11. Repère orthonormé – Distance

L’élève doit être capable de :
– calculer la distance de deux points dans un repère orthonormé ;
– caractériser analytiquement l’orthogonalité de deux vecteurs ;
– établir l’orthogonalité de deux vecteurs à partir de leurs coordonnées ;  

I) Repère orthonormé

 1) Définition

Soit (O ;I ;J) un repère du plan.
On dit que le repère (O ; I ;J)est un repère orthonormé(ou orthogonal) si les deux droites sont perpendiculaires.
L’unité est la même sur chacun des deux axes ; OI=OJ ; i=OI et  j =OJ

2) Représentation

OI=OJ et (OI)\perp(OJ)                                                                                                    
Repère orthonormé 

II) Distance de deux points

 Activité

a)(O ;I ;J) est un repère orthonormé d’unité(1cm) placer les points A(2 ;4) ;B(6 ;2) et C(2 ;2).
En considérant le triangle ABC et en appliquant le théorème de Pythagore, calculer AB et trouver la valeur exacte de AB.

b) Dans un repère (O ;i ;j) orthonormé placer A(xA ;yA) B(xB ;yB) ; C(xC ;yC

Exprimer BC2 en fonction de xA et xB
Exprimer AC2 en fonction de yA  et y.Calculer AB2
En déduire AB en fonction de xA  et x; yA  et yB

2) Définition

La distance des points A(xA ;yA) et B(xB ;yB) du plan muni d’un repère orthonormé est : AB=\sqrt{(xB-xA)^2 +(yA-yB)^2}

    Exercice d’application

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O ;i ;j).
a)Placer les points A(-1 ;3) ;B(-2 ;1) ;C(3 ;1)
b)  Démontrer que le triangle ABC est rectangle et préciser en quel point.    

III) Orthogonalité de deux vecteurs

1 ) Représentation

Soit \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs non nuls tels que  \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC} et (AB) \perp (AC)

2 ) Définition

\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux signifie que les droites (AB ) et ( AC)sont perpendiculaires.

3 )Caractérisation de l’orthogonalité de deux vecteurs non nuls.

  • Théorème :

Dans un repère orthonormé \overrightarrow{u}\binom{x}{y} et \overrightarrow{v}\binom{x'}{y'} étant deux vecteurs non nuls.
Si \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux alors ;xx’+yy’=0 et réciproquement.
Si xx’+yy’=0 alors \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux.

Conséquence du théorème

Dans un repère orthonormé \overrightarrow{u}\binom{x}{y} et \overrightarrow{v}\binom{x'}{y'} étant deux vecteurs non nuls. Si xx’+yy’ 0 alors \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ne sont pas orthogonaux.