11. Repère orthonormé – Distance
L’élève doit être capable de : – calculer la distance de deux points dans un repère orthonormé ; – caractériser analytiquement l’orthogonalité de deux vecteurs ; – établir l’orthogonalité de deux vecteurs à partir de leurs coordonnées ; |
I) Repère orthonormé
1) Définition
Soit (O ;I ;J) un repère du plan.
On dit que le repère (O ; I ;J)est un repère orthonormé(ou orthogonal) si les deux droites sont perpendiculaires.
L’unité est la même sur chacun des deux axes ; OI=OJ ; i=OI et j =OJ
2) Représentation

OI=OJ et (OI)\perp(OJ)
Repère orthonormé
II) Distance de deux points
Activité
a)(O ;I ;J) est un repère orthonormé d’unité(1cm) placer les points A(2 ;4) ;B(6 ;2) et C(2 ;2).
En considérant le triangle ABC et en appliquant le théorème de Pythagore, calculer AB et trouver la valeur exacte de AB.
b) Dans un repère (O ;i ;j) orthonormé placer A(xA ;yA) B(xB ;yB) ; C(xC ;yC)
Exprimer BC2 en fonction de xA et xB
Exprimer AC2 en fonction de yA et yB .Calculer AB2
En déduire AB en fonction de xA et xB ; yA et yB



2) Définition
La distance des points A(xA ;yA) et B(xB ;yB) du plan muni d’un repère orthonormé est : AB=\sqrt{(xB-xA)^2 +(yA-yB)^2}
Exercice d’application
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O ;i ;j).
a)Placer les points A(-1 ;3) ;B(-2 ;1) ;C(3 ;1)
b) Démontrer que le triangle ABC est rectangle et préciser en quel point.
III) Orthogonalité de deux vecteurs
1 ) Représentation
Soit \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs non nuls tels que \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC} et (AB) \perp (AC)

2 ) Définition
\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux signifie que les droites (AB ) et ( AC)sont perpendiculaires.
3 )Caractérisation de l’orthogonalité de deux vecteurs non nuls.
- Théorème :
Dans un repère orthonormé \overrightarrow{u}\binom{x}{y} et \overrightarrow{v}\binom{x'}{y'} étant deux vecteurs non nuls.
Si \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux alors ;xx’+yy’=0 et réciproquement.
Si xx’+yy’=0 alors \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux.
Conséquence du théorème
Dans un repère orthonormé \overrightarrow{u}\binom{x}{y} et \overrightarrow{v}\binom{x'}{y'} étant deux vecteurs non nuls. Si xx’+yy’ 0 alors \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ne sont pas orthogonaux.