Sujet N°4

Exercice 1 (7 points)

1) Ecrire sous forme canonique
f(x) = x^2-6x + 1      et          
g(x) = -2x^2 – 6x + 2
2) Résoudre dans \R les équations suivantes :
-x^2 + 2x + 3 = 0   ;   
x^2 + 2x +  2 = 0  ;     
2x^2 – 8x +6 – 3 | x-2 | = 0
3) Résoudre dans \R les inéquations suivantes
-x^2 + 3x – 5 > -9   ;     
-x^2 + 3x – 5  ≤  -3   ;  
-9 < -x^2 + 3x – 5 ≤  -3
4.a) Exprimer x^2 + y^2 à l’aide de (x+y)^2 et x.y
b) Deux nombres sont tel que leur produit est \dfrac{91}{4} et la somme de leurs carrés est \dfrac{109}{2}. Calculer x + y puis x et y.

Exercice 2. (6 points)

1) Soit le polynôme P(x) = 6x^3 + 7x^2 – 14x – 8
a) Vérifier que –2 est une racine de P(x)
b) Déterminer le polynôme q tel  P(x) = (x + 2) q(x)
c) Résoudre dans \R l’équation P(x) = 0
2) Préciser dans chacun des cas suivants, pour quelle(s) valeur(s) de  le
polynôme P(x) est factorisable par (x-1), puis déterminer le polynôme q(x)
tel que P(x) = (x-1) q(x).
a) P(x) = 3x^2– 2x – \alpha
b) P(x) = \alpha^2 x 4 – 2x^2

Exercice 3. (7 points)

Soit A B C un triangle rectangle en A ; les côtés [AB] et [AC] mesurent respectivement 10 cm et 4 cm. On appelle D un point du segment [AB] et E un point du segment [AC] tels que BD = 2 AE.
1) On pose AE = x. Exprimer l’aire A(x) du triangle DAE en fonction de x.
2) Existe-t-il des valeurs de x pour lesquelles A(x), exprimée en cm² est égale à \dfrac{25}{4} ?
3) Démontrer que, pour tout nombre x de l’intervalle [0 ; 4]
A(x) ≤ \dfrac{25}{4}
4) Existe-t-il des valeurs de x pour lesquelles :
a) A(x) = 4   ;             
b) A(x) =\dfrac{9}{4}