17. Applications linéaires-Applications affines

L’élève doit être capable de : – représenter graphiquement une application affine dans le plan muni d’un repère orthonormé ; – déterminer une application affine connaissant les images de deux nombres réels par cette application ; – reconnaître une application linéaire ; – reconnaître une application affine ; – reconnaître une application affine croissante, décroissante ou constante sur IR et utiliser cette propriété pour ranger des images de nombres réels par cette application ; – établir qu’une application donnée est une application affine par intervalles ; – représenter graphiquement une application affine par intervalles ; – utiliser les représentations graphiques pour résoudre des équations de la forme f(x) = m, f(x) = g(x) et des inéquations de la forme f(x) < m, f(x) > m, f(x)≤ m, f(x)≥m , où f et g désignent des applications affines, m étant un nombre réel donné ; – utiliser les propriétés des applications linéaires, affines ou affines par intervalles pour résoudre des problèmes pouvant être modélisés par au moins une de ces applications

I) Applications  linéaires

1) Définition

On appelle application linéaire de R vers R toute application f définie par

 Remarque :

• Une application linéaire de R vers R est un monôme de degré 1 et de coefficient « a »
• Le réel « a » est appelé coefficient de l’application linéaire

Exemple : f(x)=3x   ; g(x)= \frac{1}{3}x   ; h(x)=-7x   ; k(y)= 2y sont des applications linéaires de R vers R

2)Représentation graphique

a)Théorème

La représentation graphique de l’application linéaire    

est une droite d’équation y=ax qui passe par l’origine du repère et par le point de coordonnées (1 ;a). le vecteur \overrightarrow{u}\binom{1}{a} est un vecteur directeur de cette droite.

b) Répresentation

Soit à représenter f(x)=2x et g(x)=-\frac{1}{2}x  

3)Prorpiétés

a)Image de la somme de deux nombres réels

• Propriété 1

-Si f est une application linéaire de  vers   et x₁ et x₂ deux réels, alors f(x₁+ x₂) = f(x₁) + f(x₂)

b) Image du produit de deux réels

Activité

Soit g l’application linéaire définie de R vers R par g(x)=-3x. Calculer g(2 x 5)  et 2 x g(5) ; que remarque- t-on ?

Réponse

g(x)=-3x    ;  g(2 x 5)  = g(10)= -3 x 10= -30
2 x g(5)= 2 x (-3 x 5)= 2 x ( -15)= -30 ; on remarque que g(2 x 5) = 2 x g(5)

• Propriété2

Si f est une application linéaire de  vers  et x et k des réels , alors f(kx)= k.f(x)

c) Image de o par une application linéaire

• Propriété3

Pour toute application linéaire f, on a f(0)=0

II) Applications affines

1. Définition

On appelle application  affine de  vers  toute application f définie par :

2) Cas particuliers

-si a=0 alors f(x)=b ; on dit que f est une application constante
-si b=0 alors f(x)=ax ; alors dans ce cas f est une application linéaire

                  2) Exemple

f(x)= 2x+1 ;  g(x)=7x-4   ;  h(x)= x – 4  sont les applications affines

              3) Représentation graphique

• Théorème

La représentation graphique de l’application affine

 est une droite d’équation y=ax+b qui passe par le point M(0 ; b)

    Représentation

Soit à représenter f(x)=2x-1   

  (D) : y = 2x – 1

3) Sens de variation d’une application affine

Théorème

L’application affine définie par :

 est:
– Croissante si a > 0 c’est-à-dire pour tout réels x₁et x₂ ; si x₁ < x₂   alors f(x₁) < f(x₂)
– Décroissante si a < 0 c’est-à-dire pour tout réels x₁et x₂ ; si x₁ < x₂   alors f(x₁) > f(x₂)
– Constante si a=0 c’est-à-dire f(x)=b pour tout x

III) Applications affines par intervalles

1) Exemple 1

Soit f l’application de  vers  définie par f(x)= |2x+1|+|-x+3|

1. Ecrire f(x) sans le symbole de valeur absolue
2. Représenter f(x) sur chaque intervalle

Réponse

f(x)=|2x+1|+|-x+3|

• Pour x  ]-\infty ;- \frac{1}{2}] f(x)= -3x+2   ; f coïncide alors avec une application f₁(x)=-3x+2
• Pour x  [-\frac{1}{2}  ;3] f(x)= x+4   ; f coïncide alors avec une application f₂(x)=x+4
• Pour x [3 ;+\infty] f(x)= 3x-2   ; f coïncide alors avec une application f₃(x)=3x-2

f(x) coïncide dans chacun des trois intervalles avec une application affine ; on dit que f est une application affine par intervalles

Représentation graphique 

2) Exemple 2

Soit g l’application de R vers R définie par

Représentons dans un repère orthonormé la fonction g

Sur chaque intervalle l’application g est constante . La réunion de ces trois intervalles est l’ensemble R
Pour traduire le fait que l’application g est constante sur chacun des intervalles ; on dit que g est une fonction en escalier sur R.