Exercices – Repère orthonormé – Distance

Exercice n°1

Le plan est muni d’un repère orthonormal (O, I, J)

  1. Calculer les longueurs des côtés du triangle ABC
  2. Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle.

Exercice n°2

Exercice n°3

Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}) on donne les points : A (-1 ; 2) ; B (-2 ;-1) ;C (1 ;-2) ; et D (2 ; 1).
Montrer que ABCD est un carré.

Exercice n°4

Dans un plan rapporté au repère orthonormé (O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}) (On prendra comme unité le cm), on considère les points : A(-5; 3) ; B(-2; 0) ; C(0 ;2).

  1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
  2. Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme. Que peut-on dire de ce parallélogramme ?
  3. On désigne par ( C) le cercle de centre C passant par B. Ce cercle coupe l’axe des ordonnées en E (ordonnée positive) et en E’(ordonnée négative).

Quelle est la nature du triangle BCE ?
Déterminer les coordonnées de E et de E’.

Exercice 5

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}).
On a :

Déterminer y pour que \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} soient orthogonaux.

Exercice n°6

Soient les points A (1 ; 1), B (0 ; 6) , C (-5 ;5), D (-4 ;0) et I (-2 ;3).

  1. Monter que les points A, B, C, et D sont sur un cercle (C) de centre I dont on calculera le rayon.
  2. Calculer les coordonnées du point E appartenant à (C) et de même abscisse que A.
    Que peut-on en déduire pour le triangle AEC ?
    Préciser la position du point E par rapport au segment [AC].
  3. Quelles sont les coordonnées des points de(C) :
    a) dont l’abscisse est – 1 ? – 3 ?
    b) dont l’ordonnée est 2 ? 4 ?

Exercice n°7

Soient les points A (4 ; 0) et B (8 ; 0) dans le plan muni d’un repère orthonormé (O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}).
Déterminer l’abscisse du point C de coordonnée (x ; y), pour que le triangle ABC soit isocèle en C ?

Exercice n°8

Soit a et b deux réels tous non nuls.
Dans un  repère orthonormé lesquels des vecteurs suivants sont orthogonaux ?

Exercice 9

Soit (O, I, J) un repère orthonormé.
1. Sur votre copie, construire le repère et placer les points suivants :
A(4 ; 2)     B(3 ; -1)     C(6 ; -2)
2. Calculer les distances AC et AB.
Pour la suite, on admet que BC = \sqrt{10}
3. Préciser la nature du triangle ABC.
4. On appelle E le symétrique de B par rapport à A. On appelle D l’image de E par la translation de vecteur \overrightarrow{BC}.
Placer E et D dans le repère précédent.
5. Démontrer que le quadrilatère BCDE est un rectangle.
6. Déterminer l’aire du rectangle BCDE puis l’aire du quadrilatère ACDE.

Exercice 10

Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O ; I , J), on considère les points :
A(-2 ; 1)     B(0 ; 5)     C(6 ; -3)
1. Sur la copie, faire une figure et placer les points A, B et C.
2. Montrer que : AC=4\sqrt{5}
3. On admet que AB=2\sqrt{5} et  BC = 10. Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
4. Sur la figure, placer le point M tel que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CM} soient égaux.
5. Préciser la nature du quadrilatère ABMC. Justifier.

Exercice11

Dans ce problème, l’unité de longueur est le cm et l’unité d’aire, le cm². On utilisera une feuille de papier millimétré pour la figure.
(O, I, J ) est un repère orthonormé, avec OI = OJ = 1 cm.
1. Placer les points suivants : A(3 ;-5) ; B(1 ; 6) et C(-3 ; 3).
2. a) Montrer par le calcul que AB=5\sqrt{5} ; AC = 10 et BC = 5.
    b) Démontrer que ABC est un triangle rectangle en C.
3. a) Construire le point D, image de A dans la translation de vecteur \overrightarrow{BC}.
    b) Justifier que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. 
4. Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{BC}.
5. a) Calculer l’aire du parallélogramme ABCD.
    b) Soit K le centre de symétrie du parallélogramme ABCD.
Calculer  les coordonnées du point K.

Exercice 12

Soit (O; I, J) un repère orthonormé du plan (unité le cm).
1. Sur la copie, dans le repère (O; I, J), placer les points A(-3 ; 1); B(-2 ; 3); C(2 ; 1).
2. Calculer la distance BC.
3. On admet que AB = \sqrt{5} et AC = 5.
Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
4. Calculer les coordonnées du milieu M de [AB].
5. Construire le point N, image de M par la translation de vecteur \overrightarrow{BC}.
6. Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{BC}.
7. Calculer les coordonnées du point N.
8. Démontrer que la droite (MN) coupe le segment [AC] en son milieu.

 Exercice 13

On considère un repère orthonormé (O, I, J). L’unité de longueur est le centimètre.
1. Placer les points A (3 ; 7), B (-1 ; 2) et C (7 ; 2).
2. Démontrer que le triangle ABC est isocèle de sommet principal A.
3. Soit A’ le milieu du segment [BC]. Calculer les coordonnées de A’.
4. Placer le point D tel que \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}.
Que peut-on dire du quadrilatère ABDC ? Justifier la réponse.
5. Montrer que le point A’ est le milieu du segment [AD] .