Produit scalaire - 2nde S - Ogooue education

I. Définition

Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs; on appelle produit scalaire de $\overrightarrow{u}$ par $\overrightarrow{v}$ le nombre réel noté $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ défini par :
$\cdot ~~ \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u}|| × ||\overrightarrow{v}|| \times \cos( \widehat{\overrightarrow{u} ~;~\overrightarrow{v}} )$ si $\overrightarrow{u} \ne 0$ et $\overrightarrow{v} \ne 0$
$\cdot ~~ \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 0$ si $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ se lit « $\overrightarrow{u}$ 𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 $\overrightarrow{v}$ »

Exemples
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs, déterminer $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$
a) $||\overrightarrow{u}|| = 2\sqrt{3} ~;~ ||\overrightarrow{v}|| = 4$ et $\cos (\widehat{\overrightarrow{u} ~;~\overrightarrow{v}}) = \dfrac{\sqrt 3}{2}$

a) $||\overrightarrow{u}|| = 2\sqrt{3} ~;~ ||\overrightarrow{v}|| = 4$ et $\text{mes} (\widehat{\overrightarrow{u} ~;~\overrightarrow{v}}) = \dfrac{\pi}{2}$

Remarque
Pour trois points A, B et C distincts $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}= AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})$

II. Propriétés

Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ , on a :
1- $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$
2- $|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}| \leq || \overrightarrow{u} || \times || \overrightarrow{v} ||$
3- $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires et :
– de même sens si et seulement si $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u}|| \times ||\overrightarrow{v}||$
– de sens contraire si et seulement si $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = - ||\overrightarrow{u}|| \times ||\overrightarrow{v}||$

III. Carré scalaire

a) Définition

Le carré scalaire d’un vecteur $\overrightarrow{u}$ est défini par $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}$ . on le note $\overrightarrow{u}^2$

b) Propriété

Pour tout vecteur $\overrightarrow{u}$ on a : $\overrightarrow{u}^2 = ||\overrightarrow{u}||^2$

Exemple
On donne $\overrightarrow{u}$ avec $||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{5}$ . Calcule $\overrightarrow{u}^2$

Remarque : pour tous points distincts A et B, on a : $\overrightarrow{AB}^2 = ||\overrightarrow{AB}||^2 = AB^2$

c) Autre expression du produit scalaire

Propriété 1
Pour tous points A, B et C tels que A ≠ B
On a $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AH}$ où H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB)

Exemple
ABCD est un carré de coté 4cm. Calcule $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$

Propriété 2
Soit A, B, C et D quatre points tels que A ≠ B
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}$ = $\overline{AB} \times \overline{HK}$ où H et K sont les projetés orthogonaux respectifs des points C et D sur la droite (AB)

IV. Propriétés du produit scalaire

1. Vecteurs orthogonaux

a. Propriété

Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ on a :
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 0$

b- Conséquence

– Soit (D) et (D’) deux droites de vecteurs directeurs respectifs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ on a :
(D) ⏊ (D’) ⟺ $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$
– Soit les points A, B, C, et D avec A $\ne$ B et C $\ne$ D
On a (AB) ⏊ (CD) ⟺ $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD} = 0$
– Soit les points A, B et M avec A $\ne$ B
M appartient au cercle (𝜑)de diamètre [𝐴𝐵] si et seulement si $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 0$

Exemple
ABCD est un carré. Calcule le produit scalaire $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}$

2. Opération sur les produits scalaires

Propriétés
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ , $\overrightarrow{t}$ , $\overrightarrow{w}$ du plan et pour tout nombre réel $k$ on a :
$\overrightarrow{u} . (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} ) = \overrightarrow{u} . \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} . \overrightarrow{w}$
$(k.\overrightarrow{u} ) \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} (k. \overrightarrow{v} ) = k(\overrightarrow{u} . \overrightarrow{v} )$
$(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{w} ). \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} . \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} . \overrightarrow{v}$
$(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ).( \overrightarrow{w} + \overrightarrow{t} )= \overrightarrow{u} . \overrightarrow{w} + \overrightarrow{u} . \overrightarrow{t} + \overrightarrow{v} . \overrightarrow{w} + \overrightarrow{v} . \overrightarrow{t}$
$(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} )^2 = \overrightarrow{u}^2 + 2\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v} + \overrightarrow{v}^2$
$(\overrightarrow{u} − \overrightarrow{v} )^2 =\overrightarrow{u}^2 − 2\overrightarrow{u} .\overrightarrow{v} + \overrightarrow{v}^2$
$(\overrightarrow{u} − \overrightarrow{v} ).( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ) = \overrightarrow{u}^2 − \overrightarrow{v}^2$

3. Produit scalaire et norme

Propriété
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ,
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \dfrac{1}{2} (||\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}||^2 − ||\overrightarrow{u}||^2 − ||\overrightarrow{v}||^2)$

IV. Relation métrique dans un triangle

1. Produit scalaire dans un triangle

Propriété
Soit A, B et C trois points non alignés. On a : $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} (AC^2 + AB^2 - BC^2)$

Remarque
$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = \dfrac{1}{2} (BC^2 + BA^2 - AC^2)$

$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} = \dfrac{1}{2} (CA^2 + CB^2 - AB^2)$

Exemple
Soit ABC un triangle tels que AB = 5 ; AC = 6 et BC = 3
Calcule $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

2. Théorème d’Al Kashi

Propriété
Soit ABC un triangle quelconque.
Posons BC = a, AC = b, AB = c
Puis $\widehat{A} = \widehat{BAC} ~;~ \widehat{B}=\widehat{ABC} ~;~ \widehat{C}=\widehat{ACB}$

On a :
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc . \cos \widehat{A}$
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac . \cos \widehat{B}$
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab . \cos \widehat{C}$

Exemple :
ABC est un triangle tels que AB = 8 ; AC = 3 et $\text{mes} \widehat{BAC} = \dfrac{\pi}{3}$
Calcule BC

3. Caractéristique d’un triangle rectangle

Propriété
Soit ABC triangle, H pied de la hauteur issue de A. Les affirmations suivantes sont équivalentes.

ABC est un triangle rectangle en A
$BC^2 = AB^2 + AC^2$
$BA^2 = \overline{BH} \times \overline{BC}$
$HA^2 = \overline{HB} \times \overline{HC}$

VI. Produit scalaire de vecteurs connaissant leurs coordonnées

1. Expression du produit scalaire dans une base orthonormée

Propriété :
Soit (𝑖 , 𝑗 ) une base orthonormée et $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs.
Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ont pour coordonnées respectives ( $x$ ; $y$ ) et ( $x'$ ; $y'$ ) dans cette base alors $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ = $xx'$ + $yy'$

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