14. Composition d’applications du plan

I. Composition de deux translations

Tracer deux vecteur \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} et placer A ; B et C. Construire A’ image de A par la translation de vecteur \overrightarrow{u} et le point A” image de A’ par la translation de vecteur \overrightarrow{v}. Même question pour B et C.

On constate que \overrightarrow{AA''} = \overrightarrow{BB''} = \overrightarrow{CC''} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}

Cela signifie que les points A’’ ;  B’’ ; C’’ sont les images respectives des points A ; B ; C par la translation de vecteur \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}

Définition

On dit t_{\overrightarrow{v}}0t_{\overrightarrow{u}} est la composée de l’application t_{\overrightarrow{u}} suivie de l’application t_{\overrightarrow{v}}.

La translation de vecteur \overrightarrow{u} suivie de  la translation de vecteur \overrightarrow{v} est égale à la translation de vecteur \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}. On note t_{\overrightarrow{v}}0t_{\overrightarrow{u}} = t_{(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})}

II. Symétrie orthogonales d’axes perpendiculaires

Activité

Tracer deux droites (\Delta) et (\Delta') perpendiculaires en I . Choisir un point M et construire le point M’ tel que M'=S_{(\Delta)}(M) et le point M” tel que M''=S_{(\Delta')}(M')

Que  représente I pour le segment [MM ‘’] ?

I est le milieu du segment [MM’’].On a donc :

S_{\Delta}0S_{\Delta'} est la symétrie de centre I ; on écrit S_{\Delta}0S_{\Delta'} = S_I

• Conclusion

La composition de deux symétries orthogonales d’axes perpendiculaires en O est la symétrie de centre O.

III. Composition de deux symétries centrales

Placer deux points A et B et choisir un point M du plan. Construire ensuite le point M’ tel que M' = S_{A}(M) puis M” tel que M'' = S_{B}0S_{A}(M). Même question pour N.

Que dire de \overrightarrow{MM''} et \overrightarrow{AB} ?

On a \overrightarrow{MM''} = 2\overrightarrow{AB} et que \overrightarrow{MM''} = \overrightarrow{NN'}

On a donc

S_{B} 0 S_{A} est la translation du plan de vecteur 2\overrightarrow{AB}

• Conclusion

La composée de deux symétries centrales est une translation . on peut écrire : S_{B} 0 S_{A} = t_{2\overrightarrow{AB}}