Exercices – Angles inscrits

Exercice n°1

Soit (C) le cercle de centre O et de diamètre [ST]. La médiatrice de [OT] coupe [ST] en H et le cercle(C) en P et P’
1) Faire une figure
2) Sachant que l’angle \widehat{TPP’} = 30°, calculer la mesure des angles \widehat{TSP’}, puis \widehat{TOP’}.
3) Sachant que le  rayon du cercle (C) est 6cm, calculer les distances PS et PT.

Exercice n°2

On donne le triangle ABC et son cercle circonscrit de centre I. 
\widehat{ABC} = 48° ; \widehat{BCA} = 72°                         
Calculer \widehat{BIC}

Exercice n°3

             ABC  est un triangle inscrit dans un cercle (C) de centre O.
La bissectrice de l’angle \widehat{BAC} coupe le cercle (C) au point A’.
[A’B’] est La corde de (C) telle que [A’B’] soit parallèle à [AB].
1) Faire une figure
2) Démontrer que les angles \widehat{A’AB} et \widehat{A’B’C} ont la même mesure

Exercice n°4

Dans la figure ci-contre :

1)Déterminer  la mesure de l’angle \widehat{JNP}.
En déduire celle de l’angle \widehat{JNM}.
2) Déterminer le mesure de l’angle \widehat{NBP} dans le triangle NBP.
En déduire celle de l’angle \widehat{IBN}.
3) Déterminer la mesure de l’angle \widehat{MIB}.
4) En déduire de toutes les questions précédentes la mesure de l’angle \widehat{JMP}.

Exercice n°5

Dans le plan muni d’un repère orthonormé ( O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}) on donne les points A(-1 ; 2) ; B(2 ; 6) ; et C(3 ; -1).
1) Quelle est la nature du triangle ABC ?
2) Soit (C) le cercle circonscrit au triangle ABC.
Déterminer son centre M et son rayon r.
3) Le point P(5 ;5) appartient-il au cercle (C) ?
4) Que vaut l’angle \widehat{APC} ? Justifier.

Exercice n° 6

1.Trace le cercle (C) de centre O et de diamètre [AB] tel que AB = 8 cm.
2. Place un point M appartenant à (C) tel que \widehat{BOM} =36°.
3. Calcule la mesure de l’angle inscrit \widehat{MAB} qui intercepte le petit arc de cercle \overgroup{MB}.
4. A l’aide des données de l’énoncé, laquelle de ces propositions te permet de montrer que AMB est un triangle rectangle en M : (Recopie sur ta copie la bonne proposition)
Proposition 1 :
Si dans le triangle AMB on a AB² = AM² + BM² alors AMB est un triangle rectangle en M.
Proposition 2 :
Si le triangle AMB est inscrit dans le cercle (C) dont l’un des diamètres est [AB] alors AMB est un triangle rectangle en M.
Proposition 3 :
Si O est le milieu de [AB] alors AMB est un triangle rectangle d’hypoténuse [AB].
5. Calcule la longueur AM et arrondis le résultat au dixième.
6. Trace le symétrique N de M par rapport à [AB].
7. Place les points R et S de façon à ce que NMRAS soit un pentagone régulier.

Exercice  n°7

On considère la figure ci-dessous qui n’est pas en vraie grandeur. On ne demande pas de refaire la figure.

   – ABD est un triangle isocèle en A tel que \widehat{ABD} = 75° ;
   – (C) est le cercle circonscrit au triangle ABD ;
   – O est le centre du cercle (C)
   – [BM] est un diamètre de (C).
1. Quelle est la nature du triangle BMD ?
Justifier la réponse
2. a) Calculer la mesure de l’angle \widehat{BAD}.
    b) Citer un angle inscrit qui intercepte le même arc que l’angle \widehat{BMD}.
    c) Justifier que l’angle \widehat{BMD} mesure 30°
3. On donne : BD = 5,6 cm et BM = 11,2 cm. Calculer DM. On arrondira le résultat au dixième près.

Exercice n° 8

Sur la figure ci-contre, qui n’est pas en vraie grandeur, nous savons que :

– (C) est un cercle de centre E dont le diamètre [AD] mesure 9 cm.
  – B est un point du cercle (C) tel que : \widehat{AEB} = 46°
1. Faire la figure en respectant les dimensions données.
2. Montrer que le triangle ABD est un triangle rectangle.
3. Justifier que : \widehat{ADB} = 46°.
4. Calculer la longueur AB et préciser sa valeur arrondie au centième de cm.
5. On trace la droite parallèle à la droite (AB) passant par E.
Elle coupe le segment [BD] au point F.
6. Calculer la longueur EF et préciser sa valeur arrondie au dixième de cm.

Exercice n°9

La figure ci-dessous n’est pas en vraie grandeur ; on ne demande pas de la reproduire.

On considère un cercle (C) de centre O et de diamètre 8 cm.
I et J sont deux points de (C) diamétralement opposés ; 
K est un point de (C) tel que JK = 4 cm.
1. Préciser la nature du triangle IJK. Justifier.
2. Préciser la nature du triangle OJK. Justifier.
3. On appelle R le symétrique de K par rapport à la droite (IJ). Démontrer que le quadrilatère ROKJ est un losange.

Exercice n° 10

On donne la figure ci-dessous, qui n’est pas en vraie grandeur et qui n’est pas à reproduire.

Les points M, O et Q sont alignés ainsi que les points N, O et P. Les segments [OM] et [OQ] sont des diamètres des deux cercles tracés ;
on donne : OM = 7,5 cm et OQ = 4,5 cm.
1. Prouver que le triangle MNO est rectangle en N.
On admet pour la suite que le triangle OPQ est rectangle en P.
2. Justifier que les droites (MN) et (PQ) sont parallèles.
3. Dans le cas où ON = 5 cm, calculer la distance OP.
Justifier.