Exercices – Isométries du plan

Exercice n°1

Soit ABC un triangle rectangle en A. sur une même figure, construire les images du triangle ABC par :
La translation t_{\overrightarrow{AC}}
La translation t_{\overrightarrow{AB}}
La symétrie centrale S_A
Soit F l’image de B par t_{\overrightarrow{AB}} et l’image de C par t_{\overrightarrow{AC}}.
Construire l’image du triangle AEF par la symétrie centrale S_A.

Exercice n°2

On donne deux droites sécantes (\Delta₁) et (\Delta₂).
Soit A un point n’appartenant à aucune d’elles.
Construire un triangle ABC tel que ( \Delta₁) soit la médiatrice de [AB] et ( \Delta₂) la médiatrice de [BC].

Exercice n°3

Tracer un parallélogramme ABCD de centre O. placer un point M sur le segment [AB] et un point N sur le segment [DC] tels que : BM = DN.
Démontrer que les points M, O et N sont alignés.

Exercice n°4

Le plan P est rapporté à un repère orthonormé (O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}) on considère l’application g définie dans P par : à tout point M(x,y) on associe le point M’ (x’ ; y’) tel que :
x’ = x+3
y’ = y+4
1) Déterminer les coordonnées des points A’ et B’ images par g de A(2 ;3) et B(-1 ;-2).
Calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{AA’} et \overrightarrow{BB’}.
2) M étant un point quelconque et M’ son image par g ;
a) Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{MM’}.
b) En déduire la nature de l’application g.

Exercice n°5

Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O ; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AB}), on donne les points suivants : A (1 ;1) ; B (2 ;4) ; C (4 ;0).

1. Placer les points A, B, et C dans le repère.
2. Calculer les distances AB, AC et BC.
3. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en  A
4. Soit A’B’C’ l’image du triangle ABC dans la symétrie centrale de centre O. construire A’B’C’  puis calculer les coordonnées des points A’ ; B’ et C’ dans cette symétrie centrale.
5. Soit A₁B₁C₁ l’image de A’B’C’ dans la translation du vecteur \overrightarrow{u} avec \overrightarrow{u}  =\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}3
   Construire A₁B₁C₁

Exercice 6

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}) On considère l’isométrie f par laquelle le point M (x ; y) a pour image M’(x’ ; y’) tel que x’=x+3 et y’=y–5
1) Trouver les coordonnées des points A’ et B’ tels que f(A) = A’ et f(B) = B’ avec A (2 ; 3) et B (0 ; 5).
2) Les droites (D) et (D’) ont pour équations respectives  + y -5 = 0 et  + y -3 = 0
a) Vérifier que les points A et B appartiennent à la droite (D) et que les points A’ et B’ appartiennent  à la droite (D’)
b) Tracer les droites (D) et (D’) dans le repère.
c) Démontrer que quelque soit le point M (; y) avec f(M) = M’ ; le vecteur \overrightarrow{MM’} est égal au vecteur \overrightarrow{v}(3 ; -5).
Quelle est la nature de l’isométrie f ?
En déduire que l’image de la droite (D) par f est la droite (D’).

Exercice n°7

ABC est un triangle rectangle en C. 
Soit (C) le cercle de centre O circonscrit au triangle ABC.
1) Construire l’image (C_1) du cercle (C) par l’isométrie S_BoS_A.
2) Soit (D) la tangente au cercle (C) en A et (\Delta) la tangente au cercle (C) en C.
(D) et (\Delta) se coupent en I
a- construire l’image (C’) du cercle (C) par S_I
Placer les points A’ ; B’, C’ et O’ les images respectives des points A, B, C et O par l’isométrie S_I
b – Démontrer que les droites (BC) et (B’C) sont parallèles.
      NB : S_B est la symétrie de centre B
               S_A est la symétrie de centre A
               S_I est la symétrie de centre I