8. Théorème de Pythagore

L’élève doit: – connaître les relations métriques dans le triangle rectangle;
– connaître le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle
– connaître la réciproque du théorème de Pythagore dans le triangle rectangle
L’élève doit être capable de :
-utiliser les relations métriques dans le triangle rectangle pour calculer des distances
-utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle pour calculer des distances
-utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour montrer qu’un triangle est rectangle ;

I)Relations métriques dans un triangle rectangle

Première relation métrique dans le triangle rectangle

  • THEOREME

Etant donné un triangle ABC de hauteur [AH] , si ABC est rectangle en A alors
BA2= BH x BC

Remarque : En utilisant le même triangle et en exprimant le rapport de projection de (CA) sur (CB) , de (CB) sur (CA) et sachant les rapports k et k’ sont égaux on aura : k=\frac{CH}{CA} et k’=\frac{CA}{CB}  

\frac{CH}{CA} = \frac{CA}{CB} \iff CA2=CH x CB                                     

II) Théorème de Pythagore et sa réciproque

1)Théorème de Pythagore

Théorème de Pythagore

Dans un triangle le carré de l’hypoténuse est égale à la somme des carrés des côtes perpendiculaires.
Alors si ABC est un triangle rectangle en A ;

on a : BC2 = AB2 + AC2

2)Réciproque du théorème de Pythagore

Si dans un triangle on a BC2 = AB2+AC2 alors ABC est un triangle rectangle en A

III) Autres relations métriques dans le triangle rectangle

 Relatons Métriques

  • Théorème :

Etant donné un triangle ABC de hauteur [AH], si ABC est rectangle en A alors :

AC x AB = BC x AH
AH2=HB x HC

IV)Application du théorème de Pythagore

1) Carré

ABCD est un carré de côté a . Déterminer la mesure de la diagonale d.

Considérons le triangle ABC rectangle en B

AC2= AB2 +BC2    ;  d2 = a2+ a2    ;     d2= 2 a2      ;    d= \sqrt{2a^2}    ;   d= a\sqrt{2} 

2)Triangle équilatéral

ABC est un triangle équilatéral de côté a .  Déterminer la mesure de la hauteur h

Considérons le triangle ACH

  AC2= AH2 + CH2    ;   a2 = (\frac{a}{2})2 + h;     h2= a2\frac{3a^2}{4}    ;     h2 = \sqrt{\frac{3a^2}{4}}      ;   h =    ;   h= a\frac{\sqrt{3}}{2}

4)Distance d’un point à une droite

a)Activité

Soit une droite (D) et M un point n’appartenant pas à (D) ; H est le projeté orthogonal de M sur (D).

Placer les points A ; B et C sur (D) et déterminer la plus petite distance de M à (D)

La distance MH est la plus courte distance de M à (D)

b) Définition

La distance d’un point M à une droite (D) est la plus courte des distances du point à la droite (D)

C) Propriété

La distance d’un point M à une droite (D) est la distance de ce point à son projeté orthogonal H sur (D).