Exercice 1

Le triangle ABC est tel que AB = 5 ; AC= 5\sqrt{2} ; et BC = 5\sqrt{3} (les longueurs sont en cm)
Le triangle ABC est-il  rectangle ? Si oui préciser en  quel point.

Exercice 2

Soient deux triangle ABB’ et ACC’ rectangles respectivement en B’ et C’. On a BB’ = 3 cm ; AB’ = 4 cm, B’C’ = x + 3,  BC = 2x
1) Calculer AB.
2) En utilisant la projection orthogonale de (AC) sur (AC’) calculer x.
3) Calculer AC, AC’, CC

Exercice 3

On considère un triangle ABC rectangle en A, de hauteur [AH].
Calculer la mesure de la hauteur de ce triangle dans chacun des cas suivants :

Exercice 4

IJK est un triangle rectangle en I. H est pied de la hauteur issue de I. On donne JH = 6,4 et JK = 10

1. Construire le triangle IJK
2. Calculer  IJ ; IK et IH

Exercice 5

ABC est un triangle rectangle en B.H est le pied de la hauteur issue de B.
On donne AB = 3 cm et AC = 6 cm

1. Construire le triangle ABC.
2. Calculer BC, BH, AH, et CH.

Exercice 6

On donne un segment [BC] tel que BC = 8
Soit (\Delta) la médiatrice de [BC] ; H le milieu de [BC] et A un point de (\Delta) tel que AB = 2BH.

1. Quel est la nature du triangle ABC ?
2. Calculer AH

Exercice 7

Construire un segment [BC] dont la mesure est \sqrt{2} (l’unité est le dm). Soit (\Delta) la médiatrice de [BC] et I le point d’intersection de (\Delta) avec (BC).
On considère le point A de (\Delta) tel que BC = 2AI.

1. Montrer que ABC est un triangle isocèle et  rectangle en A
2. On désigne par A’ et C’ les images respectives de A et C par la symétrie de centre B. calculer A’C’.

Exercice 8

On considère un triangle ABC rectangle en A et H le projeté orthogonal de A sur (BC).
Démontrer que AH^2 = \frac{AB^2 X AC^2}{BC^2}
En déduire que \frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2} .

Exercice 9

Soit un triangle ABC isocèle en A tel que AB = 10 et BC = 12 ;
[AA’], [BB’] et [CC’] sont les trois hauteurs de ce triangle.
a) Calculer AA’
b) Démonter  que BB’ = CC’.
c) On considère le cercle de diamètre [AA’] qui recoupe (AB) en M et (AC) en H.
Calculer BM e A’H.
Démontrer que CC’ = 2A’H

Exercice 10

Soit un entier naturel n supérieur à 1
Un triangle ABC est tel que :
AB = 2n ; AC = n² + 1 ; et BC = n² -1
1) Démontrer que le triangle ABC est rectangle pour :
a) n= 2 ;
b) n = 3 ;
c) n = 4 ;
d) n = 5
Préciser chaque fois le point en lequel le triangle est rectangle.
2) Démontrer que le triangle ABC est rectangle pour tout nombre n supérieure à 1.

Exercice 11

1) Construire un triangle ABC tel que AB = 6 cm ; AC = 8 cm et BC = 10 cm.
2. Démontrer que ce triangle est rectangle en A.
3. On appelle O le centre du cercle circonscrit de ce triangle.
    a) Où se trouve le point O ? Justifier votre réponse.
    b) En déduire le rayon de ce cercle.
4. Construire le point D pour que le quadrilatère ABDC soit un rectangle.
Le point D appartient-il au cercle circonscrit du triangle ABC ? Justifier.