Corrigés – Théorème de Thalès

Exercice1

Calculons x et y sachant que (AC)//(EF)

a) \frac{BE}{EF} = \frac{BA}{AC} signifie que \frac{6}{x} = \frac{8}{10}
On trouve x= \frac{15}{2}
\frac{BF}{BC} = \frac{BE}{BA} signifie que \frac{y}{y+3} = \frac{6}{8}
On trouve y=9

b) \frac{BE}{EF} = \frac{BA}{AC} signifie que \frac{10}{14} = \frac{25}{x} (x non nul)
On trouve x=35
\frac{BF}{BC} = \frac{BE}{BA} signifie que \frac{30-y}{30} = \frac{10}{25}
On trouve y=18

c) \frac{AC}{CI} = \frac{EF}{IE} signifie que \frac{x}{2} = \frac{4}{3}
On trouve x= \frac{8}{3}
\frac{AI}{CI} = \frac{IF}{IE} signifie que \frac{y}{2} = \frac{5}{3}
trouve y= \frac{10}{3}

Exercice 2

\frac{BD}{DE} = \frac{BA}{AC} signifie que \frac{c-x}{x} = \frac{c}{b}
On trouve x= \frac{bc}{b+c}

Exercice 3

\frac{AB}{AM} = \frac{AC}{AN} et A, B et M sont dans le même ordre que A, C et N donc d’après la réciproque du théorème de Thalès (BC)//(MN).
De même \frac{AB}{AC} = \frac{AP}{AQ} et A, M et P sont  dans le même ordre que A , N et Q donc d’après la réciproque du théorème de Thalès (BC)//(PQ)
(BC)//(MN) et (BC)//(PQ) donc (BC)//(MN)//(PQ).

Exercice 6

1)A l’aide du schéma, on a :
CB = 20 cm = 0,2 m (correspond à l’épaisseur du mur)
FG = 75 + 20 = 95 cm = 0,95 m (correspond au diamètre du puits plus l’épaisseur du mur)
RB = 1,80 – 1 = 0,80 m (correspond à la hauteur du regard moins la hauteur du rebord)

2. Calculons la profondeur BG du puits :
Les droites (CF) et (BG) sont sécantes en R, les droites (CB) et (FG) sont parallèles.
D’après le théorème de Thalès, on a :

Or, B appartient au segment [RG], donc :
BG = RG – RB = 3,8 – 0,8 = 3.
La profondeur du puits est de 3 mètres.

3. Calculons le volume d’eau dans le puits (on utilise la formule permettant de déterminer le volume d’un cylindre)  est V = \pi X R^2 X h (où R désigne le rayon du puits et h la hauteur d’eau dans le puis)
V= \pi X (\frac{0,75}{2})^2 X 2,6 \approx 1,15cm^2
Le puits contient environ 1,15 m³ d’eau. Le jeune berger ayant besoin de 1 m³ d’eau trouvera assez d’eau dans ce puits.

Exercice 7

Dans le triangle ABC rectangle en A, on applique le théorème de Pythagore :
BC² = AB² + AC² = 300² + 400² = 250 000
BC= \sqrt{250000} =500
La longueur BC est égale à 500 m.
Les droites (AE) et (BD) sont sécantes en C, les droites (AB) et (DE) sont parallèles.
D’après le théorème de Thalès, on a :
\frac{CB}{CD} = \frac{CA}{CE} = \frac{BA}{DE} donc \frac{500}{CD} = \frac{400}{1000} = \frac{300}{DE}

CD= \frac{1000 \times 500}{400} =1250

La longueur CD est égale à 1 250 m.
DE= \frac{1000 \times 300}{400} = 750
La longueur DE est égale à 750 m.
Longueur du parcours :
AB + BC + CD + DE = 300 + 500 + 1 250 + 750 = 2 800
La longueur du parcours est de 2 800 mètres.

Exercice 8

1)Les points A, B, M d’une part, et A, C, N d’autre part, sont alignés dans cet ordre. De plus, les droites (BC) et (MN) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès, on a :
\frac{AB}{AM} = \frac{AC}{AN} = \frac{BC}{AN}

On en déduit : AM= \frac{AB \times AN}{AC} = \frac{4,5 \times 4,8}{3} = 7,2.
BC= \frac{AC \times MN}{AN} = \frac{3 \times 6,4}{4,8} = 4.

2. Les points E, A, C d’une part, et F, A, B d’autre part, sont alignés dans cet ordre. De plus,

Ainsi \frac{AB}{AF} = \frac{AC}{AE} donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BC) et (EF) sont parallèles.