14. Relations trigonométriques dans le triangle rectangle

L’élève doit être capable de :
– calculer le sinus, le cosinus, la tangente des angles aigus d’un triangle rectangle de dimensions données ;
– trouver dans une table trigonométrique le sinus, le cosinus, la tangente d’un angle aigu de mesure donnée ;
– trouver dans une table trigonométrique la mesure (ou son encadrement) d’un angle de sinus, de cosinus ou de tangente donné(e) ;
– utiliser le cosinus, le sinus, la tangente dans des résolutions de problèmes

I. Définitions

1. Cosinus d’un angle aigu

a. Activité

1) Soit deux demi-droites [ox) et [Oy) ; placer un point B sur [Ox) et construire son projeté orthogonal A sur [Oy)

a) $\widehat{XOY}$ = 40°
b) $\widehat{XOY}$ = 60°

2)Mesurer 0A et OB dans chaque cas et calculer le rapport de projection orthogonal de (OB) sur (OA). k= $\frac{OA}{OB}$

On remarque que le rapport k= $\frac{OA}{OB}$ dépend de l’angle $\widehat{AOB}$ . Ce rapport est appelé cosinus de l’angle $\widehat{AOB}$ .

b. Définition

ABO est un triangle rectangle en A. On appelle cosinus de l’angle $\widehat{AOB}$ le réel $\frac{OA}{OB}$
On note cos $\widehat{AOB}$ = $\frac{OA}{OB}$

2. sinus d’un angle aigu

(Calculer le rapport de (OB) sur (AB). k’= $\frac{AB}{OB}$ dans l’activité précédente)

Définition
ABO est un triangle rectangle en A . On appelle sinus de l’angle $\widehat{AOB}$ le réel $\frac{AB}{OB}$
On note sin $\widehat{AOB}$ = $\frac{AB}{OB}$

Remarque

3. Tangente d’un angle aigu

(Calculer le rapport de (OA) sur (AB) parallèlement à (OB). k’’= $\frac{AB}{OA}$ dans l’activité précédente)

Définition

ABO est un triangle rectangle en A. On appelle tangente de l’angle $\widehat{AOB}$ le réel $\frac{AB}{OA}$ .
On note tan $\widehat{AOB}$ = $\frac{AB}{OA}$