12. Angles inscrits
| L’élève doit : – connaître les propriétés des angles inscrits dans un cercle interceptant le même arc ; – connaître la relation entre l’angle inscrit et l’angle au centre associé. L’élève doit être capable de : – reconnaître un angle inscrit et son angle au centre associé ; – utiliser les propriétés des angles inscrits pour justifier l’égalité de deux angles ou pour déterminer la mesure d’un angle. |
I)Angle inscrit et Angle au centre associé
1)Rappel
Soit le cercle de centre O
-Une Corde est le segment liant deux points du cercle. Exemple : [EF]
-Un diamètre est une corde passant par le centre du cercle. Exemple :[AB]
-Un rayon est tout segment liant le centre et un point du cercle. Exemple :[OC]
-ZQS BNL’arc de cercle est la portion du cercle comprise entre deux points du cercle. Exemple : \widehat{EF}
2) Activité
Tracer un cercle (C) de centre O. Soit A et B deux points distincts de (C ) . Placer un point M sur le cercle distinct de A et de B et mesurer \widehat{AMB} et \widehat{AOB} dans les cas suivants :
a) \widehat{AMB} est un angle aigu
b) \widehat{AMB} est un angle obtus
Remarque
a)
b)
On remarque que dans tous les deux cas \widehat{AOB} = 2\widehat{AMB}
3)Définition
L’ angle \widehat{AMB} est appelé angle INSCRIT dans le cercle ( C ). On dit qu’il intercepte l’arc \overgroup{AB}.
L’angle \widehat{AOB} est un angle AU CENTRE ASSOCIE car il intercepte le même arc que l’angle \widehat{AMB} et son sommet O est le centre du cercle.
4)Théorème de l’angle inscrit
Soit un cercle de centre O. Si A ; B ; M sont trois points distincts de ce cercle , alors \widehat{AOB} = 2\widehat{AMB}
Exercice d’application
On donne le triangle ABC et son cercle circonscrit de centre O. \widehat{ABC}=50° \widehat{BCA}=70° .
Calculer \widehat{BOC}
2) Application : Triangle inscrit dans un demi – cercle
a) Activité
Soit un cercle de centre O,de diamètre[AB] et M un point du cercle .
Démontrer que AMB est un triangle rectangle
Réponse
\widehat{AMB} est un angle inscrit interceptant l’arc \overgroup{AB} et \widehat{AOB} est un angle au centre associé interceptant le même arc \overgroup{AB} , on a \widehat{AOB}=2\widehat{AMB} ; \widehat{AMB}=\frac{\widehat{AOB}}{2} ; \widehat{AMB}= \frac{180°}{2} = 90°
- Alors le triangle AMB est rectangle en M.
b)Propriété
Si un triangle AMB est inscrit dans un demi-cercle de diamètre [AB] alors AMB est un triangle rectangle en M.
II)Angles inscrits interceptant le même arc
1)Activité
Tracer un cercle de centre O ,placer deux points distinct A et B sur ce cercle . Placer les points E ; F et M sur le grand arc AB et mesurer les angles \widehat{AEB} ; \widehat{AFB} ; \widehat{AMB} . Que remarque t-on ?
Réponse
\widehat{AEB}=35,78° ; \widehat{AFB}=35,78° ; \widehat{AMB}=35,78°. On remarque que \widehat{AEB} ; \widehat{AFB} ; \widehat{AMB} sont des angles inscrits interceptant le même arc et qu’ils sont égaux
2)Propriété
Si deux angles inscrits interceptent le même arc alors ils sont égaux.
