Exercices – Position relative de deux droites

Exercice 1

Dessiner deux trapèzes ABCD et AEFD ayant une base commune [AD].
Tracer le quadrilatère BEFC. Que peut-on dire de ce quadrilatère ? Le démontrer.

Exercice 2

BIC et  BAC  sont deux triangles.
Démontrer que les hauteurs issues de I et de A sont parallèles.

Exercice 3

Soit un trapèze ABCD de bases [AD] et [BC]. Les perpendiculaires à (BC) passant par B et C coupent (AD) en E et F.
Démontrer que EBCF est un rectangle (c’est –à-dire un quadrilatère ayant 4 angles droits).

Exercice 4

Les droites (D₁),(D₂), (D₃),(D₄),(D₅) et (D₆) sont telles que :
(D₁)   ⊥ (D₂) ;   (D₂) //(D₃) ;     (D₃)  ⊥    (D₄) ; (D₄ ) ⊥  (D₅) ; (D₅)   // (D₆).
Que peut-on dire des droites (D₁) et (D₆) ? Le démontrer.

Exercice 5

Deux segments [EF] et (GH] ont la même médiatrice.
Que dire des droites (EF) et (GH) ? Le démontrer.

Exercice 6

Soit ABC un triangle. E et F sont des points équidistants de B et de C. On note (Δ) la parallèle à (EF) passant par A.
Démontrer que (Δ) est une hauteur du triangle ABC.

Exercice 7

1. a) Tracer une droite (Δ), puis marquer deux points A et B non situés sur la droite (Δ), la droite (AB) n’étant pas parallèle à la droite (Δ), .
    b) Construire le symétrique du point A par rapport à la droite (Δ) .
2. A la règle seule, construire le symétrique de la droite (AB) par rapport à la droite (Δ) .

Exercice 8

Tracer deux droites (d) et (d’) perpendiculaires en O, puis marquer un point I tel que I n’appartienne ni à la droite (d), ni à la droite (d’).
1. Construire le symétrique O’ du point O par rapport au point I.
2. a) Construire le symétrique de la droite (d) par rapport au point I (règle et équerre).
    b) Construire le symétrique de la droite (d’) par rapport au point I (à l’équerre seulement).

Exercice 9

1. Placer quatre points A, B, C et D.
   Construire le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC, puis le centre O’ du cercle circonscrit au triangle ACD.
   2. Montrer que la droite (OO’) est la médiatrice du segment [AC].
   
   Exercice 10

1. Calculer les mesures des angles \widehat{ADC}, \widehat{ABC}, \widehat{DCB}, \widehat{DCA} (voir la figure à main levée ci-dessous).

2. Prouver que : CB = CD.

Exercice 11

1. Tracer un triangle ABC isocèle en A, puis placer un point P sur le segment [BC].
Tracer la parallèle à (AC) passant par P : elle coupe (AB) en M.
Tracer la parallèle à (AB) passant par P : elle coupe (AC) en N.
2. a) Comparer les angles \widehat{BPM} et \widehat{BCA}.
    b) Préciser la nature des triangles BMP et PNC.
3. Justifier l’affirmation suivante :
Quelle que soit la position du point P sur le segment [BC], le périmètre du parallélogramme AMPN est égal à AB + AC.