3. Coordonnées d’un vecteur

L’élève doit être capable de : – calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} connaissant les coordonnées des points A et B ; – calculer les coordonnées d’un des points A ou B connaissant  les coordonnées d’un des points et celles du vecteur \overrightarrow{AB} ; – déterminer les coordonnées du vecteur somme de deux vecteurs , du vecteur k\overrightarrow{u} ; – établir que deux vecteurs donnés par leurs coordonnées sont  colinéaires ou non ; – caractériser analytiquement la colinéarité de deux vecteurs ; – utiliser la caractérisation analytique de la colinéarité de deux  vecteurs dans des résolutions de problèmes

I)Coordonnées d’un vecteur du plan

1)Repère du plan

Soient (D) et (D’) deux droites graduées sécantes en leur origine O.

(O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j} ) définit un repère  cartésien du plan.

Remarque :

• On dit que le repère est normé si OI = OJ =1
• On dit que le repère est orthonormé si OI=OJ =1 et que les axes sont   orthogonaux      

2) Coordonnées d’un vecteur d’ origine O

 Définition

Le plan étant muni d’un repère cartésien  (O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j} )  soit M le point de coordonnées (x ; y).

On a alors \overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} et on dit que x et y sont les coordonnées \overrightarrow{OM} de dans le repère cartésien  (O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j} ). on note \overrightarrow{OM} \dbinom{x}{y}.

Remarque : Si O et M sont confondus alors \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{MM} = \overrightarrow{OO} = \overrightarrow{0} de coordonnées \dbinom{0}{0}

2) Coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB}

3) Condition d’égalité de deux vecteurs

II) Coordonnées et opérations sur les vecteurs

1) Coordonnées de la somme de deux vecteurs

2) Coordonnées du produit d’un vecteur par un réel

Cas général

Le plan est rapporté a un repère cartésien  (O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j} ) . Soit  un vecteur tel que \overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} et soit k un réel. k\overrightarrow{u} = k(x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}) = kx\overrightarrow{i}+ky\overrightarrow{j}.

Alors si on a \overrightarrow{u} \dbinom{x}{y} ; le vecteur k\overrightarrow{u} a pour coordonnées \dbinom{kx}{ky}

III)Condition de colinéarité de deux vecteurs

1)Propriété

Etant donné \overrightarrow{u} \dbinom{x}{y} et \overrightarrow{v} \dbinom{x'}{y'}

Si \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires alors xy’ +yx’=0

Si xy’ +yx’=0 alors \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires.

• Remarque

• Soit, dans le plan muni d’un repère orthogonal, les points A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B).
  Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées (x_I ; y_I) où :

• Soit, dans le plan muni d’un repère orthogonal, les points A’(x_A’ ; y_A’) symétrique de  A(x_A ; y_A) par rapport à I(x_I ; y_I).
  Dans ce cas le point I est milieu  du segment [AA’].On note A’=S_I(A)

-M’ est l’image de M par la translation du vecteur \overrightarrow{u} se note M' = t\overrightarrow{u}(M) <—> \overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{u}

Exercice d’application

Dans le plan muni d’un repère orthonormé ( O, \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} ) on donne : A(-4 ; O)  B(2 ; 3) ; C(5 ;-1) 

1. Soit I milieu de [AB]. Calculer les coordonnées de I
2. Soit H le symétrique de B par rapport à C. calculer les coordonnées de H.
3. Soit P l’image de A par la translation de vecteur \overrightarrow{BC}. Calculer les coordonnées de P