11. Les applications - Ogooue education

4 ème Mathématiques 11. Les applications

I) Notion d’application

1) Activité

Considérons la relation R de l’ensemble A= {-2 ;0 ;1 ;2 ;4 ;6 ;10} vers l’ensemble

B= {0 ;1 ;4 ;36 ;16 ;100 ;25 ;49} de lien verbal « …a pour carré… ».

Représenter le diagramme sagittal de la relation R
Chaque élément de l’ensemble de départ a-t-il une image ?combien ?
Cette relation est-elle une application ?

Réponse

1) Représentons le diagramme sagittal

Chaque élément de l’ensemble de départ a au plus une image (0 ou 1). Cette relation est une application

2) Définition

Une application est une relation qui à chaque élément de l’ensemble de départ associe un et un seul élément de l’ensemble d’arrivée

3) Notation

Désignons par f l’application de l’ensemble A vers l’ensemble B, par x un élément quelconque de A et par f(x) son image dans B. On note :

II) Exemples d’applications du plan

1) symétrie par rapport à une droite (D)

a) Activité

Soit la figure suivante :

Construire les points A’ B’ C’ D’ et M’ symétriques de A, B, C, D et M par rapport à la droite (D).
Peut-on trouver un autre point M’’ symétrique de M par rapport à (D) ?
Cette construction est-elle une application ?
Quels sont l’ensemble de départ et l’ensemble d’arrivée ?

Réponse

2) M’ est le seul symétrique de M par rapport à (D).

3) Cette construction peut être considérée comme une application car tout élément de l’ensemble de départ correspond à un seul élément de l’ensemble d’arrivée.

4) L’ensemble de départ est le le plan P

L’ensemble d’arrivée est encore le plan P

b) Définition

P désignant l’ensemble des points du plan et (D) une droite de ce plan ;la symétrique orthogonale par rapport à la droite (D) est l’application S_D de P vers P qui à tout point M du plan P associe le point M’ du plan P tel que (D) soit la médiatrice de [MM’].

2) Symétrique par rapport à un point O

a) Activité

soit les points suivants du plan

Construire les points A’, B’, C’ et M’ symétriques de A, B, C, et M par rapport à O.
Peut-on trouver un autre point M’ symétrique de M par rapport à O?
Cette construction est-elle une application ?

Réponse

M’ est le seul point symétrique de M par rapport à O

Cette figure est donc une application .

b) Définition

P désignant l’ensemble des points du plan et O un point de ce plan, la symétrie par rapport au point O est l’application S_O de P vers P qui à tout point M du plan P, associe le point M’ du plan P tel que O soit le milieu de [MM’].

3) Projection sur une droite

a) Activité

Soit la figure suivante.

1) Construire les points A’ ;B’ ;C’ et M’ projetés respectifs de A ;B ;C et M sur (D) parallèlement à (d).

2) Cette figure est-elle une application ?

Réponse

Pour tout point M du plan P, son image par la projection sur (D) parallèlement à (d) est le seul point M’ appartenant à (D) .Cette construction est donc une application.

b) Définition

P désignant l’ensemble des points du plan ; (D) et (d) deux droites (non parallèles ) de ce plan, la projection sur (D) parallèlement à (d) est l’ application P de P vers (D) qui à tout point M du plan P associe le point M’ de la droite (D) tel que les droites (MM’) et (d) soient parallèles.