5. Vecteurs du plan

I) LES VECTEURS

1.Notation. Egalité

ABCD et CDEF sont des parallélogrammes.

On a : \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} et \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{EF} . La translation qui transforme A en B transforme aussi D en C et E en F.
On peut donc noter \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DC} ou \overrightarrow{EF} le vecteur de cette translation. 
On le notera plus généralement \overrightarrow{u}.
Ainsi on écrira : \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{u} = \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{u} = \overrightarrow{EF}
Deux vecteurs  \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{DC} sont égaux s’ils ont même direction, même sens et si leurs longueurs AB et CD sont égales.
On note \overrightarrow{0} le vecteur nul (pour tout point A du plan \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0} )
Si \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0} alors A et B sont deux points confondus.

2. Egalité et parallélogramme .

Soient quatre points A,B,C et D non alignés.
-Si ABCD est un parallélogramme alors :
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD} et \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{CB}.
-Si l’une des quatre égalités est vérifiée alors ABCD est un parallélogramme (et les trois autres égalités sont vérifiées)

3. Translation .
M’ est l’image de M par la translation de vecteur \overrightarrow{AB} \iff \overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}.

Propriété :
Si M’ et N’ sont les images de M et N par une translation alors on a  \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{M'N'}.

4. Caractérisation d’un point.
Etant donné un point A et un vecteur \overrightarrow{u} il existe un point M unique tel que \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{u}.

5. Norme d’un vecteur.
Définition:
On appelle norme du vecteur \overrightarrow{AB} la distance AB. On note ||\overrightarrow{AM}|| = AB.
On appelle vecteur unitaire tout vecteur de norme 1.

II) SOMME ET DIFFERENCE DE DEUX VECTEURS
1. Définition.
Etant donné deux vecteur \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}, son appelle somme du vecteur \overrightarrow{u} et du vecteur \overrightarrow{v} le vecteur, noté \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}défini de la façon suivante:  
si A est un point quelconque du plan, B le point tel que \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{u} alors \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC}
L’égalité \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} est appelée relation de CHASLES.

2. Propriétés

III) MULTIPLICATION D’UN VECTEUR PAR UN NOMBRE

1. Définition
Etant donné un vecteur \overrightarrow{u} et un nombre k, on appelle produit du vecteur \overrightarrow{u} par le nombre k le vecteur \overrightarrow{w}=k\overrightarrow{u} ayant les caractéristiques suivantes:
– SI \overrightarrow{u} \ne \overrightarrow{0}, si k = 0 alors \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0}
– Si k > 0 alors \overrightarrow{w} et \overrightarrow{u} ont même direction, même sens, la longueur de \overrightarrow{w} étant le produit par \overrightarrow{k} de la longueur de \overrightarrow{u}
– Si k < 0 alors \overrightarrow{w} et \overrightarrow{u} ont même direction, sens contraire et la longueur de \overrightarrow{w} est le produit par -k de la longueur de \overrightarrow{u}
– SI \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0} alors \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0}
– Cas particuliers : 1\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} ; (-1)\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA} ; 0.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}
– Si k\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0} alors k = 0 ou \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}.

I milieu de [AB] si et seulement si \overrightarrow{AI} = \frac{\overrightarrow{AB}}{2}.
On a également \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB} ; \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0} et pour tout point M du plan \overrightarrow{MI} = \frac{\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}}{2}

3. Colinéarité
On dit que deux vecteurs  et  sont colinéaires dans l’un des deux cas suivants :
i) \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0} ou \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}
ii) \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont non nuls et de même direction.
Il revient au même de dire qu’il existe un nombre réel k non nul tel que \overrightarrow{u} = k\overrightarrow{IB}.

4.Alignement

Propriété caractéristique :
Toute égalité de la forme \overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB} caractérise un alignement des points A,B et C.

5.Parallèlisme

Méthode des vecteurs colinéaires:
Pour montrer que deux droites (AB) et (CD) sont parallèles il suffit de prouver qu’il existe un nombre réel k non nul tel que \overrightarrow{CD} = k\overrightarrow{AB} (ou \overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{CD} ).

6 Configuration de Thalès.

Etant donné un triangle OAA’ non aplati, un point B tel que \overrightarrow{OB} = x\overrightarrow{OA} et un point B’ tel que \overrightarrow{OB'} = y\overrightarrow{OA'}
i) si (AA’)//(BB’) alors x=y  .
ii) si x=y alors (AA’)//(BB’)  .
Dans chacun des deux cas, on a \overrightarrow{BB'} = x\overrightarrow{AA'}