14. Relations trigonométriques dans le triangle rectangle
L’élève doit être capable de : – calculer le sinus, le cosinus, la tangente des angles aigus d’un triangle rectangle de dimensions données ; – trouver dans une table trigonométrique le sinus, le cosinus, la tangente d’un angle aigu de mesure donnée ; – trouver dans une table trigonométrique la mesure (ou son encadrement) d’un angle de sinus, de cosinus ou de tangente donné(e) ; – utiliser le cosinus, le sinus, la tangente dans des résolutions de problèmes |
I)Définitions
1)Cosinus d’un angle aigu
a)Activité
1) Soit deux demi-droites [ox) et [Oy) ; placer un point B sur [Ox) et construire son projeté orthogonal A sur [Oy)
a) \widehat{XOY} = 40°
b) \widehat{XOY} = 60°
2)Mesurer 0A et OB dans chaque cas et calculer le rapport de projection orthogonal de (OB) sur (OA). k= \frac{OA}{OB}
On remarque que le rapport k=\frac{OA}{OB} dépend de l’angle \widehat{AOB}. Ce rapport est appelé cosinus de l’angle \widehat{AOB}.
b) Définition
ABO est un triangle rectangle en A. On appelle cosinus de l’angle \widehat{AOB} le réel \frac{OA}{OB}
On note cos\widehat{AOB} = \frac{OA}{OB}
2) sinus d’un angle aigu
(Calculer le rapport de (OB) sur (AB). k’= \frac{AB}{OB} dans l’activité précédente)
Définition
ABO est un triangle rectangle en A . On appelle sinus de l’angle \widehat{AOB} le réel \frac{AB}{OB}
On note sin\widehat{AOB} = \frac{AB}{OB}
Remarque
3) Tangente d’un angle aigu
(Calculer le rapport de (OA) sur (AB) parallèlement à (OB). k’’=\frac{AB}{OA} dans l’activité précédente)
Définition
ABO est un triangle rectangle en A. On appelle tangente de l’angle \widehat{AOB} le réel \frac{AB}{OA} .
On note tan\widehat{AOB} = \frac{AB}{OA}
Alors tan\widehat{AOB} = \frac{Côté-opposé}{Côté-adjacent} = \frac{AB}{OB}
Remarque
-Si \widehat{AOB} =0° alors AB=0 donc tan0°=0
II)Propriété
1)Relations entre sinus, cosinus et tangente d’un angle aigu
Pour tout angle aigu \widehat{A} on a :
2) Valeurs remarquables
a) Angle de 45°
Soit ABC un triangle rectangle isocèle en A
1)Calculer BC
2)Calculer cos\widehat{B} ; sin\widehat{B} ; tan\widehat{B}
b)Valeur des angle de 30° et 60°
Soit ABC un triangle équilatéral de côté a et de hauteur h.
1)Calculer h
2)Calculer cos30° ; sin30° ; tan30°
3)Calculer cos 60° ; sin 60° ; tan60°
Formules