Exercices – Solides
Exercice 1
Une pyramide régulière de sommet S a pour base le carré ABCD telle que son volume V est égal à 108 cm3.
Sa hauteur [SH] mesure 9 cm.
a) Vérifier que l’aire de ABCD est bien 36 cm2.
b) En déduire la valeur de AB.
c) Montrer que le périmètre du triangle ABC est égal à 12+6\sqrt{2} cm.
Exercice 3
On considère un cône de révolution de hauteur 5 cm et dont la base a pour rayon 2 cm. Le point A est le sommet du cône et O le centre de sa base. B est le milieu de [AO].
1. Calculer le volume du cône en cm3. On arrondira à l’unité.
2. On effectue la section du cône par le plan parallèle à la base qui passe par B. On obtient ainsi un petit cône. Est-il vrai que le volume du petit cône obtenu est égal à la moitié du volume du cône initial ?
Exercice 4
1. Dessiner un pavé droit en perspective cavalière.
2. Un aquarium a la forme d’un pavé droit de longueur 40 cm, de largeur 20 cm et de hauteur 30 cm.
a) Calculer le volume, en cm3, de ce pavé droit.
b) On rappelle qu’un litre correspond à 1 000 cm3. Combien de litres d’eau cet aquarium peut-il contenir ?
Aucune justification n’est demandée.
3. Parmi les formules suivantes, recopier celle qui donne le volume, en cm3, d’une boule de diamètre 30 cm : \frac{4}{3} \timesπ\times303 ; 4π\times152 ; \frac{4}{3} \timesπ\times153
4. Un second aquarium contient un volume d’eau égal aux trois quarts du volume d’une boule de diamètre 30 cm.
On verse son contenu dans le premier aquarium. À quelle hauteur l’eau monte-t-elle ? Donner une valeur approchée au millimètre.
Exercice 5
La figure ci-dessus représente un cône de révolution d’axe (OH).
> OH = 5 cm
> l’angle \widehat{HOM} mesure 30°.
1. Dessiner le triangle HOM en vraie grandeur.
2. Dessiner la base du cône en vraie grandeur.
3. Calculer la longueur HM. Donner le résultat arrondi au mm.
4. On verse de l’eau dans le cône jusqu’au quart de sa hauteur. Quel pourcentage du volume total du cône est occupé par l’eau?
Exercice 6
ABCDEFGH est un cube d’arête AB = 12 cm.
I est le milieu du segment [AB] ;
J est le milieu du segment [AE] ;
K est le milieu du segment [AD]·
1. Calculer l’aire du triangle AIK.
2. Calculer le volume de la pyramide AIKJ de base AKI.
3. Quelle fraction du volume du cube représente
le volume de la pyramide AIKJ ? Écrire le résultat sous forme d’une fraction de numérateur 1.
4. Tracer le patron de la pyramide AIKJ.
Exercice 7
KEOP est un carré de centre H et de côté 230 m. [SH] est la hauteur de cette pyramide.
1. Soit I le milieu de [OE]. Calculer HI.
2. On se place à l’extérieur de la pyramide et on plante verticalement un bâton représenté par le segment [AB] de 2 m de façon à ce que les points M, B, S et M, A, H soient alignés.
On sait que MA = 2,4 m et MH = 165 m
a) Justifier que (HS) et (AB) sont parallèles.
b) Écrire l’égalité des rapports provenant de la propriété de Thalès dans le triangle MHS.
c) En déduire que la hauteur SH de la pyramide mesure 137,5 m.
3. Calculer le volume de cette pyramide. Arrondir le résultat au m3.
Exercice 8
On considère les trois solides suivants :
> la boule de centre O et de rayon SO tel que SO = 3 cm
> la pyramide SEFGH de hauteur 3 cm dont la base est le carré EFGH de côté 6 cm
> le cube ABCDEFGH d’arête 6 cm.
Ces trois solides sont placés dans un récipient.
Ce récipient est représenté par le pavé droit ABCDIJKl de hauteur 15 cm dont la base est le carré ABCD de côté 6 cm.
1. Calculer le volume du cube ABCDEFGH en cm3.
2. Calculer le volume de la pyramide SEFGH en cm3.
3. Calculer le volume de la boule en cm3.(on arrondira à l’unité près)
4. En déduire le volume occupé par les trois solides à l’intérieur du pavé ABCDIJKl en cm3.
5. Pourra t-on verser dans ce récipient 20 cl d’eau sans qu’elle ne déborde ?
Schéma :
Exercice 9
L’unité est le centimètre.
ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle.
Dans ce parallélépipède, on a construit le prisme droit AIJDLK dont une base est le triangle AIJ rectangle en I.
On donne : EF = 9 ; AD = 7 ; AE = 6 ; AI = 2.
Les droites (EF) et (IJ) sont parallèles.
(La figure n’est pas en vraie grandeur).
1. Montrer que IJ = 3.
2. Calculer AJ en justifiant et arrondir au dixième.