Exercice – Coordonnées d’un vecteur

3 ème Mathématiques 3. Coordonnées d’un vecteur Exercice – Coordonnées d’un vecteur

Exercice 1

Soit \overrightarrow{AB}\binom{x-5}{1} et \overrightarrow{AB}\binom{-3}{y-5} deux vecteurs dans un repère (O ; I ; J).
Déterminer x et y pour que \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{EF} soient égaux.

Exercice 2

1) Soit \overrightarrow{MN}\binom{a-5}{3} et \overrightarrow{KH}\binom{a+7}{-3} deux vecteurs dans un repère (O ;I ;J).
Déterminer a pour que \overrightarrow{MN} et \overrightarrow{KH} soient colinéaires.
2) Soit \overrightarrow{QT}\binom{4}{5} et \overrightarrow{KH}\binom{m-3}{m-2} deux vecteurs dans un repère (O ;I ;J).
Déterminer m pour que \overrightarrow{QT} et \overrightarrow{KH} soient orthogonaux.

Exercice 3

1) On donne A (-1 ; -4) ; B (1 ; -1) et C (3 ; 2). Démontrer que \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont colinéaires. Qu’en déduit-on pour A ; B et C ?
2) Dans le plan muni d’un repère (O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}) on donne : \overrightarrow{AB} = 4\overrightarrow{i} – 3\overrightarrow{j} et \overrightarrow{CD}\binom{-1}{\frac{3}{4}}. Sans faire de figure démontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 
3) Dans le plan muni d’un repère (O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}), on donne : A (-1 ;3) B(7 ; -6)  C(x ;y) et D(-3 ;4).
a) Déterminer les coordonnées de \overrightarrow{AB} et de 2\overrightarrow{AB}.
b) Déterminer les coordonnées (x ; y) de D pour que \overrightarrow{CD} = 2\overrightarrow{AB}

Exercice 4

Soit (O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}) un repère du plan placer les points A (2 ; 3) ; B (-4 ; 2) et C (0 ; 5)
a) Calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.
b) Exprimer les vecteurs \overrightarrow{BC} et \overrightarrow{OC} en fonction de \overrightarrow{i} et \overrightarrow{j}
c)Calcule les coordonnées de M et N milieux respectifs de [AB] et [AC]
d)Calculer les coordonnées de D pour que ABCD soit un parallélogramme.

Exercice 5

Dans un repère (O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}), on considère les points
A(2 ; -5)    ;   B(-2 ; -2)   ;   D(7 ; 1)

1) Placer les points A ; B et D dans le repère (O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j})
2 – a) Calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AD} et \overrightarrow{BD}
      b) Exprimer ces vecteurs sous forme de combinaisons linéaires de \overrightarrow{i} et \overrightarrow{j}
3 – a) Construire le point C image de B par la translation de vecteur \overrightarrow{AD}.
Calculer les coordonnées de C.
b) En déduire la nature du quadrilatère ABCD.
4 – a) Calculer les coordonnées de M milieu de [AB] ; placer M.
b) Construire le point E symétrique de D par rapport au point M ; calculer les coordonnées de E.
c) Quelle est la nature du quadrilatère ADBE ?
d) Démontrer que B est le milieu de [EC]. Faire la figure.

Exercice n° 6

Dans un repère (O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}) on donne les points A (3,5) ; B(2,-7) ; C(-4, -2).
a) Déterminer les composantes des vecteurs \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{AC}.
b) Déterminer les coordonnées des milieux respectifs M, N, et P des segments [AB], [BC], [CA].

Exercice n° 7

Dans un repère (O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}), on donne les points A(-1, 2) ; B(3, 5) ; C (-\frac{7}{2}; –\frac{3}{2}) et D (\frac{1}{2}; \frac{3}{2})
a) Démontrer que ABDC est un parallélogramme.
b) Déterminer les coordonnées du milieu de [AD].

Exercice n° 8

Dans un repère (O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}), on donne les points A (-\frac{5}{2}; –3) et B (\frac{3}{2}; 5) et C(-5; -1).
a) Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
b) Déterminer les coordonnées de E tel que ABEC soit un parallélogramme.
c) Faire une figure. Démontrer que C est le milieu de [DE].

Exercice n° 9

Dans un repère (O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}), on donne les points A (2; -3), B (-1; -1) etC (\frac{1}{5}; \frac{-9}{5}).
Démontrer que A, B, C sont alignés.

Exercice n° 10

Dans un repère (O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}), on donne les points A (-2 ; 3) ; B (0 ; 4)
Déterminer les coordonnées du point C tel que B soit le milieu de [AC].

Exercice n° 11

Dans un repère (O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}), on donne les points A (-3 ; 2) et B (\frac{3}{2}; -3).
On considère la symétrie So de centre O. sachant que
A’ = So (A) et B’ = So (B).
a) Calculer les coordonnées de A’ et B’, faire une figure.
b) Quelle est la nature du quadrilatère ABA’B’ ? Justifier.

Exercice n° 12

Dans un repère (O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}), on donne les points A (5 ; 2) ; B (-1 ; 7).
On considère la translation t\overrightarrow{u} de vecteur \overrightarrow{u}\binom{-4}{3}.
Sachant que A’ = t\overrightarrow{u}(A) et B’ = t\overrightarrow{u}(B), Calculer les coordonnées de A’ et B’. Faire une figure.

Exercice n° 13

Dans un plan muni d’un repère orthogonal (O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}), on donne les points A, B et C tels que : \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} – \overrightarrow{j} ; \overrightarrow{OB} = 3\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{OC} = 7\overrightarrow{i}.

  1. Placer les points A, B, et C dans le repère (on complètera la figure au fur et à mesure).
  2. Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
  3. Soit M le milieu de [BD], calculer les coordonnées de M.
  4. Soit E (\frac{1}{2} ; y), déterminer y pour que les points B, C et E soient  alignés.
  5. F est l’image de D dans la translation de vecteur \overrightarrow{AC}. Calculer les coordonnées de F.

Exercice n° 14

Dans un repère (O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}), placer les points suivants :
A (-1 ; 1), B (3 ;3), C (2 ;0) et D (-2 ; -2).

  1. Montrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme et calculer les coordonnées de son centre I.
  2. Calculer les coordonnées du point M tel que B soit le milieu de [MC].
  3. Soit N (x ; 0). Déterminer x pour que les points A, M et N soient alignés.
  4. Soit K (4 ; \frac{9}{4}), montrer que les droites (AB) et (IK) sont parallèles.

Exercice n° 15

a et b sont deux nombres réels. A, B, C, D, E et F des points du plan.
Dans le plan muni d’un repère, on considère les vecteurs suivants : \overrightarrow{AB}\binom{a+3}{7} ; \overrightarrow{CD}\binom{7}{5-b} ; \overrightarrow{EF}\binom{6-2a}{11}

  1. Déterminer les réels a et b pour que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} soient égaux.
  2. Déterminer le réel a pour que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{EF} soient colinéaires.

Exercice n° 16

Dans un plan muni d’un repère (O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}), on considère les points suivants : A (-1 ; 3) ; B (7 ; -6) ; C (x ; y) ; D (-3 ; -4).

  1. Déterminer les réels x et y pour que \overrightarrow{CD} = 2\overrightarrow{AB}
  2. Déterminer les coordonnées du point M tel que : \overrightarrow{AM} = –\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}.