Corrigés – Solides
Exercice 1
a) On sait que le volume de la pyramide est de 108 cm³, donc :
L’aire de ABCD est de 36 cm².
b) L’aire du carré ABCD est donné par : AB².
Donc : AB² = 36, soit AB = 6 cm
c) Déterminons AC : dans le triangle ABC rectangle en B, on applique le théorème de Pythagore :
AC2=AB2+BC2 donc AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=6\sqrt{2}
Périmètre du triangle ABC : AB+BC+AC =6+6+6\sqrt{2}
=12+6\sqrt{2}
Le périmètre du triangle ABC est égal à 12+6\sqrt{2}cm.
Exercice 3
Exercice 4
1.
Le volume du pavé droit est de 24 000 cm³.
2. b) 1 L = 1 000 cm³, donc 24 000 cm³ = 24 L.
L’aquarium peut contenir 24 litres.
3. Le volume d’une boule de diamètre 30 cm (donc de rayon 15 cm) est donnée par :
4. Les \frac{3}{4} du volume d’une boule de diamètre 30 cm correspondent à :.
On verse son contenu dans le premier aquarium. On cherche à quelle hauteur h l’eau monte :
L’eau monte à environ 13,3 cm (valeur approchée au mm).
Exercice 5
1) La construction demandée est celle d’un cercle de rayon HM.
2) Le calcul du rayon étant demandé dans la question suivante, on se contentera ici de reporter la longueur HM sur le dessin de la question 1.
3) On sait que dans le triangle OHM rectangle en O, ainsi ,
4. Le volume total du cylindre est
soit 44 cm3.
Si l’on remplit le cylindre au quart, le volume est alors soit environ 0,7 cm3.
Le pourcentage du volume total du cylindre occupé par l’eau est donc
Exercice 6
1. I est le milieu de [AB] donc AI=6cm, K est le milieu de [AD] donc AK=6cm.
2. J est le milieu de [AE] donc AJ=6cm.
3. Le cube a un volume de AB3=123=1728cm3.
Le volume de la pyramide représente \frac{36}{1728}=\frac{1}{48} du volume du cube.
4. Patron de la pyramide AIKJ :
Exercice 7
1. Calculons OH2 :
H est le centre du carré KEOP, donc OHE est rectangle en H. D’après le théorème de Pythagore, on a :
OE2=OH2+HE2=2OH2 donc OH2 = \frac{OH^2}{2} = 26450
Calculons HI :
OIH est un triangle rectangle en I donc d’après le théorème de Pythagore, on a :
OH2 = HI2 +OI2 signifie que
HI2 = OH2 – OI2 = 26450-(\frac{230}{2})^2=13225 donc HI =115
2. a) On sait que (SH)⊥(MH) et (AB)⊥(MH)
Or si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors ces deux droites sont parallèles entre elles.
Donc (SH)//(AB).
b) Les droites (BS) et (AH) sont sécantes en M. Les droites (SH) et (AB) sont parallèles.
D’après le théorème de Thalès, on a :
\frac{MB}{MS} = \frac{MA}{MH} = \frac{BA}{SH}
2. c) De l’égalité: = on déduit SH=\frac{MH \times BA}{MA}=137,5cm
3. V=\frac{OE^2 \times SH}{3}=2424583cm3
Exercice 8
1)Le volume du cube ABCDEFGH est : soit 216 cm3.
2. Le volume de la pyramide SEFGH est :V(SEFGH)=\frac{1}{3} \times h \times B
où h est la hauteur de la pyramide d’où V(SEFGH)=\frac{1}{3} \times 3 \times 6^2 = 36 soit 36 cm3.
3. Le volume de la boule est par définition :
Vboule =\frac{4}{3} \times \pi \times r^3 où r est le rayon de la boule donc Vboule=113,09 cm3
soit environ 113 cm3 (arrondi à l’unité près).
4. Le volume occupé par les trois solides à l’intérieur du pavé ABCDIJKL est : V(ABCDEFGH)+V(SEFGH)+Vboule=216+36+113
5.Le volume total du pavé ABCDIJKL est :
Vtot=ABxBCxAI=6×615=540
=540 cm3
Ainsi, le volume restant inoccupé dans le pavé est Vtot-Vsol=(540-365)=175cm3
Enfin, comme 1 dm3 = 1 L, on a 1 cm3 = 10-3 dm3 = 10-3 L = 0,1 cl.
Autrement dit, 175 cm3 = 17,5 cl, où 17,5 < 20 : donc on ne peut pas verser 20 cl d’eau dans le récipient sans que celle-ci ne déborde.
Exercice 9
1)Montrons que IJ = 3 :
Les droites (IE) et (JF) sont sécantes en A, les droites (IJ) et (EF) sont parallèles.
D’après le théorème de Thalès, on a : \frac{AI}{AE} = \frac{AJ}{AF} = \frac{IJ}{EF}
Donc : \frac{2}{6} = \frac{AJ}{AF} = \frac{IJ}{9}
on en déduit que : IJ=\frac{2 \times 9}{6}=3
Donc : le segment [IJ] mesure 3 cm.
2. Calculons AJ :
Dans le triangle AIJ rectangle en I, on applique le théorème de Pythagore :
AJ² = AI² + IJ²
Donc : AJ² = 2² + 3² = 4 + 9 = 13
Donc : AJ = \sqrt{13}cm
Donc : AJ \approx 3,6 cm (arrondi au dixième).
