7. Géométrie analytique
I) REPERAGE DES POINTS ET VECTEURS DU PLAN.
A) Repère d’une droite.
1) Définition d’un axe.
Définition.
Soit (D) une droite, \overrightarrow{u}un vecteur directeur de (D) et O un point de (D) :
Le couple (O, \overrightarrow{u}) s’appelle un repère de la droite (D). Le point O est appelé origine du repère.
Remarque :
A tout point M de (D) on associe son abscisse x, c’est le nombre qui vérifie \overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{u}.
Exemples :
Si A est le point d’abscisse 3 alors \overrightarrow{OA} =3\overrightarrow{u}.
Si \overrightarrow{OB} =-2\overrightarrow{u} alors B est le point d’abscisse -2.
\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0} donc l’abscisse de C est 0.
\overrightarrow{OI} = \overrightarrow{u} donc l’abscisse de I est 1.
L’ensemble des points de (D) d’abscisse positive est la demi-droite [OA).
L’ensemble des points de (D) d’abscisse négative est la demi-droite [OB).
L’ensemble des points de (D) d’abscisse comprise entre -2 et 3 est le segment [AB].
2) Mesure algébrique d’un vecteur.
Définition.
Soit (D) une droite, \overrightarrow{u} un vecteur directeur de (D) et A, B deux points de (D).
Les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{AB} sont colinéaires donc il existe un nombre k unique tel que \overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{u}
Ce nombre k est appelé mesure algébrique du vecteur \overrightarrow{AB} relativement au vecteur \overrightarrow{u}.
Remarque :
De \overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{u}, on déduit que est l’abscisse du point M dans le repère (O, \overrightarrow{u}).
Propriété 1. (Relation de Chasles)
Soit A, B et C trois points d’une droite (D) de repère (O, \overrightarrow{u}). On a \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} .
Conséquence : si A et B sont deux points d’une droite (D) de repère (O, \overrightarrow{u}) . On a : \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}.
Nous en déduisons la propriété suivante :
Propriété 2.
Soit (D) une droite de repère (O, \overrightarrow{u}), A et B deux points de (D) d’abscisses respectives x_A et x_B.
La mesure algébrique AB du vecteur \overrightarrow{AB} relativement au vecteur \overrightarrow{u}. est telle que : \overline{AB} = x_B - x_A
Exemple : A a pour abscisse 3 et B a pour abscisse -2 donc AB=-2-3=-5.
B) Coordonnées d’un vecteur du plan.
1) Base et repère du plan.
Définition :
On dit que le triplet (O , \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j}) est un repère (cartésien) du plan si (\overrightarrow{i} , \overrightarrow{j}) est une base, c’est à dire si \overrightarrow{i} et \overrightarrow{j} sont deux vecteurs non colinéaires. O est appelé l’origine du repère.
Repères particuliers :
On appelle repère orthogonal un repère où les vecteurs \overrightarrow{i} et \overrightarrow{j} sont orthogonaux.
On appelle repère normé un repère où les vecteurs \overrightarrow{i} et \overrightarrow{j} ont pour norme 1 (i.e. ||i|| = ||j|| = 1).
On appelle repère orthonormal un repère où les vecteurs \overrightarrow{i} et \overrightarrow{j} sont orthogonaux et de norme 1.
2) Coordonnées d’un point, coordonnées d’un vecteur d’origine O.
Définition :
les coordonnées du point M dans le repère (O,i,j) sont aussi les coordonnées du vecteur \overrightarrow{OM} dans la base ( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} ). Ainsi si M(x_M ; y_M) alors \overline{OM} = x_M .i + y_M .j.
Soit P le projeté du point M sur (Ox) parallèlement à (Oy) et
Q le projeté du point M sur (Oy) parallèlement à (Ox).
Alors, x_M = \overline{OP} et y_M = \overline{OQ}.
x_M est l’abscisse du point M.
y_M est l’ordonnée du point M.
(Ox) est l’axe des abscisses et (Oy) l’axe des ordonnées.
Exemples :
P(x_M ; 0), Q(0 ; y_M), I(1 ;0), J(0 ;1), i(1 ;0) et j(0 ;1).
3) Coordonnées d’un vecteur \overrightarrow{AB}
Soient A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) , de même OA(x_A ; y_A) et OB(x_B ; y_B) d’où l’on déduit OA = x_A .\overline{i} + y_A .\overline{j} et OB = x_B .\overline{i} + y_B .\overline{j}. Par conséquent :
AB = \overline{OA} + \overline{OB} = OB - OA = x_B .\overline{i} + y_B .\overline{j} - x_A .\overline{i} - y_A .\overline{j} = (x_B - x_A)\overline{i} + (y_B - y_A)\overline{j}
et finalement \overrightarrow{AB}(x_B - x_A ; y_B - y_A).
Propriété :
Soit (O,i,j) un repère du plan, A et B les points de coordonnées A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), alors le vecteur \overrightarrow{AB} a pour coordonnées (x_B - x_A ; y_B - y_A) dans la base (\overrightarrow{i} , \overrightarrow{j}).
Applications :
Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} dans les cas suivants :
i) A(-2 ; 3) et B(4 ;-1)
ii) A(3 ;0) et B(0 ;-5)
iii) A(0 ;5) et B(-2 ;5)
iv) A(3 ;-2) et B(-2 ;3)
4) Opérations et vecteurs.
Propriétés algébriques :
5) Coordonnées du milieu d’un segment [AB].
Soient A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) , on note I le milieu du segment [AB]. Les coordonnées de I sont :
Théorème.
Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées :
Application :
Soit A(-2 ;3) et B(5 ;2), quelles sont les coordonnées du milieu I du segment [AB] ?
II) VECTEURS COLINEAIRES
1) Formule de colinéarité.
Soit \overrightarrow{u}(x ;y) et \overrightarrow{v}(x’ ;y’) deux vecteurs colinéaires non nuls, il existe donc un nombre réel k non nul tel que \overrightarrow{u} =k\overrightarrow{u}, ce qui se traduit au niveau des coordonnées par x=kx’ et y=ky’, d’où l’on déduit que xy’-x’y=0.
Théorème.
Soit deux vecteurs \overrightarrow{u}(x ;y) et \overrightarrow{v}(x’ ;y’). La condition u et v sont colinéaires équivaut à xy’-x’y=0.
Application : Montrer que \overrightarrow{u} (-2 ;5) et \overrightarrow{v} (3 ;-7,5) sont deux vecteurs colinéaires.
2) Application à l’alignement et au parallélisme :
Représenter dans un repère les points A(5 ;3), B(8 ;5), C(13 ;8) et D(-1 ;-1).
Les points A, B et C sont-ils alignés ?
Les points A, B et D sont-ils alignés ?
Représenter dans ce même repère les points E(5 ;-1) et F(2 ;-3).
Les droites (AB) et (EF) sont-elles parallèles ?
III EQUATIONS DE DROITES –EQUATIONS DE CERCLES
A) Equation cartésienne d’une droite.
1) Détermination de l’équation cartésienne d’une droite du plan.
i) Connaissant un point et un vecteur directeur :
Soit (D) une droite passant par le point A(3 ;1) et de vecteur directeur \overrightarrow{u}(1 ;2). Tracer la droite (D) dans un repère ( O , \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j}). Soit M(x ;y) appartenant à (D), que peut-on dire des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{AM} ? Exprimer la condition de colinéarité entre ces deux vecteurs.
ii) Connaissant deux points :
Soit A(-3 ;2) et B(2 ;1) deux points du plan. Tracer la droite (AB), donner un vecteur directeur de (AB),puis une équation cartésienne de la droite (AB).
2° Forme cartésienne de l’équation d’une droite.
Quel est l’ensemble des points M du plan de coordonnées (x ;y) vérifiant l’équation.
2x-3y+5=0 ? Donner un vecteur directeur de cette droite.
Définition-Théorème :
Le plan étant repéré par (O , \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j}), a, b et c étant trois nombres réels tels que (a ;b) \ne (0 ;0), l’ensemble des points M du plan de coordonnées (x ;y) tels que ax+by+c=0 est une droite (D) de vecteur directeur \overrightarrow{u}(-b ;a).
L’équation ax+by+c=0 est appelée équation cartésienne de la droite (D).
Réciproquement, toute droite du plan admet une équation cartésienne de la forme ax+by+c=0.
(Remarque : Tout autre vecteur non nul, colinéaire à \overrightarrow{u}, est aussi un vecteur directeur de (D)).
B) Equation réduite d’une droite.
1) Cas général.
Soit ax+by+c=0 une équation cartésienne de la droite (D).
a) si b=0, donner l’équation réduite de la droite (D).
x = -\frac{c}{a}, (D) est une droite parallèle à l’axe des ordonnées.
Exemple : (D1) d’équation 2x-5=0.
b) si b \ne 0, donner l’équation réduite de la droite (D).
y = -\frac{a}{b} x -\frac{c}{b} , (D) est la droite de vecteur directeur \overrightarrow{u}(1 ; -\frac{a}{b}) , d’ordonnée à l’origine -\frac{c}{b}.
Exemples :
(D2) d’équation x-2y-3=0.
(D3) d’équation 3y-5=0.
Théorème et définitions.
Si (D) est une droite non parallèle à l’axe des ordonnées elle possède une équation de la forme y=mx+p ; m s’appelle le coefficient directeur de la droite (D) et (D) possède un vecteur directeur \overrightarrow{u}(l ; m) ; p s’appelle l’ordonnée à l’origine.
2) Détermination de l’équation réduite d’une droite.
i) Connaissant un point et un vecteur directeur :
Soit A(3 ;1) et \overrightarrow{u}(3 ;2). On cherche à déterminer l’équation réduite de la droite (D) passant par A et de vecteur directeur \overrightarrow{u}.
Théorème.
Si \overrightarrow{u}(a ;b) est un vecteur directeur de (D), alors (D) a pour coefficient directeur \frac{b}{a} , et si A(X_A ; Y_A) appartient à (D) alors p = Y_A -\frac{b}{a} X_A
ii) Connaissant deux points :
Déterminer l’équation réduite de (AB) où A(-2 ;1) et B(3 ;2).
Théorème.
C) Représentation graphique.
Méthode.
A partir d’une équation cartésienne ou de l’équation réduite de (D) :
- déterminer les coordonnées de deux points et tracer la droite passant par ces deux points.
- déterminer les coordonnées d’un point et d’un vecteur directeur, tracer la droite passant par ce point de direction le vecteur directeur.
D) Position relative de deux droites.
Propriété.
Les droites (D) et (D’) d’équations respectives ax+by+c=0 et a’x+b’y+c’=0 sont parallèles si, et seulement si, ab’-a’b=0.
On dira de (D) et (D’) qu’elles sont sécantes si, et seulement si, ab’-a’b \ne 0.
E) EQUATIONS DE CERCLES
Soit A(\alpha , \beta) le centre d’un cercle de rayon R dans le plan muni d’un repère orthonormal (O,i,j) .
L’expression (x-\alpha )2 +(y-\beta)2=R2est une équation de ce cercle
IV) Théorème d’Alkashi
Dans un triangle quelconque, on a les relations suivantes : (Ne cherchez pas à les retenir…)
