] 1 ;+\infty [ ; ~ -x+1$ est négatif et $~3x+1~$ est positif donc $(x+1)^2-4x^2$ est négatif.
pour $x=1$ ou $x=-\dfrac{1}{3}$ est nul.

c) $(1-2x)(1-3x)$
$1-2x=0$ si et seulement si $x=\dfrac{1}{2}$ et $1-3x=0$ si et seulement si $x=\dfrac{1}{3}$
pour $x \in ~]-\infty ; \dfrac{1}{3} [ ; ~1-2x$ est positif et $~1-3x~$ est positif donc $(1-2x)(1-3x)$ est positif
pour $x \in ~]\dfrac{1}{3} ; \dfrac{1}{2} [ ; ~1-2x$ est positif et $~1-3x~$ est négatif donc $(1-2x)(1-3x)$ est négatif.
pour $x \in ~]\dfrac{1}{2} ; +\infty [ ; ~ 1-2x$ est négatif et $~1-3x~$ est négatif donc $(1-2x)(1-3x)$ est positif.
pour $x=\dfrac{1}{3}$ ou $x=\dfrac{1}{2}$ est nul.

d) $x^2-x(x+3)$

$x^2-x(x+3)=x^2-x^2-3x \\ =-3x$
$-3x=0$ si et seulement si $x=0$
pour $x \in ~]-\infty ; 0 [ ; ~x^2-x(x+3)$ est positif
pour $x \in ~]0 ; +\infty [ ; ~x^2-x(x+3)$ est négatif
pour $x=0,~ x^2-x(x+3)$ est nul.

Exercice 6

$|x| \leq 6 \Leftrightarrow -6\leq x \leq 6$
Les entiers relatifs recherchés sont tous ceux de l’intervalle [-6;6], c’est à dire -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6.

Exercice 7

$|x-2| \leq 3 \\ \Leftrightarrow -3 \leq x-2 \leq 3 \\ \Leftrightarrow -1 \leq x \leq 5$ , ainsi on a encadré $x$ . L’intervalle est $[-1,5]$ .
$|x-2| \leq 3 \Leftrightarrow d(x,2) \leq 3$

$d(x, -1) \leq 2 \Leftrightarrow |x+1| \leq 2 \\ \Leftrightarrow -2 \leq x+1 \leq 2 \\ \Leftrightarrow -3 \leq x \leq 1$ . L’intervalle est $[-3;1].$

|3-x| \leq 4 \Leftrightarrow -4 \leq 3-x \leq 4 \\ \Leftrightarrow -7 \leq -x \leq 1 \\ \Leftrightarrow -1 \leq x \leq 7

L’intervalle est $[-1;7]$ .
$|3-x| \leq 4 \Leftrightarrow d(3, x) \leq 4$ .

$d(x, 4) \leq 0,5 \Leftrightarrow |x-4|\leq 0,5 \\ \Leftrightarrow -0,5 \leq x-4 \leq 0,5 \\ \Leftrightarrow 3,5 \leq x \leq 4,5$ . L’intervalle est $[3,5;4,5]$ .
$-5 \leq x \leq -3$ . L’intervalle correspondant est $[-5;-3]$ .

En terme de valeur absolue on a $|x+4|\leq 1$ et en distance on a $d(x; -4) \leq 1$ .
$-3 \leq 2x \leq 3 \Leftrightarrow -\dfrac{3}{2} \leq x \leq \dfrac{3}{2}$ .
En valeur absolue on a $|x| \leq \dfrac{3}{2}$
En terme de distance on aura $d(x ; 0) \leq \dfrac{3}{2}$ .
$x \in ~]5 ; 6[$ , c’est un intervalle.
Encadrement : $5 < x < 6$ .
En valeur absolue on a $|x-\dfrac{11}{2}| < \dfrac{1}{2}$ . En distance on a $d(x ; \dfrac{11}{2}) < \dfrac{1}{2}$ .

Exercice 8

a) $(2x-1)(3x-1)(4x-1)(5x-1)$
Soit $2x-1=0$
ou $3x-1=0$
ou $4x-1=0$
ou $5x-1=0$
$\iff x=\dfrac{1}{2}$ ou $x=\dfrac{1}{3}$ ou $x=\dfrac{1}{4}$ ou $x=\dfrac{1}{5}$
pour $x \in ~]-\infty ; \dfrac{1}{5}[~;~ (2x-1),(3x-1),(4x-1)$ et $(5x-1)$ sont négatifs donc :
$(2x-1)(3x-1)(4x-1)(5x-1)$ est positif,
pour $x \in ~]\dfrac{1}{5} ; \dfrac{1}{4}[~;~ (2x-1),(3x-1)$ et $(4x-1)$ sont positifs mais $(5x-1)$ est négatif donc :
$(2x-1)(3x-1)(4x-1)(5x-1)$ est négatif,
pour $x \in ~]\dfrac{1}{4} ; \dfrac{1}{3}[ ~;~ (2x-1)$ et $(3x-1)$ sont positifs mais $(4x-1)$ et $(5x-1)$ sont négatifs donc :
$(2x-1)(3x-1)(4x-1)(5x-1)$ est positif,
pour $x \in ~] \dfrac{1}{3} ; \dfrac{1}{2}[ ~;~(3x-1),(4x-1)$ et $(5x-1)$ sont négatifs mais $(2x-1)$ est positif donc :
$(2x-1)(3x-1)(4x-1)(5x-1)$ est négatif,
pour $x \in ~] \dfrac{1}{2} ; +\infty [ ~;~ (2x-1),(3x-1),(4x-1)$ et $(5x-1)$ sont positifs donc :
$(2x-1)(3x-1)(4x-1)(5x-1)$ est positif,
pour $x=\dfrac{1}{2}$ ou $x=\dfrac{1}{3}$ ou $x=\dfrac{1}{4}$ ou $x=\dfrac{1}{5}, \\ (2x-1)(3x-1)(4x-1)(5x-1)$ est nul.

b) $\dfrac{x}{x+1}$
Cette expression existe pour $x+1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne -1$
pour $x \in ~]-\infty ; -1[$ on a $x$ et $x+1$ sont négatifs donc $\dfrac{x}{x+1}$ est positif,
pour $x \in ~]-1 ; 0[$ on a $x$ est négatif et $x+1$ est positif donc $\dfrac{x}{x+1}$ est négatif,
pour $x \in ~]0 ; +\infty [$ on a $x$ et $x+1$ sont positifs donc $\dfrac{x}{x+1}$ est positif.
pour $x=0~;~ \dfrac{x}{x+1}$ est nul

c) $\dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{x+2}$
Cette expression existe pour $x \ne 0$ et $x \ne -2 , \\ \dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{x+2} = \dfrac{2}{x(x+2)}$ (obtenu en réduisant au même dénominateur)
pour $x \in ~]-\infty ;-2[$ on a $x(x+2)$ est positif donc,
$\dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{x+2}$ est positif,
pour $x \in ~]-2;0[$ on a $x(x+2)$ est négatif donc,
$\dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{x+2}$ est négatif,
pour $x \in ~]0;+\infty [$ on a $x(x+2)$ est positif donc ,
$\dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{x+2}$ est positif.

d) $\dfrac{x^2 – 4}{x + 1}$
Cette expression existe pour $x \ne -1$
Résolvons $x^2-4=0 \Leftrightarrow (x-2)(x+2)=0 \Leftrightarrow x=2$ ou $x=-2$
pour $x \in ~]-\infty ;-2[ ~;~x^2-4$ est positif et $x+1$ est négatif donc :
$\dfrac{x^2 – 4}{x + 1}$ est négatif,
pour $x \in ~]-2 ; -1[ ~;~x^2-4$ est négatif et $x+1$ est négatif donc :
$\dfrac{x^2 – 4}{x + 1}$ est positif,
pour $x \in ~]-1 ; 2[ ~;~ x^2-4$ est négatif et $x+1$ est positif donc :
$\dfrac{x^2 – 4}{x + 1}$ est négatif,
pour $x \in ~]2 ; +\infty [ ~;~ x^2-4$ et $x+1$ sont positifs donc :
$\dfrac{x^2 – 4}{x + 1}$ est positif,
pour $x=2$ ou $x=-2, \dfrac{x^2 – 4}{x + 1}$ est nul.

e) $\dfrac{1}{2x(x-2)}$
Cette expression existe pour $2x(x-2) \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 0$ et $x \ne 2$
pour $x \in ~]-\infty ; 0[ ~;~2x(x-2)$ est positif donc :
$\dfrac{1}{2x(x-2)}$ est positif,
pour $x \in ~]0 ; 2[ ~;~2x(x-2)$ est négatif donc :
$\dfrac{1}{2x(x-2)}$ est négatif,
pour $x \in ~]2 ; +\infty [ ~;~ 2x(x-2)$ est positif donc :
$\dfrac{1}{2x(x-2)}$ est positif.

Exercice 9

Posons $Q(x) = \dfrac{N(x)}{D(x)}$ tel que $D(x) \ne 0$ .
Puisque $Q(x)$ n’est pas définie en -3, 2 et 3 alors on peut prendre
$D(x)=(x+3)(-x+2)(x-3) \\=(-x+2)(x^2-9)$
De plus $Q(x)$ ne s’annule nul part donc $N(x)$ est constante et appartenant à $]0; +\infty [$
Finalement on peut écrire
$Q(x) = \dfrac{1}{(-x+2)(x^2-9)}$

Exercice 10

1) $|x + 3| = -4$
Une valeur absolue étant toujours positive, cette équation n’admet aucune solution.
D’où : $S = \empty$

2) D’où : $S =$ { $-\dfrac{1}{5} ; \dfrac{41}{5}$ }

3) $|x + 2| < 3$ équivaut à :
$-3 < x + 2 < 3$
soit : $-5 < x < 1$
D’où : $S = ]-5; 1[$ .

Exercice 11

1) $x \in ~]-3 ; 7[ \\ \Leftrightarrow |x-2| < 5(7 – (-3) = 10)$

2) $x \in ~]-\infty ; -4[ \cup [2 ; +\infty[ \\ \Leftrightarrow |x+1| \geq 3$

Exercice 12

1 )Résolvons séparément les inéquations (1) et (2) :

$|x-1| < \dfrac{5}{4} \iff -\dfrac{1}{4} < x < \dfrac{9}{4}$
Donc : $S_1 = ]-\dfrac{1}{4} ; \dfrac{9}{4}[$

$|x – \dfrac{1}{5}| \leq \dfrac{1}{20} \iff \dfrac{3}{20} \leq x \leq \dfrac{1}{4}$
Donc : $S_2 = [\dfrac{3}{20} ; \dfrac{1}{4}]$

D’où : $S = S_1 \cap S_2$
$S = [\dfrac{3}{20} ; \dfrac{1}{4}]$

2) $\begin{cases} |x-1| < 2~~ (1) \\ |2-x| \leq 2~~ (2) \end{cases}$

Résolvons séparément les inéquations (1) et (2) :
$|x-1| < 2 \Leftrightarrow -1 < x < 3$
Donc : $S_1= ]-1; 3[$
Donc : $S_2 = [0; 4]$
D’où : $S = S_1 \cap S_2$
$S = [0; 3[$

Exercice 13

Si $-2 <x< 3 :$
$f(x)$ varie sur la portion de courbe délimitée par A et B. Les valeurs de $f(x)$ sont donc comprises entre 0 et 9.
Conclusion : si $-2 <x< 3$ , on a $0 \leq x^2 < 9$ .

Exercice 14

1) Premier rebond = $\dfrac{3}{4} h$

Deuxième rebond : $\dfrac{3}{4}(\dfrac{3}{4} h) = \dfrac{9}{16} h$

Troisième rebond : $\dfrac{3}{4}(\dfrac{9}{16} h) = \dfrac{27}{64} h$

Quatrième rebond : $\dfrac{3}{4}(\dfrac{27}{64} h) = \dfrac{81}{256} h$

2) Premier rebond = $3,75$

Deuxième rebond : $\dfrac{3}{4}(\dfrac{3}{4} h) \approx 2,81$

Troisième rebond : $\dfrac{3}{4}(\dfrac{9}{16} h) \approx 2,11$

Quatrième rebond : $\dfrac{3}{4}(\dfrac{27}{64} h) \approx 1,58$

Exercice 15

1) $2,29 < l < 2,31 \\ 4,49 < L < 4,51$

2) $10,28 < S < 10,42$

3) $S \approx 10,35$

Exercice16

On pose $A = \dfrac{1}{\sqrt{B}}$ . Calculons d’abord le nombre $B$ :

B = \dfrac{1}{10-3\sqrt{11}} + \dfrac{1}{10+3\sqrt{11}}

B = \dfrac{1 \times (10+3\sqrt{11})}{(10-3\sqrt{11})(10+3\sqrt{11})} +\dfrac{1 \times (10 – 3\sqrt{11})}{(10+3\sqrt{11})(10-3\sqrt{11})}

B = \dfrac{10+3\sqrt{11}}{10^2-(3\sqrt{11})^2} + \dfrac{10-3\sqrt{11}}{10^2-(3\sqrt{11})^2}

B = \dfrac{10+3\sqrt{11}}{100-99} + \dfrac{10-3\sqrt{11}}{100-99}

B =10+3\sqrt{11} +10 -3\sqrt{11}

B = 20

Donc, $A = \dfrac{1}{\sqrt{20}} = \dfrac{\sqrt{20}}{20}$ est irrationnel car $20$ n’est pas un carré parfait.

Exercice17

150 = 2¹ x 3¹ x 5²

36 = 6² = 2² x 3² x5⁰

150/36 = 2⁻¹x3⁻¹x5²

150² x 36 = (2 x 3 x 5²)²2² x 3² = 2⁴ x 3⁴ x 5⁴

$\dfrac{150^3}{36}$ = $\dfrac{(2 \times 3 \times 5^2)^3}{(2^2 \times 3^2)}$ = 2¹ x 3¹ x 5⁶

$\dfrac{2}{150^2}(\dfrac{6}{5})^2$ = $\dfrac{(2^3 \times 3^2)}{((2 \times 3 \times 5^2)^2 \times 5^2)}$ = 2¹ x3⁰ x5⁶

Exercice 18

1) $3 ; 5 ; 1 ; \\ s = 3+5+1=9.$

2) $S = 351+315+531+513+153+135 \\ S= 1998.$

3) $\dfrac{S}{s} = \dfrac{1998}{9} = 222$ . On remarque que le quotient de S par s est toujours égal à 222.

4) Soit $c, d$ et $u$ les trois chiffres choisis
alors $s = c+d+u$ .
$S = (100c+10d+u) + (100c+10u+d)+\dots+(100u+10c+d),$

$S = 200(c+d+u) + 20(c+d+u)+2(c+d+u) \\ = 222s$ ,

d’où $\dfrac{S}{s} = \dfrac{222s}{s} = 222$ .