6. Trigonométrie
I) Cosinus et sinus d’un nombre réel
a) mesure des angles en radians
Soit C un cercle de centre O. I est un point de ce cercle. On prend pour unité de longueur la longueur OA. Soit J un autre point du cercle tel que le repère (O ; \overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OJ}) soit orthonormé.
On oriente le plan dans le sens direct.
Soit d la droite tangente au cercle en A. On note K le point de coordonnées (1 ; 1).
On munit d du repère (I ; \overrightarrow{IK}).
Le nombre \pi est le quotient entre la circonférence d’un cercle et son diamètre.
Dans l’unité de longueur choisie, c’est la longueur du demi-cercle C.
“Enroulons” d sur le cercle.
Les points de d viennent en coïncidence avec les points du cercle C
Exemple : Si A’ est le point de d vérifiant\overline{IA'} = \pi, alors le point du cercle en coïncidence avec A’ est A.
Placer un point J’ sur la droite d tel que J et J’ coïncident.
La longueur de \overgroup{IJ} est \frac{\pi}{2} donc \overline{IJ} = \frac{\pi}{2}
Définition : Soit M’ un point de d tel que \overline{IM} = x.
En “enroulant” d sur le cercle, on obtient un point M sur le cercle C tel que
M et M’ coïncident. Une mesure de l’angle \widehat{IOM} en radians et dans le sens direct est alors x rad.
Remarque : Si on considère un cercle de centre O, de rayon r, et un angle \widehat{AOM} , A et M étant deux points du cercle. Désignons par l la longueur de l’arc de cercle \overgroup{AM}.
La mesure en radians de l’angle \widehat{AOM} est le réel \alpha = \frac{1}{r}
b) fonctions cosinus et sinus
Dans un repère orthonormé (O ; \overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OJ}), on note C le cercle de centre O et de rayon 1.
On oriente le plan dans le sens direct. C est appelé le cercle trigonométrique.
Définition : Soit M un point de C tel que (\widehat{IOM}) = x rad (x \in 3).
Le cosinus de x, noté cos x, est l’abscisse de M.
Le sinus de M, noté sin x, est l’ordonnée de M.
Exemples : cos0 = 1 et sin0 = 0 ; cos\pi = -1 et sin \pi = 0 ; cos\frac{\pi}{2} = 0 et sin\frac{\pi}{2} = 1.
Propriété 1 :
Pour tout x réel, -1 \leq cos x \leq 1 ; -1 \leq sin x \leq 1 et cos² x + sin² x = 1
(cette dernière propriété est due au théorème de Pythagore).
Propriété 2 : Quel que soit le réel x, cos(x + 2\pi) = cos x et sin(x + 2\pi) = sin x.
On dit que les fonctions cos et sin sont périodiques de période 2\pi.
Propriété 3 : Quel que soit le réel x, cos(-x) = cos x et sin(-x) = – sin x.
La fonction cos est paire et la fonction sin est impaire.
c) Représentations graphiques
Grâce à la parité de chaque fonction et à la périodicité, il est maintenant possible de tracer la courbe représentative de chacune des fonctions sur R
Courbe représentative de la fonction cos :
Courbe représentative de la fonction sin :
On peut alors établir les tableaux de variation des fonctions cos et sin sur [-\pi ; \pi] :