Exercices - Produit scalaire - 2nde S

Exercice 1

Ecris le numéro d’un élément de l’affirmation de l’ensemble A suivi de la lettre qui correspond à un seul élément de l’ensemble B

Ensemble A
(1) Théorème d’Al Kashi
(2) Produits scalaire dans un triangle connaissant les côtés
(3) Théorème de la médiane
(4) Carré scalaire
(5) Définition du scalaire du vecteur $\overrightarrow{AB}$ par le vecteur $\overrightarrow{AC}$

Ensemble B
(A) $AB \times AC \times \cos \widehat{BAC}$
(B) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC}$
(C) $BC^2 = AC^2 + AB^2 – 2AB.AC. \cos \widehat{A}$
(D) $BC^2 = AB^2 + AC^2$
(E) $AB^2 + AC^2 = 2AA’^2 + \dfrac{BC^2}{2}$

Exercice 2

On considère les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ tels que $||\overrightarrow{u}|| = 2$ ; $||\overrightarrow{v}|| = 3$ et $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=1$
Démontre que (2 $\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$ )( $\overrightarrow{u}$ − $\overrightarrow{v}$ ) = -2

Exercice 3

ABC est un triangle n’ayant pas d’angle obtus et H le pied de la hauteur issue de A. On donne :
AB = 6 ; BC=9 ; BH=4
Justifie que le triangle ABC est rectangle.

Exercice 4

Dans la figure ci-dessous, ABC est un triangle. ABIJ est un parallélogramme et BC = 4
Calcule le produit scalaire suivant.

1) $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BA}$
2) $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{JC}$
3) $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AJ}$
4) $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BJ}$
5) $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CI}$

Exercice 5

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O, 𝑖, 𝑗). Dans chacun des cas ci-dessous, calcule le produit scalaire $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$
1- $\overrightarrow{u} \binom{2}{-3}$ et $\overrightarrow{v} \binom{-5}{2}$
2- $\overrightarrow{u} = (1-\sqrt{2} )\overrightarrow{i} + (2- \sqrt{3})\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{v} = (1+\sqrt{2} )\overrightarrow{i} + (2 + \sqrt{3})\overrightarrow{j}$

Exercice 6

Réponds par VRAI si l’affirmation est vraie ou FAUX si elle est fausse
1) Le produit scalaire $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ a le même signe que $\cos \widehat{BAC}$ …………….
2) Si les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires et de même sens alors $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = – ||\overrightarrow{u}||.||\overrightarrow{v}||$ ……………
3) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 0$ signifie que $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}$ ……………………
4) Soient $\overrightarrow{u} \binom{x}{y}$ et $\overrightarrow{v} \binom{x’}{y’}$ dans une base orthonormée ( $\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}$ ) . On a : $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = xx’ -yy’$ ……………

Exercice 7

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs Démontre que :
1) $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \dfrac{1}{2} (||\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}||^2 – ||\overrightarrow{u}||^2 – ||\overrightarrow{v}||^2 )$

2) $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \dfrac{1}{2} (||\overrightarrow{u}||^2 + ||\overrightarrow{v}||^2 – ||\overrightarrow{u} – \overrightarrow{v}||^2 )$

3) $||\overrightarrow{u}|| – ||\overrightarrow{v}|| \leq ||\overrightarrow{u} – \overrightarrow{v}||$

Exercice 8

On donne trois points A(1 ;2), B(4 ; -3) et C(-1 ;3) dans le plan rapporté à un repère orthonormé. Détermine une valeur approchée à 10⁻¹ près de la mesure de l’angle $\widehat{BAC}$ .

Exercice 9

Soit ABC un triangle, tels que $AB = \sqrt{7} ~,~ AC = 2$ et $BC = 3$
1.a) Calcule $\cos \widehat{BAC}$
b – justifie que $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 1$
2) On considère le point M tel que $6\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$
a) Calcule $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AC} = 1$
b) Démontre que les droites (MB) et (AC) sont perpendiculaires.

Exercice 10

On considère la figure ci-dessous

a) Calcule la longueur AA’
b) Calcule $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$
c) Calcule la longueur des deux autres médianes

Exercice 11

Calcule le produit scalaire $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ dans chacun des cas ci-dessous.
1) $||\overrightarrow{u}||= 2 ; ||\overrightarrow{v}||= 6$ ; et les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires et de même sens.
2) $||\overrightarrow{u}||= 15 ; ||\overrightarrow{v}||= 7$ ; et les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires et de sens contraires

Exercice 12

Soit ABC un triangle. On pose a = BC ; b = AC ; c = AB.
On appelle P son demi-périmètre et S son aire. On se propose de calculer S en fonction de a, b et c.
1.a) Démontre que $\cos \widehat{A} = \dfrac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc}$
b) En déduire $\sin \widehat{A}$ en fonction de $a, ~b$ et $c$ .
2) Démontre que $\sqrt{p(q-a)(p-b)p-c)}$

Exercice 13

Le père d’une famille partage un terrain de forme carrée à ses trois enfants. Pour éviter le conflit entre les jumeaux, il décide que la parcelle de l’aîné, élève en classe de 2nde S soit entre celles des jumeaux. La figure ci-dessus illustre ce partage.
L’ainé curieux voudrait connaitre la mesure de l’angle 𝜃 à 10⁻². Pour cela il s’adresse au géomètre qui lui demande de calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AJ}$ . Ne sachant pas comment procédé il te sollicite
A l’aide d’une démarche argumentée basée de tes connaissances en mathématiques, répond sa préoccupation.