8. Théorème de Pythagore
L’élève doit: – connaître les relations métriques dans le triangle rectangle; – connaître le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle – connaître la réciproque du théorème de Pythagore dans le triangle rectangle L’élève doit être capable de : -utiliser les relations métriques dans le triangle rectangle pour calculer des distances -utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle pour calculer des distances -utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour montrer qu’un triangle est rectangle ; |
I)Relations métriques dans un triangle rectangle
Première relation métrique dans le triangle rectangle
- THEOREME
Etant donné un triangle ABC de hauteur [AH] , si ABC est rectangle en A alors
BA2= BH x BC
Remarque : En utilisant le même triangle et en exprimant le rapport de projection de (CA) sur (CB) , de (CB) sur (CA) et sachant les rapports k et k’ sont égaux on aura : k=\frac{CH}{CA} et k’=\frac{CA}{CB}
\frac{CH}{CA} = \frac{CA}{CB} \iff CA2=CH x CB
II) Théorème de Pythagore et sa réciproque
1)Théorème de Pythagore
Théorème de Pythagore
Dans un triangle le carré de l’hypoténuse est égale à la somme des carrés des côtes perpendiculaires.
Alors si ABC est un triangle rectangle en A ;
on a : BC2 = AB2 + AC2
2)Réciproque du théorème de Pythagore
Si dans un triangle on a BC2 = AB2+AC2 alors ABC est un triangle rectangle en A
III) Autres relations métriques dans le triangle rectangle
Relatons Métriques
- Théorème :
Etant donné un triangle ABC de hauteur [AH], si ABC est rectangle en A alors :
AC x AB = BC x AH
AH2=HB x HC
IV)Application du théorème de Pythagore
1) Carré
ABCD est un carré de côté a . Déterminer la mesure de la diagonale d.
Considérons le triangle ABC rectangle en B
AC2= AB2 +BC2 ; d2 = a2+ a2 ; d2= 2 a2 ; d= \sqrt{2a^2} ; d= a\sqrt{2}
2)Triangle équilatéral
ABC est un triangle équilatéral de côté a . Déterminer la mesure de la hauteur h
Considérons le triangle ACH
AC2= AH2 + CH2 ; a2 = (\frac{a}{2})2 + h2 ; h2= a2 – \frac{3a^2}{4} ; h2 = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} ; h = ; h= a\frac{\sqrt{3}}{2}
4)Distance d’un point à une droite
a)Activité
Soit une droite (D) et M un point n’appartenant pas à (D) ; H est le projeté orthogonal de M sur (D).
Placer les points A ; B et C sur (D) et déterminer la plus petite distance de M à (D)
La distance MH est la plus courte distance de M à (D)
b) Définition
La distance d’un point M à une droite (D) est la plus courte des distances du point à la droite (D)
C) Propriété
La distance d’un point M à une droite (D) est la distance de ce point à son projeté orthogonal H sur (D).