Exercices – Trigonométrie
Exercice 1
Démontrer que
1 + \tan^2 \alpha = \dfrac{1}{\cos^2 \alpha }
Exercice 2
On veut partager un cercle (de centre A) en six arcs égaux. Comment faire, avec un compas et sans rapporteur ?
On veut ensuite partager le même cercle en douze arcs égaux. Comment faire ?
Quelle est la mesure de chacun des arcs obtenus ?
B0 est un des points de la division. On nomme Ax0, Ax1, … ,Axn les demi droites tracées (en tournant dans le sens positif) .
Construire le point B1, projeté de B0 sur Ax1 , puis le point B2 projeté de B1 sur Ax2 .
Continuer jusqu’à placer tous les points successifs de B1 à B12 .
On pose AB0 = 1.
Calculer les longueurs AB1 , AB2 , …. , AB12 .
Calculer la longueur de la ligne brisée B0B1B2……B12 .
Exercice 3
Compléter le tableau :
Démontrer (grâce à des triangles particuliers bien choisis par exemple) que ces valeurs sont exactes
Exercice 4
x est un réel tel que \sin x =\dfrac{1}{3}
1) Peux-tu en déduire \cos x ?
2) On sait de plus que.
\dfrac{\Pi }{2} \leq x \leq \pi
Trouver \cos x et \tan x.
Exercice 5
1) Calculer.
\cos(\dfrac{65\pi }{4})
2) Calculer.
\sin(\dfrac{-39\pi }{4})
Exercice 6
Sachant que \cos \dfrac{\pi }{8}=\dfrac{1}{2} ,
calculer \sin \dfrac{\pi }{8} , \cos(- \dfrac{\pi }{8}), \cos( \dfrac{-325\pi }{8})
Exercice 7
A la cathédrale
Extrait de Jeux et Stratégie, n°14
On fit récemment des travaux importants à la Cathédrale Saint-Pierre de Genève; c’est ainsi que l’un des vitraux cassés y fut remplacé par un vitrail moderne. C’est un cercle de 2 mètres de diamètre, traversé par une croix, formée de 2 segments perpendiculaires qui se coupent en un point situé à 50 cm du vitrail.
Et tandis que résonnaient d’admirables chœurs, quelques pensées d’ordre géométrique vinrent me distraire de ma concentration religieuse : ” Tiens, me dis-je, comme c’est étrange : la somme des carrés des longueurs des deux côtés formant cette croix est égale à … “
1) Démontrer que AB² = 4 OB² – 4 OM² sin²\alpha .
2) Déterminer de même CD².
3) Calculer AB² + CD² .
Exercice 8
Démontrer que pour tout réel x, on a :
(\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2 \sin x. \cos x
Exercice 9
1) ABCD est un parallélogramme articulé tel que la mesure x en radians de \widehat{ADC} varie entre 0 et \frac{\Pi }{2} .
La tige [AD] est fixe. On donne AD = 3 et AB = 2.
Exprimer l’aire du parallélogramme en fonction de x.
2) Comment choisir x pour avoir A = 4 ? (arrondir au degré près)
Exercice 10
Convertissez en degrés et en grades : \dfrac{\pi }{10} rad, \dfrac{5\pi }{3} rad, 0,7 rad.
Exercice 11
Sachant que le quart du méridien terrestre a environ 10 000 Km de longueur et que la sphère terrestre est subdivisée en 24 fuseaux horaires déterminez la distance qui mesurée le long de l’équateur Sépare deux fuseaux horaires.
Exercice 12
Représentez trois points M, N et P sur le cercle trigonométrique C de telle manière que les arcs orientés MN et NP aient tous les deux pour mesure \dfrac{\pi }{4} radians. Quelle est la mesure de l’arc orientés MP ?
Exercice 13
Sur le cercle trigonométrique C on note A le point tel que \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{I} et on considère les points M0, M1 ,M2 ,M3 tels que les arcs orientés AM0, M0M1 , M1M2 , et M2M3 aient pour mesure \dfrac{\pi }{4} radians.
Représentez les point M’0, M’1, M’2 , M’3 images de M0 , M1, M2, M3 dans la symétrie d’axe (OA) Quelles sont les mesures en radians des arcs AM’0, AM’1, AM’2, et AM’3 ?
Exercice 14
Précisez parmi les nombres suivants ceux qui représentent des déterminations de la même mesure d’arcs (ou d’angle)
3\pi, 5\dfrac{\Pi }{2}, 7\pi , 8\pi , -\frac{3\pi }{2}, 0, 5\pi
Exercice 15
Convertissez en grades et radians : 36° , -21° ,10°27’.
Exercice 16
Sachant que la détermination principale est \dfrac{\pi }{4} pressiez les autres déterminations de la mesure d’angle correspondant dans intervalle [-2\pi, 5\pi ]
Exercice 17
Soit dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}), le cercle trigonométrique C et A le point tel que \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{I}. Représentez les deux points M et M’ du cercle C
tel que AM = AM’= 1. Quelles sont les mesures des arcs AM et AM’ ?
Exercice 18
Soit (\overrightarrow{Ox} , \overrightarrow{Oy}) un ange orientéde mesure \dfrac{\pi }{5} radians.
1) Donnez une valeur en degrés de la mesure de (\overrightarrow{Ox}, \overrightarrow{Oy}).
2) soit C un cercle de centre O et de Rayon r =5cm . Précisez la longueur, en cm, de l’arc AB intercepté par l’angle (\overrightarrow{Ox}, \overrightarrow{Oy}) dans le cercle C.
Exercice 19
Soit ABC un triangle rectangle en A et tel que l’angle orienté (\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BA}) a pour mesure \dfrac{\pi }{6} rad. Precisez les mesures, en radians, des angles orientés suivants:
(\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CA}), (\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}), (\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BC}) et (\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{AC})
Exercice 20
Une bille est animée d’un mouvement circulaire uniforme et parcourt un tour complet en 5 secondes.
1) Sachant que le cercle C, décrit par la bille dans son mouvement, a un rayon de 30cm et que la bille se trouve au point A a l’instant t=0 déterminez la position de la bille sur le cercle C aux instant t=12, t=365, t=1351
2) Quelle est la vitesse de la bille ?
Exercice 21
Résolvez l’équation \cos x= \dfrac{\sqrt{2}}{2} où x est l’inconnue, en supposant que:
1) x \in [0, 2\pi[
2) x \in \R
Exercice 22
Résolvez l’équation sin x = 0 où:
1) x \in [0, 2\pi[
2) x \in \R
Exercice 23
Résolvez l’inéquation \sin x > 0
Exercice 24
Résolvez l’inéquation |\sin x| > \dfrac{1}{2}
Exercice 25
Démontrez la relation :
(\tan x – \dfrac{1}{\tan x})^2 = \dfrac{1}{sin^2 x} + \dfrac{1}{cos^2 x } -4 lorsqu’elle est définie
Exercice 26
Résolvez le système :
\begin{cases} (sin \alpha) x- (cos \alpha)y =1 (1) \\(cos )x + (sin )y=1 (2) \end{cases}
Où \alpha est une constante réelle et où les inconnues sont x et y
Exercice 27
Calculez le cosinus et le sinus des arcs ou des angles de mesures suivantes :
6\pi–\dfrac{\pi}{3} ;
\pi + \dfrac{\pi}{6};
3\pi+\dfrac{\pi }{4} ;
5\pi – \dfrac{\pi }{4} ;
\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{\pi }{3} ;
\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{\pi }{4}
Exercice 28
Calculez le cosinus et le sinus de :
\dfrac{4\pi }{3}, -\dfrac{11\pi }{6} et \dfrac{33\pi }{4}