13. Droites-Equations de droites

L’élève doit être capable de :
– déterminer un vecteur directeur, le coefficient directeur d’une droite ;
– déterminer une équation d’une droite dont on connaît un point et un vecteur directeur, deux points, un point et son coefficient directeur ;
– calculer une des coordonnées d’un point d’une droite connaissant l’autre et une équation de la droite ;
– construire une droite dont on connaît une équation ;
– établir l’appartenance ou non d’un point de coordonnées connues à une droite d’équation connue ;
– justifier le parallélisme, l’orthogonalité de deux droites dont on connaît les vecteurs directeurs, les coefficients directeurs, les équations

I) Equation de droites

   1) Vecteurs directeurs  d’une  droite

Soit A un point quelconque du plan et soit \overrightarrow{u} un vecteur non nul.
Construire les points B ; C ;F et G tel que :
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{AF} = \frac{5}{2}\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{AC} = \frac{-1}{2}\overrightarrow{u}.

a) Que peut-on dire des points A ;B ;C ;F ;G ? justifier.
b) Soit M un point quelconque pour lequel il existe un réel k tel que : \overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{u}.

Que peut-on dire des points A ;B ;M ? justifier

       Figure

On remarque que les points A ; B ;C ;F et G sont sur la même droite (D).

-Si M est un point tel que \overrightarrow{AM} =k\overrightarrow{AB} alors A ; B et M sont  alignés. \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{AB} sont donc colinéaires et \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{u} sont aussi colinéaires.

Si M est un point de (D) alors il existe un réel k tel que \overrightarrow{AM} =k \overrightarrow{u} ; on dit que \overrightarrow{u} est un vecteur directeur de (D)

2) Définition

Etant donnés deux points A et B d’une droite (D) , on appelle vecteur directeur  tout vecteur \overrightarrow{u} non nul colinéaire à \overrightarrow{AB}.    

3) Conséquence

Etant donné un point A et un vecteur non nul \overrightarrow{u} , il existe une et une seule droite passant par A et ayant pour  vecteur directeur le vecteur \overrightarrow{u}

       Figure

A et B etant deux points distincts d’une seule droite (D). Le vecteur \overrightarrow{AB} est un vecteur directeur pour la droite (D).

  • Remarque :

Si \overrightarrow{u} est un vecteur directeur de la droite (D) tout vecteur non nul qui est colinéaire à \overrightarrow{u} est aussi un vecteur pour la droite (D).

  Figure

4) Equation cartésienne d’une droite

 Propriété 1

Le plan étant muni d’un repère (o ;i ;j) a et b deux réels non nuls ;c un réel quelconque.
L’ensemble des points M dont les coordonnées x et y vérifie ax+by+c=0 est appelée équation de la droite (D) dans le (o ;i ;j).

 Propriété2

Si (D) a pour équation y=mx+p alors \overrightarrow{u}\binom{1}{m} est un vecteur directeur de (D) et m est appelé le coefficient directeur de (D)
Si le repère est orthonormé alors m est appelé pente de la droite.
P est l’ordonnée du point d’abscisse 0 ;p est l’ordonnée à l’origine.

 5) Cas particuliers

a) Droites parallèles à l’axe des ordonnées

Construire une droite (D) passant par le point E(3 ;1) et parallèle à l’axe des ordonnées. Que remarque-t-on ?

   Figure

On remarque que tous les points situés sur (D) ont pour abscisses 3 ;on dit x=3 est une équation de la droite (D)

     b)  Conclusion

Toute droite parallèle a l’axe des ordonnées a une équation de la forme x=a ou « a » est l’abscisse d’un point de cette droite.

II) Droites parallèles-droites perpendiculaires

1) Droites parallèles

a) Rappels

Si deux droites sont parallèles alors leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Si deux droites ont  leurs vecteurs directeurs colinéaires alors elles sont parallèles.

  • Activité

Dans un repère (o ; i ;j) du plan :

1-Tracer les droites (\Delta) ; (\Delta') d’équations respectives : (\Delta) : y=-2x ;
(\Delta') : y=-2x+2. Quelle est la position de (\Delta) par rapport à (\Delta') ?
2-Donner les coordonnées des vecteurs directeurs de (\Delta) et (\Delta').Que remarque-t-on ?

1-) On remarque que (\Delta) et (\Delta') sont parallèles

2-) \overrightarrow{u}\binom{1}{-2}= \overrightarrow{u}\binom{1}{-2}

c) Droites parallèles à l’axe des abscisses

Construire une droite (D’) passant par F(1 ;2) et parallèle à l’axe des abscisses. Que remarque-t-on ?

     Réponse

On remarque que tous les points situés sur la droite (D’) ont pour ordonnée 2 ; on dit que y=2 est une équation de la droite (D’)

Conclusion

Toute droite parallèle à l’axe des abscisses a une équation de la forme y=b ou « b »est l’ordonnées d’un point de cette droite.

NB : La pente de droite d’équation y=b est nulle 

d) Droites passant par l’origine du repère

  • Toute droite passant par l’origine du repère et distincte de l’axe des ordonnées à une équation de la forme y=ax. \overrightarrow{u}\binom{1}{a} est un vecteur directeur de cette droite.
  • Toute droite d’équation y=ax passe par l’origine du repère.

2) Droites perpendiculaires

 Propriété 

  • Dans un repère orthonormé si le produit des pentes de deux droites est -1 alors ces droites sont perpendiculaires.
  • Dans un repère orthonormé si deux droites, non parallèles aux axes, sont perpendiculaires alors le produit de leurs pentes est -1.

3)Droites parallèles

Propriété

Soit (D) ;y=mx+p et (D’) :y=m’x+p deux droites dans un repère orthonormé du plan.

  • Si m=m’  alors les droites (D) et (D’) sont parallèles
  • Si les droites (D) et (D’) sont parallèles alors m=m’