Corrigés – Relations trigonométriques dans le triangle rectangle
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5
Exercice 6
Exercice 11
Montrons que H est milieu de [OI]
Calculons d’abord AB
ABC est un triangle inscrit dans un demi cercle de diamètre [BC] donc ABC est un triangle rectangle en A ; ainsi d’après le théorème de Pythagore,
Exercice 12
1)
2. a) On sait que le triangle ACB est un triangle rectangle et isocèle en B, donc \widehat{CBA} = 90° et \widehat{ACB} = \widehat{BAC}
La somme des angles du triangle ABC est égale à 180°,
Donc \widehat{ACB} = \widehat{BAC} = \frac{180-\widehat{CBA}}{2} =45°.L’angle \widehat{ACB} mesure 45°.
b) Les angles \widehat{ACB} et \widehat{DCE} sont opposés par le sommet.
Or, si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils sont de même mesure.
Donc \widehat{DCE} = \widehat{ACB} = 45°
3. Dans le triangle DEC rectangle en E, on a : sin\widehat{DCE} = \frac{DE}{DC}
sin45°=\frac{DE}{6}
Donc : DE =6sin45°
D’où :DE \approx 4,2cm (valeur approchée à 0,1 cm près).
4. DCE est un triangle rectangle en E.
Or, si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse.
Donc le centre du cercle circonscrit au triangle DCE est le milieu de l’hypoténuse [DC].
5. Le point M appartient au cercle (C) de diamètre [DC].
Or, si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle.
Donc le triangle DMC est rectangle en M, donc \widehat{DMC} = 90°
De même, le point M appartient au cercle (C) de diamètre [AC].
Donc le triangle AMC est rectangle en M, donc \widehat{AMC} = 90°
\widehat{DMC} et \widehat{AMC} sont deux angles adjacents, donc :
\widehat{DMA} = \widehat{DMC} + \widehat{CMA} = 90° + 90° = 180°
L’angle \widehat{DMA} est donc un angle plat, les points D, M et A sont alignés.
Exercice 13
Exercice 14
1)
2.a) \widehat{ABH} et \widehat{ABC}=180° sont supplémentaires donc \widehat{ABH} =180°-120° = 60°.
Dans le triangle ABH, rectangle en H,
3. a)
b) Les droites (AN) et (MH) sont sécantes en C, les droites (NM) et (AH) sont parallèles. Donc d’après le théorème de Thalès : \frac{CM}{CH} = \frac{NM}{AH} donc NM= \frac{CM \times AH}{CH} = \frac{3\sqrt{3}}{2}
c) Calculons l’aire du triangle CMN.
L’aire du trapèze AHMN est égale à l’aire du triangle ACH moins l’aire du triangle CMN soit .
AAHMN = \frac{39\sqrt{3}}{2} = \frac{ 39\sqrt{3}}{} = \frac{117\sqrt{3} }{8} Cm2