Corrigés - Vecteurs du plan - Ogooue education

2nde S Mathématiques 5. Vecteurs du plan Corrigés – Vecteurs du plan

Exercice 1

L’ égalité (1) signifie que les bipoints (A,B) et ( C,D) sont équipollents , donc que les bipoints (A , D) et ( B,C) ont le même milieu I . Il en résulte que les bipoints ( A ,D) et (C,B) ont le même milieu donc les bipoints (A,C) et (B,D) sont équipollents
d’ où : $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}$

Dans l’ égalité (1) si l’ on désigne par A et D les points extrêmes , par B et C les points moyens .On voit que l’ on obtient (2) en échangeant dans (1) les points moyens .On démontre de même les égalités (3) et (4). L’ égalité (3) est obtenue à partir de (1) en échangeant les points extrêmes ; l’ égalité (4) est obtenue à partir de (1) en échangeant les points moyens et les points extrêmes.

Exercice 2

Oui ils ont la même direction que la droite (AB). Ne confondez pas direction et sens :
$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$ ont la même direction ( voyez la définition ) mais pas lemême sens.

Exercice 3

On construit d’ abord K tel que $\overrightarrow{OK}$ = $\overrightarrow{AB}$
, puis J tel que :
$\overrightarrow{KJ}$ = – $\overrightarrow{AC}$ = $\overrightarrow{AC}$

On aurait pu observer que
$\overrightarrow{AB}$ – $\overrightarrow{AC}$ = $\overrightarrow{CB}$
D’ où : $\overrightarrow{OJ}$ = $\overrightarrow{CB}$

Exercice 4

Comme $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE}$ , $E$ vérifie $\overrightarrow{BE}$ = $\overrightarrow{AC}$ , ce qui signifie que ABEC est un parallélogramme. E est donc situé à l’ intersection de la parallèle à (AB) passant par C et de la parallèle à (AC) passant par B.
Soit D le point tel que $\overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AC}$ , c’est-à-dire le système de C par rapport à A.
Comme précédemment, de $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{O}$ ,
On déduit que ADFB est un parallélogramme. F est donc le point d’ intersection de la parallèle à (AB) passant par D et de la parallèle à (AD) passant par B.
ABEC étant un parallélogramme on a : $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BE}$ .
ADFB étant un parallélogramme on a : $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BF}$
De $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}$ ,
On tire : $\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{BF} = 0$ , c’est à dire M milieu du segment [EF].

Exercice 5

On construit d’abord K tel que $\overrightarrow{CK}=2\overrightarrow{AB}$ , puis $\overrightarrow{KJ}$ tel que $\overrightarrow{KJ}$ = -3 $\overrightarrow{BC} =3\overrightarrow{CB}$ .
On aurait pu aussi construire L tel que
$\overrightarrow{CL} = -3\overrightarrow{BC}$ , puis J tel que
$\overrightarrow{LJ}=2\overrightarrow{AB}$
Car on a aussi : $\overrightarrow{CJ}=(-3\overrightarrow{BC} )+2\overrightarrow{AB}$

Exercice 6

$K\overrightarrow{v} = K’\overrightarrow{v} \leftrightarrow (k-k’) \overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ (1)
Si $\overrightarrow{v} \ne \overrightarrow{0}$ , d’ après (1) on a : $k - k’ = 0$ d’où $k = k’$ ,

Par contre, si $\overrightarrow{v}$ = $\overrightarrow{0}$ , l’égalité (1) est satisfaite même si $k \ne k’$
Concluons que l’égalité $k\overrightarrow{v} =k’ \overrightarrow{v}$ n’entraîne pas $k =k’$ par contre si l’on a :
$(K\overrightarrow{v} =k’ \overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{v} \ne \overrightarrow{0})$ , alors $k = k’$ .

Exercice 7

Le raisonnement est analogue à celui de l’exercice précédent. L’ égalités (1) n’entraîne pas $\overrightarrow{v} =\overrightarrow{v}’$ par contre si l’on a (1) et $k \ne 0$ , alors : $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}’$ ‘

Exercice 8

Oui (cf. la définition)

Exercice 9

Pas nécessairement. En effet, si $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ et $\overrightarrow{v}$ un vecteur quelconque , ces deux vecteurs sont colinéaires puisque l’on a : $\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}$ ,avec $k = 0$ . D’autre part la direction de $\overrightarrow{u}$ n’est pas définie. Par contre deux vecteurs colinéaires non nuls ont la même direction (cf. la définition )

Exercice 10

Soit I le milieu de [BC].
On a : $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}) \\ =2 \overrightarrow{MI} +(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB} ) \\ =2\overrightarrow{MI}$

Donc M appartient à E si et seulement si, $\overrightarrow{u} \ne \overrightarrow{0}$ et $\overrightarrow{IM}$ à la même direction que $\overrightarrow{AC}$ . E est donc la droite D parallèle à (AC) et passant par I diminuée du point I

Exercice 11

2° $\overrightarrow{MN}$ = $\overrightarrow{MB}$ + $\overrightarrow{BN}$
$\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AB}= -\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$
ABCD étant un parallélogramme, on a : $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ .
D’où : $\overrightarrow{BN}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AD}$ ,
puis $\overrightarrow{MN}= -\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{QD}+\overrightarrow{DP}$
$\overrightarrow{QD}= -\dfrac{4}{3}\overrightarrow{DA}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AD}$
$\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{CD}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CD}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$
Car $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$

D’ où: $\overrightarrow{DP}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AD}$ .
Comme $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DP}$ , MNPQ est un parallélogramme.

Exercice 12

1) M étant le milieu de [AD ] on a $\overrightarrow{MD}$ = $\dfrac{1}{2}$ $\overrightarrow{AD}$

N étant le milieu de [BC] on a $\overrightarrow{BN}$ = $\dfrac{1}{2}$ $\overrightarrow{BC}$

ABCD étant un parallélogramme on a $\overrightarrow{AD}$ = $\overrightarrow{BC}$

Comme $\overrightarrow{MD}$ = $\overrightarrow{BN}$ le quadrilatère BMDN est un parallélogramme , et en particulier les droites ( BM) et (DN) sont parallèles

2) M étant le milieu de [AD], on a $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AM}$ . Les droites (MP) et (QD ) étant parallèles, on en déduit d’ après la propriété de Thalès que $\overrightarrow{AQ}=2\overrightarrow{AP}$ ou encore $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PQ}$

De même à partir de $\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CN}$ ,on obtient : $\overrightarrow{CP}=2\overrightarrow{CQ}$ ou encore : $\overrightarrow{CQ}=\overrightarrow{QP}$ .

On a donc : $\overrightarrow{AP}$ = $\overrightarrow{PQ}$ = $\overrightarrow{QC}$ De l’ égalité des vecteurs on déduit l’ égalité de leurs normes :
$AP=PQ=QC$

3) On a : $\overrightarrow{DQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AD}= 2 (\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}) = 2\overrightarrow{MP}$ .

De même $\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{QN}$ D’autre part $\overrightarrow{MB}$ = $\overrightarrow{DN}$ puisque BMDN est un parallélogramme .
Montrons que MNPQ est un parallélogramme
$\overrightarrow{MP}$ = $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{BP}$
= $\overrightarrow{DN}[-2\overrightarrow{QN}$
= $(\overrightarrow{DN}-\overrightarrow{QN})-\overrightarrow{QN}$
= $\overrightarrow{DQ}$ – $\overrightarrow{QN}$

Soit : $\overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{MP}-\overrightarrow{QN}$ ,
d’où : $\overrightarrow{QN}=\overrightarrow{MP}$ ,ce qui montre bien que MNPQ est un parallélogramme

Exercice 13

Les points A ,I, P étant alignés
Il existe un réel K tel que $\overrightarrow{IP}=k\overrightarrow{IA}$
Les droites ( AB) et ( PD) étant
Parallèles on en déduit d’ après
La propriété de Thalès : $\overrightarrow{ID}=k\overrightarrow{IB}$ .
De même les droites ( AC) et (PE) étant parallèles on obtient :
$\overrightarrow{IE}=k\overrightarrow{IC}$ . On en déduit donc :
$\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{IE}= k(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC})=\overrightarrow{0}$ puisque I est milieu de [BC] ; donc I est aussi milieu de [DE].

Exercice 14

P étant le milieu de [AD] on a :
$\overrightarrow{AP}$ = $\dfrac{1}{2}$ $\overrightarrow{AD}$
Q étant le milieu de [BC] on a :
$\overrightarrow{BQ}$ = $\dfrac{1}{2}$ $\overrightarrow{BC}$
Par hypothèse les droites (AB) et (CD) sont parallèles Donc d’ après la réciproque de la propriété de Thalès ,(PQ) est parallèle à (AB) et à (CD)

Exercice 15

1) on a :
$\overrightarrow{AA}’=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}’=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}’$
$\overrightarrow{BB}’=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}’=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}’$
$\overrightarrow{CC}’=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC}’=\overrightarrow{CB}’+\overrightarrow{BC}’$

D’ où :
$2(\overrightarrow{AA}’+\overrightarrow{BB}’+\overrightarrow{CC}’) \\ = (\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{BA}) + \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA} + (\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB} ) +(\overrightarrow{BA}’+\overrightarrow{CA}’) + (\overrightarrow{AB}’+\overrightarrow{CB}’ ) +\overrightarrow{AC}’ + \overrightarrow{BC}’ ) \\ =\overrightarrow{0}$ ,
donc $\overrightarrow{AA}$ ‘+ $\overrightarrow{BB}$ ‘+ $\overrightarrow{CC}$ ‘= $\overrightarrow{0}$ .

2) ACDE un parallélogramme
De $\overrightarrow{AE}$ = $\overrightarrow{AI}$ + $\overrightarrow{IE}$ = $\overrightarrow{AJ}$ + $\overrightarrow{JE}$ , et E milieu de [IJ ], on tire :

$\overrightarrow{AE}$ = $\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AI}$ + $\overrightarrow{AJ})$
ACC’I et AB’BJ étant des parallélogrammes , on a
$\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{CC}$ ’ et $\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{BB}$ ‘

D’ après la question précédente on a :
$\overrightarrow{BB}’=-\overrightarrow{B’B}=\overrightarrow{AA}’+\overrightarrow{CC}$
D’ où $\overrightarrow{AE}$ = $\overrightarrow{CC}’+\dfrac{1}{2}$ $\overrightarrow{AA}’$ = $\overrightarrow{CB}$ + $\overrightarrow{BC}’$ + $\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{BA}’)$

= $\overrightarrow{CB}$ + $\dfrac{1}{2}$ $\overrightarrow{BA}’$ car = $\dfrac{1}{2}$ $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{C’B}$

= $\overrightarrow{CB}$ + $\dfrac{1}{4}$ $\overrightarrow{BC}$

= $\dfrac{}{4}$ $\overrightarrow{CB}$ = $\overrightarrow{CD}$
Comme $\overrightarrow{AE}$ = $\overrightarrow{CD}$ ACDE est un parallélogramme.

Exercice 16

Alignement des points F, I, E, J
En appliquant la propriété de Thalès aux droites parallèles (AB) et (CD) et aux sécantes (FD) et (FC) on obtient :
$\overrightarrow{FD}=k\overrightarrow{FA}$ ; $\overrightarrow{FC}=K\overrightarrow{FB}$
Puis $\overrightarrow{DC}=k\overrightarrow{AB}$ où $k$ est un réel .
En considérant les mêmes parallèles et les sécantes (AC) et (BD) on obtient l’existence d’ un réel $K’$ tel que :
$\overrightarrow{ED}=k’\overrightarrow{EB}$ ; $\overrightarrow{EC}=k’\overrightarrow{EA}$ ,
Puis $\overrightarrow{DC}=K’\overrightarrow{BA}$

Comme on a :
$\overrightarrow{DC}=k\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}=k’\overrightarrow{BA}$ ,
On a nécessairement $k’= - k.$
J étant le milieu de [DC], on a :
$\overrightarrow{FJ}$ = $\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{FD}$ + $\overrightarrow{FC})$
D’où : $\overrightarrow{FJ}$ = $\dfrac{k}{2}(\overrightarrow{FA}$ + $\overrightarrow{FB}) =k\overrightarrow{FI}$
Les points F, J,I, sont donc alignés.
De même,
$\overrightarrow{EJ}$ = $\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{ED}$ + $\overrightarrow{EC} ) \\ = -\dfrac{k}{2}(\overrightarrow{EB}$ + $\overrightarrow{EA}) = – k\overrightarrow{EI}$
Les points E, J, I sont donc alignés et les quatre points F, I,E,J appartiennent à la même droite (IJ)

Exercice 17

1) Calcul de $\overrightarrow{ED}$ et de $\overrightarrow{EF}$
$\overrightarrow{ED}$ = $\overrightarrow{AD}$ – $\overrightarrow{AE}$
$\overrightarrow{AD}$ = $\dfrac{1}{2}$ $\overrightarrow{AA}$ = $\dfrac{1}{4}$ ( $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{AC}$ )
Car A’ étant milieu de [BC], on a :
$\overrightarrow{FA}’=\dfrac{1}{2}$ ( $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$

D’où
$\overrightarrow{ED}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}$ $\overrightarrow{AC}-\dfrac{2}{3}$ $\overrightarrow{AB}$

$=-\dfrac{5}{12}$ $\overrightarrow{AB}$ + $\dfrac{1}{4}$ $\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{5}$ $\overrightarrow{AC}$

2) Parallélisme des droites (ED) et (BF)
Des calculs précédents on tire :
$\dfrac{5}{12}$ $\overrightarrow{BF}=-\dfrac{5}{12}$ $\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}$ $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{ED}$
Les vecteurs $\overrightarrow{ED}$ et $\overrightarrow{BF}$ sont donc colinéaires et par conséquent les droites ( ED) et ( BF) sont parallèles

Exercice 18

1. a) Prenons le repère $(A; \overrightarrow{AB}$ ; $\overrightarrow{AC})$ où A a pour coordonnées (0 ; 0), B(1 ; 0) et C(0 ; 1). Des données de construction on tire que $E(1; \dfrac{1}{3})$ et $D(\dfrac{1}{3};1)$ , soit $I (\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3})$ ou encore $\overrightarrow{AI}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ .
b) Les coordonnées de A’ sont A’ $‘\frac{2}{3}$ ; $\frac{2}{3})$ d’où $\overrightarrow{AA}’=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}$ $\overrightarrow{AC}$ .
c) Faisons le déterminant des vecteurs :
$det (\overrightarrow{AA}’ , \overrightarrow{AI}’)=\begin{vmatrix}\dfrac{1}{2} & \dfrac{2}{3} \\ \\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{2}{3}\end{vmatrix} = 0$ on pouvait également remarquer que :

$2\overrightarrow{AA}’=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AI}\iff\overrightarrow{AI}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AA}’$ .

2) Les coordonnées de G sont $G(\dfrac{1}{3} ; \dfrac{1}{3})$ d’où $\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AG}$ et G est le milieu de [AI].

3) $det(\overrightarrow{BC} , \overrightarrow{ED})=\begin{vmatrix}0-1 & \dfrac{1}{3}-1 \\ \\1-0 & 1-\dfrac{1}{3}\end{vmatrix} \\ =\begin{vmatrix}-1 & -\dfrac{2}{3} \\ \\ 1 & \dfrac{2}{3}\end{vmatrix}=-\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3} = 0$ donc les droites (BC) et (ED) sont parallèles.