Exercices – Géométrie analytique

Chapitre7:Géométrie analytique –Produits scalaires-Equations de droites et de cercles
EXERCICES
EXERCICE 1
Calculer le produit \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v} le cas suivant :
\overrightarrow{u}=3 \overrightarrow{a} – \overrightarrow{b}, \overrightarrow{v}= \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} avec \overrightarrow{a}=2, \overrightarrow{b}=3 \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} avec || \overrightarrow{a}||=2,|| \overrightarrow{b}||=3, \overrightarrow{a}. \overrightarrow{b}=-1

EXERCICE 2
1° Deux vecteurs \overrightarrow{U} et \overrightarrow{U’} de normes respectives√2 et √6 forment un angle de \frac{5\pi}{6}.Calculer le produit scalaire \overrightarrow{U}.\overrightarrow{U’}
2° Deux vecteur \overrightarrow{V} et \overrightarrow{V’}‘ de normes respectives de 3 et 2 ont pour produit scalaire -3.
Quel est l’angle ∝ des deux vecteurs compris entre 0 et π ?

EXERCICE 3
On donne trois points du plan tels que \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=5 et ||\overrightarrow{AC}|| =2
1° calculez \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC}
2° Calculez \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AC}

EXERCICE 4
Soit un parallélogramme ABCD. Démontrez la relation : AC²+DB²= 2(AB² +BC²)

EXERCICE 5
Soit dans un cercle O , une corde [BC] et le diamètre [AD] perpendiculaire à [BC]. Soit un point M de la droite (BC) ; la droite (AM) recoupe le cercle 0 en M’
1° Montrez que \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}
2° montrez que \overrightarrow{AM’}.\overrightarrow{AM}=AB²

EXERCICE 6
Soit deux points distinct A et B , soit O le milieu de (A,B)
1° Montrez que pour tout point M, on a :
\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}= OM² –\mapsto~\frac{AB^2}{4}
2° Quel est l’ensemble des points M tels \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=K (Réel donné) ?

EXERCICE 7
On donne un triangle ABC inscrit dans un cercle de centre O. Soit H le point défini par la relation :
\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} ⃗Démontrez que H est l’orthocentre du triangle ABC .

EXERCICE 8
Dans un triangle ABC on donne : b = \sqrt{6} c = \sqrt{3}+1, \hat{A}= 45°
Calculer le côté a et les angles \hat{B}et\hat{C}.

EXERCICE 9
On donne un triangle ABC rectangle en A et isocèle ( AB= AC = a). Construisez les points A’ , B’ et C’ tels que :
\overrightarrow{AA’}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BB’}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CC}=- \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}
1 Montrez que \overrightarrow{A’B’}=\frac{1}{3} \overrightarrow{AC} + \frac{4}{3}\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{A’C’}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AC} – \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}
2° Montrez que le triangle A’B’C’ est rectangle et isocèle

EXERCICE 10
Soit un triangle ABC et soit H le projeté de A sur (BC)
1° Montrez que \overline{BC} x \overline{BH}= BA² + \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC} (1)
2° Déduisez- en que le triangle ABC est rectangle en A si et seulement si BA² = \overline{BC} x \overline{BH}.

EXERCICE 11
Soit un triangle ABC et H le projeté orthogonal de A sur ( BC)
1° Montrez que \overline{AH^2} = –\overline{HB} x \overline{HC} +\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} (1)
2° Déduisez–en que le triangle ABC est rectangle en A si et seulement si
AH² = –\overline{HB} x \overline{HC}

EXERCICE 12
Soit deux points A et B et O le milieu de ( A,B)
1° Démontrez que MA² – MB² = 2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{0M}
2° Déduisez en lé ensemble des points M tels que MA² – MB² = 4

EXERCICE 13
Soit un cercle C (O,R) et un point M distinct de O. Trouvez l’ensemble des points N du plan tels que \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}=R² étudiez le cas ou M ϵ C

EXERCICE 14
Soit deux vecteurs quelconques \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}
1° a) Montrez que ||\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}||= ||\overrightarrow{u} – \overrightarrow{v}|| si et seulement si \overrightarrow{u}orthogonal à \overrightarrow{v}
b) Déduisez–en que les diagonales d’un parallélogramme ABCD ont même longueur si et seulement si ce parallélogramme a un angle droit.
2° a) Montrez que ||\overrightarrow{u}||=||\overrightarrow{v}|| si et seulement si (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) orthogonal à (\overrightarrow{u} – \overrightarrow{v})
b) déduisez–en qu’un parallélogramme ABCD a deux côtés consécutifs de même longueur si et seulement si ses diagonales sont perpendiculaires.

EXERCICE 15
Soit un triangle ABC (\hat{A} < 90°) et soit O le milieu de [BC]. On construit extérieurement au triangle ABC les triangles BAM et CAN isocèles et rectangles en A.
1° a) Montrez que \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AM}
b) Montrez que \overrightarrow{AO}.\overrightarrow{MN}=0 ( on pourra observer que \overrightarrow{AO}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2} et que \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}–\overrightarrow{AN})
Que représente la droite (AO) pour le triangle AMN ?
2° a) Montrez que \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} et que \overrightarrow{BN}.\overrightarrow{CM}=0. Déduisez en que (BN)⊥(CM).Montrez que BN =CM.
b) soit I et J les milieux respectifs de [BM] et [CN]. Montrez que le triangle IOJ est rectangle et isocèle.
Droites et cercles dans le plan

EXERCICE 16
Dans un repère (O, i, j), soit A(2; -1) et \overrightarrow{u}(-2; 2).
a) Déterminer une équation de la droite d passant par A et de vecteur directeur \overrightarrow{u}.
b) Tracer la droite d’ d’équation x + y + 2 = 0.
c) Les droites d et d’ sont-elles parallèles?

EXERCICE 17
Soit A(4; -3), B(7; 2) et u(6; -2).
Déterminer les coordonnées de \overrightarrow{AB}ainsi que des points M et N tels que\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{u} et \overrightarrow{NB}=\overrightarrow{u} .

EXERCICE 18
On donne A(-2; 7), B(-3; 5) et C(4; 6).
Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

EXERCICE 19
Ecrire une équation de la droite (AB) où A(-1; -2) et B(-5; -4).

EXERCICE 20: Vrai ou Faux ?
La droite d a pour équation 2x + 3y – 5 = 0.
a) d passe par l’origine du repère.
b) d passe par A(2; \frac{1}{3}).
c) d a pour vecteur directeur \overrightarrow{u}(-1; \frac{2}{3}).
d) d a pour coefficient directeur \frac{2}{3}.

EXERCICE 21
Soit la droite (d) d’équation .
Déterminer une équation de la droite (d’) passant par A(2 ; -1) et parallèle à (d).

EXERCICE 22
Déterminer un vecteur directeur de la droite d’équation:
a) 3x – 7y + 4 = 0
b) x = -y
c) 8y – 4x = 0
d) x = 4
e) y – 5 = 0
f) x = y

exercice 23
On considère les deux droites d et d’ d’équations respectives 2x – y + 3 = 0 et 2x – y – 1 = 0.
Que peut-on dire des droites d et d’?

EXERCICE 24
Soit B(-5; 1) et C(2; -4).
Trouver les coordonnées du point A commun à (BC) et à l’axe des abscisses.

EXERCICE 25
On donne les points M(-1; 3), N(8; -4) et X(5; a) où a est un réel.
Comment choisir a pour que les points M, N et X soient alignés?

EXERCICE 26
Déterminer y pour que D soit situé sur la parallèle à (AB) passant par C lorsque
A(7; 2), B(3; -3), C(0; 2) et D(8; y).

EXERCICE 27
Le plan est muni d’un repère (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}).
a) Placer les points A(1,5 ; 1,5), B(0; 3), C(-1; 0) et D(0; -3).
b) Ecrire une équation pour chacune des droites (BC) et (AD).
Montrer que les droites (BC) et (AD) sont parallèles.
c) Soit M le milieu de [AB] et N celui de [CD]. Calculer les coordonnées de M et de N.
Montrer que \overrightarrow{MN}=K\overrightarrow{BC} où k est un réel que l’on précisera.
Que peut-on en déduire pour la droite (MN)? Montrer que (MN) passe par O.

exercice 28
Dans le plan muni d’un repère (O, \overrightarrow{i},\overrightarrow{j} ), on considère quatre points A(-1; 2), B(1; -1), C(2; 4) et D(6; -2).
a) Faire une figure.
b) Montrer que ABDC est un trapèze et non un parallélogramme.
c) Soit I le milieu de [AC] et J le milieu de [BD]. Démontrer que la droite (IJ) est parallèle à la droite (AB).
d) Soit K le milieu de [BC] et L le point tel que 2\overrightarrow{AL}=\overrightarrow{AD}. Monter que les points I, J, K et L sont alignés.

EXERCICE 29
Dans un plan muni d’un repère, on considère un triangle ABC où A(-3;0), B(5; 0) et C(6; -6).
Soit A’, B’ et C’ les milieux des côtés [BC], [AC] et [AB].
a) Calculer les coordonnées des points A’, B’ et C’.
b) Déterminer une équation de la droite (AA’), de la droite (BB’) et de la droite (CC’).
c) Calculer les coordonnées du point d’intersection G des droites (AA’) et (BB’).
d) Le point G est-il sur la droite (CC’)?
e) L’équation x – y + 4 = 0 est-elle une équation de (AC’)?

EXERCICE 30
On considère le quadrilatère ABCD où A(3; 3), B(3; -1), C(-2; -4) et D(-2; 0).
Démontrer que ABCD est un parallélogramme et calculer les coordonnées de son centre I.

EXERCICE 31
Déterminer un vecteur directeur et le coefficient directeur de chacune des droites suivantes:
(d) 2x – 5y + 7 = 0
(d’) 3y – 4x = 0
(d”) -x = y

EXERCICE 32
Répondez directement sur le sujet.
En utilisant les informations données sur le dessin, déterminer une équation de chacune des droites ci-dessous (on donnera des valeurs exactes, pas de justification).

(d1) :

(d2) :

(d3) :
2. Les droites (d2) et (d3) sont elles parallèles ? Pourquoi ?

EXERCICE 33
Soient les points A(3; 5), B(1; 3) et C(-3; 2).
a) Déterminer une équation de la droite (AB).
b) Déterminer une équation de la droite (d) passant par C et parallèle à (AB).
c) Soit D(x; y). Déterminer les coordonnées de D pour que ABCD soit un parallélogramme.
d) On considère le point E(1; 6). Démontrer que les points C, D et E sont alignés.

EXERCICE 34
Trouver les valeurs de x pour que les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} soient orthogonaux:
a) \overrightarrow{u}(-2; -5) \overrightarrow{v}(1; x+4)
b) \overrightarrow{u}(5; 11) \overrightarrow{v}(2; x)
c) \overrightarrow{u}(x; 3) \overrightarrow{v}(x; -6)

EXERCICE 35
Trouver une équation de la droite qui passe par A et qui est perpendiculaire à la droite D.
a) A(1; 1) D a pour équation x + y – 5 = 0
b) A(-2; 3) D a pour équation 2x – y + 2 = 0

EXERCICE 36
Démontrer que si les deux vecteurs \overrightarrow{u} (x;y) et \overrightarrow{v} (x’ ; y’)sont colinéaires alors leur déterminant est nul.

EXERCICE 37
a) Placer les points A(3; 6) B(1; 2) C(5; 4) dans un repère (O; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j} ).
b) Déterminer une équation de la médiatrice de [AB].
c) Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC.
d) Calculer l’aire du triangle ABC.

EXERCICE 38
Le plan est rapporté au repère orthonormal (O,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{i}).
Déterminer les valeurs du nombre réel l pour que les deux droites (D) et (D’) d’équations :
(D) : x + ly = 1
(D’) : (1 – l) x + ly = -2
soient parallèles ?

EXERCICE 39
Les équations : x = 2 – 3t (1) ; y = – 1 + 5t (2), avec t є ℝ , constituent un système d’équations
paramétriques d’une droite( D). Déduisez-en une équation cartésienne de(D).

EXERCICE 40
Soit 2x – 7y – 3 =0 une équation cartésienne d’une droite( D). Trouvez un système d’équations
paramétriques de(D).

EXERCICE 41
(D) et (D’) définies ci-dessous sont –elles parallèles ou sécantes ?Déterminer éventuellement le point d’intersection.
(D) est la droite passant par A(1,3) et B(4,2).
( D’) est la droite passant par C (-3, 0) et par D (0, -2).

EXERCICE 42
(D) et (D’) définies ci-dessous sont –elles parallèles ou sécantes ?Déterminer éventuellement le point d’intersection.
( D )est la droite passant par A (4, -1) et de vecteur directeur \overrightarrow{v} (-2, -3).
(D’) est la droite d’équation cartésienne : 3x – 2y + 1 = 0.

EXERCICE 43
(D) et (D’) définies ci-dessous sont –elles parallèles ou sécantes ?Déterminer éventuellement le point d’intersection .
(D ) et (D’) sont données par des systèmes d’équations paramétriques :
(D)\begin{cases} x=3+ 2k \\y=1-k\end{cases}  (k є ℝ). (D’)\begin{cases} x=7- 4t \\y=-1+2t\end{cases}(t є ℝ)

EXERCICE 44
Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Donnez une équation cartésienne du cercle C de centre I (3 ;4) et de rayon R=5.

EXERCICE 45
Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Donnez une équation cartésienne du cercle C de centre I(4 ;1) et passant par le point A(2 ;7).

EXERCICE 46
Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Donnez une équation cartésienne du cercle C qui admet un diamètre d’extrémités A(-5 ;2) et B(6 ;4).

EXERCICE 47
Montrer que x² + y² +4x-6y-12=0 (1) est une équation d’un cercle dont vous déterminerez le centre I et le rayon R.