10. Théorème de Thalès

L’élève doit être capable de : – reconnaître deux triangles en configuration de Thalès ; – connaître le théorème de Thalès et sa réciproque ; – utiliser le théorème de Thalès pour établir des égalités de quotients ou pour partager un segment dans un rapport donné ; – établir le parallélisme de deux droites en utilisant « la réciproque » du théorème de Thalès

I)Théorème de Thalès relatif aux triangles

Définition

On dit que deux triangle forment une configuration de Thalès s’ils sont déterminés par deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles

Exemple

ABC et AEF forment une Configuration de Thalès                                

Théorème de Thalès
Si les triangles ABC et AEF forment une configuration de Thalès alors \frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} = \frac{EF}{BC}

Cas de trapèze

Soit ABCD un trapèze. E est le point du segment [BC] tel que BE=\frac{1}{5}BC. La parallèle à [DC] passant par E coupe (AD) en F . Démontrer que AF=\frac{1}{4}AG

Réponse

Traçons la parallèle à (AD) passant par B elle coupe (EF) en G et (DC) en H
Les triangles BGE et BHC forment une configuration de Thalès alors \frac{BG}{BH} = \frac{BE}{BC} = \frac{GE}{HC}

ABGF est un parallélogramme donc AF=BG
ABHD est un parallélogramme donc AD=BH

II)Réciproque du Théorème de Thalès

Soit  ABC un triangle, E est un point de (AB). Si \frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} et si A, B et E sont dans le même ordre  que A, C  et F alors les droites (BC) et (EF) sont parallèles.