14. Relations trigonométriques dans le triangle rectangle

L’élève doit être capable de :  
– calculer le sinus, le cosinus, la tangente des angles aigus d’un triangle rectangle de dimensions données ;
– trouver dans une table trigonométrique le sinus, le cosinus, la tangente d’un angle aigu de mesure donnée ;
– trouver dans une table trigonométrique la mesure (ou son encadrement) d’un angle de sinus, de cosinus ou de tangente donné(e) ;
– utiliser le cosinus, le sinus, la tangente dans des résolutions de problèmes

I)Définitions

1)Cosinus d’un angle aigu

a)Activité

1) Soit deux demi-droites [ox) et [Oy) ; placer un point B sur [Ox) et construire son projeté orthogonal A sur [Oy)

a) \widehat{XOY} = 40° 
b) \widehat{XOY} = 60° 

2)Mesurer 0A et OB dans chaque cas et calculer le rapport de projection orthogonal de (OB) sur (OA). k= \frac{OA}{OB}

On remarque que le rapport   k=\frac{OA}{OB} dépend de l’angle \widehat{AOB}. Ce rapport est appelé cosinus de l’angle \widehat{AOB}.             

b) Définition

ABO est un triangle rectangle en A. On appelle cosinus de l’angle \widehat{AOB} le réel \frac{OA}{OB}
On note cos\widehat{AOB} = \frac{OA}{OB}  

2) sinus d’un angle aigu
(Calculer le rapport de (OB) sur (AB). k’= \frac{AB}{OB} dans l’activité précédente)

Définition
ABO est un triangle rectangle en A . On appelle sinus de l’angle \widehat{AOB} le réel \frac{AB}{OB}  
On note sin\widehat{AOB} = \frac{AB}{OB}

Remarque

3) Tangente d’un angle aigu

(Calculer le rapport de (OA) sur (AB) parallèlement à (OB). k’’=\frac{AB}{OA} dans l’activité précédente)

Définition

ABO est un triangle rectangle en A. On appelle tangente de l’angle \widehat{AOB} le réel \frac{AB}{OA} .
On note tan\widehat{AOB} = \frac{AB}{OA}

Alors tan\widehat{AOB} = \frac{Côté-opposé}{Côté-adjacent} = \frac{AB}{OB}  

Remarque

-Si \widehat{AOB} =0° alors AB=0 donc tan0°=0

II)Propriété

1)Relations entre sinus, cosinus et tangente d’un angle aigu

Pour tout angle aigu \widehat{A} on a :      

2) Valeurs remarquables

a) Angle de 45°

Soit ABC un triangle rectangle isocèle en A

1)Calculer BC
2)Calculer cos\widehat{B} ; sin\widehat{B}  ; tan\widehat{B}

 b)Valeur des angle de 30° et 60°

Soit ABC un triangle équilatéral de côté a et de hauteur h.

1)Calculer h
2)Calculer cos30° ; sin30° ; tan30°
3)Calculer cos 60° ;  sin 60°   ;  tan60°

Formules