1. Calculs numériques

ENSEMBLES DE NOMBRES

Entiers naturels

Les entiers naturels sont les entiers supérieurs ou égal 0.

Par exemple, 6, 1, 0 et 8719 sont des entiers naturels. Par contre – 52  n’en est pas un.
Cet ensemble est noté \Ncomme naturel.
On dit que ces entiers sont naturels car naturellement  ce sont ceux que l’on utilise dans la vie de tous les jours.
Il existe une infinité d’entiers naturels.

Entiers relatifs

Tous les entiers qu’ils soient négatifs, positifs ou nuls, sont des entiers relatifs.

Par exemple, – 87, – 1, 0 et 34 sont des entiers relatifs.
L’ensemble des entiers relatifs est noté \Z Ce symbole vient du mot allemand “die Zahl” qui signifie le nombre.
Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs. On dit alors que l’ensemble \N est inclus dans l’ensemble \N  : on écrit \N \subset \Z

Nombres décimaux

L’ensemble des décimaux est l’ensemble des nombres dits “à virgule”.
Cet ensemble est noté D .

Par exemple, -3,89 et 5,2 sont des décimaux. Ils peuvent être négatifs ou positifs.
Les entiers relatifs sont aussi des décimaux. En effet : 2 = 2,0    ,    0 = 0,0     et     – 4 = – 4,000

Les entiers relatifs étant des nombres décimaux, on dit alors que l’ensemble \Z est inclus dans l’ensemble D . On a alors : \N \subset \Z \subset D

0 des entiers 159 et 100 car  \frac{159}{100} =1.59
L’ensemble des décimaux (et par conséquent celui des entiers naturels et celui des entiers relatifs) est donc inclus dans Q . On résume cela par : \N \subset \Z \subset D \subset Q .

Nombres réels

Tous les nombres utilisés en Seconde sont des réels. Cet ensemble est noté \R.
On représente cet ensemble \R par une droite graduée. Une telle droite est appelée droite numérique.
 Ce qui donne par exemple :

Sur ce dessin, le point A a pour abscisse \sqrt{\smash[b]{3}} alors que les nombres réels positifs \sqrt{\smash[b]{2}} et \pi sont les abscisses des points B et C.
Tous les rationnels sont des réels. L’ensemble des rationnels Q est donc inclus dans l’ensemble \R. D’où  : \N \subset \Z \subset D \subset Q \subset \R .

Représentation par ensembles

NOMBRES PREMIERS

Définition

Définition : Un nombre entier naturel est dit premier s’il admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

Remarque : On considère que 1 n’est pas un nombre premier.
Exemples : 3, 5, 13, 71 sont des nombres premiers.
14 n’est pas un nombre premier : il est divisible par 1, 2, 7 et 14

Crible d’Ératosthène

Pour trouver les nombres premiers, on utilise le « crible d’Eratosthène :

Critères de divisibilité 

• Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par un nombre pair
• Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est multiple de 3
• Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5
• Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est multiple de 9

Méthode de recherche d’un nombre premier
Pour savoir si un nombre est premier ou non, on le divise successivement par les nombres premiers jusqu’à ce que le quotient obtenu soit inférieur au diviseur 

Exemple : 157 est-il premier ?

• 157 n’est pas divisible par 2 et 157/2 = 75,5 ce qui est supérieur à 2
• 157 n’est pas divisible par 3 et 157/3 = 52,3.. ce qui est supérieur à 3
• 157 n’est pas divisible par 5 et 157/5 = 31,4 ce qui est supérieur à 5
• 157 n’est pas divisible par 7 et 157/7 = 22,4.. ce qui est supérieur à 7
• 157 n’est pas divisible par 11 et 157/11 = 14,3.. ce qui est supérieur à 11
• 157 n’est pas divisible par 13 et 157/13 = 12,0.. ce qui est inférieur à 13

Conclusion : 157 n’est pas un nombre premier

INTERVALLES DANS  \R

Les intervalles réels sont des parties de \R .

Dans le tableau ci-dessous, a et b sont deux réels tels que a \eqslantless b .

Remarques :
Le fait de dire qu’un intervalle est ouvert en b signifie que le réel b ne fait pas partie de celui-ci. Par contre, s’il y avait été fermé alors il en aurait fait partie. Les deux réels qui délimitent un intervalle sont appelés bornes de l’intervalle. La notation +\infty se lit “plus l’infini”.

FRACTIONS

Signe moins dans une fraction
L’expression suivante est à retenir :

Ainsi par exemple, les fractions – \frac{7}{2} et \frac{7}{-2} sont égales.

Simplification d’une fraction
Dans une fraction, lorsque le numérateur et le dénominateur ont un facteur en commun alors on peut simplifier par ce facteur :
\frac{a.c}{b.c} = \frac{a}{b}
Par exemple : \frac{231}{105} = \frac{21 X 11}{5 X 21} = \frac{11}{5} . On ne peut pas simplifier plus, on dit que la fraction \frac{11}{5} est irréductible.

Egalité de deux fractions

Addition de deux fractions

Exemples : …

Multiplication de deux fractions.

PUISSANCES

Définition

Propriétés

• Propriété (i) : par exemple, 2 ^–3 = \frac{1}{2^3} = (\frac{1}{2} )³
• Propriété (ii) : a^m x aⁿ = a^m+n

Démontrons cette formule dans le cas où m et n sont deux entiers positifs.

Cette propriété sert surtout lors de la simplification de produit dans lequel apparaissent plusieurs puissances d’un même nombre.
Par exemple : 2⁴ 2³ = 2^{4 + 3} = 2⁷ ou encore 2⁴ 2^-3 = 2 ^{4 – 3} = 2¹ = 2

Cette propriété sert surtout lors de la simplification de fraction.
Par exemple : \frac{2^4}{2^3}= 2^4-3

Une telle propriété sert surtout lorsqu’il s’agit de développer une expression.
Par exemple : (2x)³ = 2.x³ = 8x³

Exemple : (\frac{x}{2})^3 = \frac{x^3}{2^3} = \frac{x^3}{8}

Exemple d’application

Notation scientifique

Définition : La notation scientifique d’un nombre décimal est de la forme : a10p où /a/ est un nombre décimal compris entre 1 et 10 exclus et p un nombre entier relatif.

Exemples :  593,7 = 5,937×10²
-0,051 = 5,01×10^-2
7 300 = 7,3×10³                                                               

Remarques :

• Cette notation est souvent employée dans les sciences, car elle permet d’écrire plus simplement des quantités souvent très grandes ou très petites,
• La calculatrice a les moyens d’entrer un nombre directement en notation scientifique grâce aux touches :

Valeur approchée

On considère le nombre p = 3,14159265359…

• Troncature à 6 décimales : 3,141592
• Valeur approchée à 10^-2 près par défaut : 3,14
• Valeur approchée à 10^-2 près par excès : 3,15
• Valeur arrondie à 10^-4 près : 3,1416
• Valeur arrondie à 4 chiffres significatifs : 3,142

RACINE CARREE

Définition

Par exemple, la racine carrée de 1 est1, celle de 2 est et celle de 9 est 3.

Attention :
Bien que 4 soit le carré de -2, ce dernier n’est pas pour autant la racine de ce premier. La racine de 4 est 2. La définition dit clairement que la racine est un nombre positif.
On ne peut pas considérer la racine d’un nombre négatif. En effet, un carré n’est jamais négatif.

Propriétés

Exemples d’application
Ces propriétés nous permettent de simplifier certaines expressions :

ATTENTION :

La formule \sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b} est FAUSSE
Prenons par exemple a = 25 et b = 36 :
\sqrt{25+36} = \sqrt{61} et \sqrt{25} + \sqrt{36} = 5 + 6 = 11
Or ; \sqrt{61} est différent de 11