20. Solides

L’élève doit être capable de :
– Reconnaître dans les solides, des configurations étudiées en géométrie plane ;
– Utiliser dans ces configurations les outils connus, en particulier les théorèmes de Pythagore et de Thalès ainsi que leurs réciproques, pour calculer des distances, justifier le parallélisme ou l’orthogonalité de

I) Rappels

1) Cône de révolution

Un cône de révolution est un solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour de l’un des côtés de l’angle droit.

2)La pyramide

Les pyramides sont des solides ayant :

  • Des faces latérales qui sont des triangles
  • Une base polygonale (triangle ; carré ; …..)

Une pyramide régulière  est une pyramide dont la base est un polygone régulier (figure ayant les côtés égaux et inscriptible dans un cercle).
Dans une pyramide régulière la hauteur passe par le centre du cercle circonscrit.

II) Application du théorème de Pythagore

Considérons la pyramide régulière (Base triangle équilatéral de côté 8 cm)
1) En utilisant la trigonométrie dans le triangle GIH rectangle en I ; exprimer cos\widehat{IGH}  en fonction de GI et GH
2) (GJ) est la bissectrice de l’angle \widehat{IGE}. En dédiure la mesure de \widehat{IGH}.
3) Sachant que cos 30° =\frac{\sqrt{3}}{2} déduire que GH = \frac{8\sqrt{3}}{3}              
4) En utilisant le triangle TGH rectangle en H ; montrer que TH = \frac{2\sqrt{33}}{2}

Réponse

1) IG=\frac{8}{2} = 4 ;  exprimons  cos\widehat{IGH} en fonction de IG et de HG :   cos\widehat{IGH} = \frac{IG}{HG}.  
2) Déduisons la mesure de l’angle \widehat{IGH} : \widehat{IGH} = \frac{\widehat{IGE}}{2} = \frac{60°}{2} =30°
3) Déduisons que GH= \frac{8\sqrt{3}}{2}    
cos\widehat{IGH} = \frac{IG}{HG} \rightarrow   HG= \frac{IG}{cos\widehat{IGH}} = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{2} alors GH= \frac{8\sqrt{3}}{2}
4) Montrons que TH= \frac{2\sqrt{33}}{3}
TGH est un triangle rectangle en H alors :
GH2+ HT2 = TS2
HT2= TS2– GH2
=62– (\frac{2\sqrt{33}}{3})2 = 36 – \frac{192}{9} = \frac{324-192}{9} = \frac{132}{9} donc TH= \frac{2\sqrt{33}}{3}

III)Application du théorème de Thalès

On considère le cône de rayon r=9cm de hauteur SH=6cm de sommet S.
Soit H’ un point de [SH] tel que HH’ = \frac{1}{3} SH et A’ un point de [AS] tel que (AH) //(A’H’)
Calculer SH’ et A’H’

Réponse

SH’A’ et SHA forment une configuration de Thalès  alors \frac{SA'}{SA} = \frac{SH'}{SH} = \frac{A'H'}{AH}

Calculons SH’ : SH’= SH – H’H  =  6 – 2= 4

Calculons A’H’ : \frac{A'H'}{AH} = \frac{SH'}{SH} ;    A’H’= \frac{SH'}{SH} x AH ;    A’H’= \frac{4}{6} X 9 = 6 alors A’H’=6