13. Droites-Equations de droites

L’élève doit être capable de :
– déterminer un vecteur directeur, le coefficient directeur d’une droite ;
– déterminer une équation d’une droite dont on connaît un point et un vecteur directeur, deux points, un point et son coefficient directeur ;
– calculer une des coordonnées d’un point d’une droite connaissant l’autre et une équation de la droite ;
– construire une droite dont on connaît une équation ;
– établir l’appartenance ou non d’un point de coordonnées connues à une droite d’équation connue ;
– justifier le parallélisme, l’orthogonalité de deux droites dont on connaît les vecteurs directeurs, les coefficients directeurs, les équations

I. Equation de droites

1. Vecteurs directeurs  d’une  droite

Soit A un point quelconque du plan et soit \overrightarrow{u} un vecteur non nul.
Construire les points B ; C ;F et G tel que :
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{AF} = \frac{5}{2}\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{AC} = \frac{-1}{2}\overrightarrow{u}.

a) Que peut-on dire des points A ;B ;C ;F ;G ? justifier.
b) Soit M un point quelconque pour lequel il existe un réel k tel que : \overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{u}.

Que peut-on dire des points A ;B ;M ? justifier

       Figure

On remarque que les points A ; B ;C ;F et G sont sur la même droite (D).

-Si M est un point tel que \overrightarrow{AM} =k\overrightarrow{AB} alors A ; B et M sont  alignés. \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{AB} sont donc colinéaires et \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{u} sont aussi colinéaires.

Si M est un point de (D) alors il existe un réel k tel que \overrightarrow{AM} =k \overrightarrow{u} ; on dit que \overrightarrow{u} est un vecteur directeur de (D)

2. Définition

Etant donnés deux points A et B d’une droite (D) , on appelle vecteur directeur  tout vecteur \overrightarrow{u} non nul colinéaire à \overrightarrow{AB}.    

3. Conséquence

Etant donné un point A et un vecteur non nul \overrightarrow{u} , il existe une et une seule droite passant par A et ayant pour  vecteur directeur le vecteur \overrightarrow{u}

       Figure

A et B etant deux points distincts d’une seule droite (D). Le vecteur \overrightarrow{AB} est un vecteur directeur pour la droite (D).

• Remarque :

Si \overrightarrow{u} est un vecteur directeur de la droite (D) tout vecteur non nul qui est colinéaire à \overrightarrow{u} est aussi un vecteur pour la droite (D).

  Figure

4. Equation cartésienne d’une droite

 Propriété 1

Le plan étant muni d’un repère (o ;i ;j) a et b deux réels non nuls ;c un réel quelconque.
L’ensemble des points M dont les coordonnées x et y vérifie ax+by+c=0 est appelée équation de la droite (D) dans le (o ;i ;j).

 Propriété2

Si (D) a pour équation y=mx+p alors \overrightarrow{u}\binom{1}{m} est un vecteur directeur de (D) et m est appelé le coefficient directeur de (D)
Si le repère est orthonormé alors m est appelé pente de la droite.
P est l’ordonnée du point d’abscisse 0 ;p est l’ordonnée à l’origine.

 5. Cas particuliers

a. Droites parallèles à l’axe des ordonnées

Construire une droite (D) passant par le point E(3 ;1) et parallèle à l’axe des ordonnées. Que remarque-t-on ?

   Figure

On remarque que tous les points situés sur (D) ont pour abscisses 3 ;on dit x=3 est une équation de la droite (D)

  b.  Conclusion

Toute droite parallèle a l’axe des ordonnées a une équation de la forme x=a ou « a » est l’abscisse d’un point de cette droite.

II. Droites parallèles-droites perpendiculaires

1. Droites parallèles

a. Rappels

Si deux droites sont parallèles alors leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Si deux droites ont  leurs vecteurs directeurs colinéaires alors elles sont parallèles.

b. Activité

Dans un repère (o ; i ;j) du plan :

1-Tracer les droites (\Delta) ; (\Delta') d’équations respectives : (\Delta) : y=-2x ;
(\Delta') : y=-2x+2. Quelle est la position de (\Delta) par rapport à (\Delta') ?
2-Donner les coordonnées des vecteurs directeurs de (\Delta) et (\Delta').Que remarque-t-on ?

1-) On remarque que (\Delta) et (\Delta') sont parallèles

2-) \overrightarrow{u}\binom{1}{-2}= \overrightarrow{u}\binom{1}{-2}

c) Droites parallèles à l’axe des abscisses

Construire une droite (D’) passant par F(1 ;2) et parallèle à l’axe des abscisses. Que remarque-t-on ?

     Réponse

On remarque que tous les points situés sur la droite (D’) ont pour ordonnée 2 ; on dit que y=2 est une équation de la droite (D’)

Conclusion

Toute droite parallèle à l’axe des abscisses a une équation de la forme y=b ou « b »est l’ordonnées d’un point de cette droite.

NB : La pente de droite d’équation y=b est nulle 

d. Droites passant par l’origine du repère

• Toute droite passant par l’origine du repère et distincte de l’axe des ordonnées à une équation de la forme y=ax. \overrightarrow{u}\binom{1}{a} est un vecteur directeur de cette droite.
• Toute droite d’équation y=ax passe par l’origine du repère.

2. Droites perpendiculaires

 Propriété 

• Dans un repère orthonormé si le produit des pentes de deux droites est -1 alors ces droites sont perpendiculaires.
• Dans un repère orthonormé si deux droites, non parallèles aux axes, sont perpendiculaires alors le produit de leurs pentes est -1.

3. Droites parallèles

Propriété

Soit (D) ;y=mx+p et (D’) :y=m’x+p deux droites dans un repère orthonormé du plan.

• Si m=m’  alors les droites (D) et (D’) sont parallèles
• Si les droites (D) et (D’) sont parallèles alors m=m’