18. Isométries du plan
| L’élève doit être capable de : – reconnaître une isométrie du plan ; – utiliser les propriétés des isométries pour justifier : un alignement de points, une égalité de distances, d’aires, de mesures d’angles, le parallélisme et l’orthogonalité de deux droites |
I)Définition
1)Activité
ABCD est un carré de centre O. I , J , K , L sont les milieux respectifs des côtés [AB] ; [BC] ; [CD] et [DA].
On note :
-t la translation de vecteur
-S la symétrie orthogonale d’axe (BD)
-S’ la symétrie orthogonale d’axe (IK)
-SO la symétrie centrale de centre O
a)Construire la figure et compléter tableau suivant
b) comparer la mesure du segment [AI] avec son image par chaque application. Que remarque t-on ?
c) Même question pour les triangles OAI et OAL
On remarque que [AO]=[OC]=[OC]=[OB] =[OC] ; [AI]=[OJ]=[CI]=[IB]=[KC] de même les triangles OAI ;OJC ; OJC ; IBO ; OKC ont même dimensions .
On dit que les applications t ; S ; S’ ; SO conservent les distances . Elles sont appelées des ISOMETRIES ( en grec : ISOS= égale et METRON= mesure)
Le triangle OCK est l’image du triangle OAI par l’isométrie SO ; on dit que les triangles OCK et OAI sont isométriques
2)Définition
On appelle isométrie toute application du plan qui conserve les distances.
Exemple : La symétrie centrale ; la symétrie orthogonale ; la translation
II)Propriété des isométries
1)Activité
Dans l’activité précédente :
a) A,I ,B sont trois points alignés. Que peut-on dire de leurs images par chacune des isométries t ; S ; S’ ; SO ?
b) I est le milieu du segment [AB].Que peut-on dire de l’image de I pour l’image du segment [AB] par chacune des isométries t ; S ; S’ ; SO ?
c) Les droites (AB) et (AD) sont perpendiculaires ; que peut-on dire de la position relative de leur image par chacune des isométries t ; S ; S’ ; SO .
d) Quelle est la mesure de l’angle \widehat{AOC} et de chacune de ses image par les isométries t ; S ; S’ ; SO
Réponse
a)Les images de A,I,B sont aussi alignés
b)L’image de I est aussi milieu de l’image de [AB]
c)Les imageS (AB) et (AD) sont aussi perpendiculaires
d)Les images de l’angle \widehat{AOC} ont la même mesure que l’angle \widehat{AOC}
2) Propriété
– Les images par une isométrie de trois ponts alignés sont trois points alignés.
– L’image par une isométrie du milieu d’un segment est le milieu des images des extrémités de ce segment.
– Les images par une isométrie de deux droites perpendiculaires sont deux droites perpendiculaires
– Les images par une isométrie de deux droites parallèles sont deux droites parallèles
– L’image par une isométrie d’un angle est un angle de même mesure.
– L’image par une isométrie d’une surface est une surface de même aire.