5. Projection
I)Projeté d’un point
1)Observation
Les droites (\Delta) et (AA’) sont parallèles, on dit que A’ est le projeté de A sur (D) parallèlement à (\Delta).
2)Définition
Le point A’ est le projeté de A sur la droite (D) parallèlement à la droite ( \Delta ) signifie que les droites (AA’) et ( \Delta ) sont parallèles et que le point A’ est sur (D).Si A est sur (D) alors A’=A
REMARQUES :
- La relation qui à tout point du plan associe un point de (D) par la construction précédente s’appelle :
Projection du plan sur (D) parallèlement à ( \Delta )
- A tout point du plan, la projection associe un point et un seul sur (D); on dit que c’est une application.
II)Projeté du milieu d’un segment
1)Propriété
a)Activité
Tracer deux droites sécantes (D) et ( \Delta ) et un segment [AB]. Placer le point M milieu de [AB] puis construire les projetés A’ ; B’et M’des points A ;B et M sur (D) parallèlement à la droite ( \Delta ). Que constate t-on ?
On constate que le point M’est le milieu du segment [A’B’]
b)Propriété
Les points M’ ; A’et B’ étant les projetés des points M ;A et B. Si M est le milieu de [ AB] alors M’est le milieu de [A’B’].
2) Applications
a) Application au triangle
Activités
Construire un triangle ABC et placer le point J milieu du segment [AB]. Tracer la parallèle à la droite (BC) passant par J. Elle coupe (AC) en I. Que constate -t-on ?
I est milieu de [AC]
On a une projection du plan sur la droite (AC) parallèlement à (BC); les projetés de A ;I ;B sont respectivement A,J ,C
Conclusion
Si le point J est le milieu du segment [AB] et si I est sur le segment [AC] tel que (IJ) soit parallèle à (BC) alors I est milieu du segment [AC].
- Propriété 1
La droite parallèle à un côté d’un triangle passant par le milieu d’un autre côté coupe le troisième en son milieu.
Activité 2
Construire un triangle ABC et placer le point I milieu de segment [AB] et J milieu de segment [AC] ; Que peut-on dire des droites (IJ) et (BC) ?
On remarque que (IJ)//(BC)
- Propriété 2
La droite joignant les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté de ce triangle.
b) Application au trapèze
Activité 3
Construire un trapèze ABCD de bases [AD] et [BC] et placer le point I milieu de [AB]. Tracer la parallèle à (BC) passant par I. Elle coupe (CD) en J. Que constate t-on ?
J est milieu du segment [CD].
- Propriété 3
La droite parallèle aux bases [AD] et [BC] d’un trapèze ABCD et passant par le milieu du côté [AB] coupe le côté [DC] en son milieu.
Activité 4
Construire un trapèze ABCD et placer les points I milieu de [AB] et J milieu de [CD]. Que peut-on dire des droites (IJ) et (BC) ?
On remarque que (IJ) et (BC) sont parallèles.
- Propriété 4
La droite joignant les milieux des deux côtés non parallèles d’un trapèze est parallèle aux bases de ce trapèze.
III) Projection orthogonale
1)Projeté orthogonal
a)Activité
Tracer deux droites (D) et (Δ) perpendiculaires. Choisir un point A dans le plan et construire le point A’ projeté de A sur la droite (D) parallèlement à ( \Delta )
On dit que A’ est le projeté orthogonal de A sur (D)
b)Définition
Le point A’ est le projeté orthogonal de A sur la droite (D) signifie que le point A’ est sur la droite (D) et la droite (AA’) est perpendiculaire à la droite (D).
2)Repérage dans le plan
a)Repérage d’un point
Activité
Placer le point A(3 ;4) dans le plan muni d’un repère (O,I,J). Noter A’ le point d’abscisse 3 sur (OI) et A’’ le point d’ordonnée 4 sur l’axe (OJ). Que représente A’ et A’’ pour A ?
On remarque que A’ et A’’ sont respectivement les projetés orthogonaux de A sur (OI) et sur (OJ).
b)Coordonnées du milieu de deux points
Placer les points A(1 ;1) et B(5 ;4) dans un repère orthonormé du plan puis I milieu du segment [AB]. Déterminer les coordonnées de I et construire les projetés orthogonaux A’ ;I’ ;B’ de A ,I ,B. Sur (OI) et A’’ ;I’’ ;B’’ de A ,I ,B sur(OJ).
Réponse
I’ est milieu de [A’B’] donc son abscisse sur la droite (A”B’’) est xI” = \frac{xA"+xB"}{2}
I’’ est milieu de [A’’B’’] donc son abscisse sur la droite (A’’B’’) est xI’’= \frac{xA"+xB"}{2}
Propriété 5
A(xA ;yA) et B(xB ;yB) étant deux points du plan , si I(xI ;yI) est le milieu de [AB] alors
XI= \frac{xA+xB}{2} et YI= \frac{yA+yB}{2}
Propriété 6
A(xA ;yA) et B(xB ;yB) et I(xI ;yI) étant trois points du plan , si xI= \frac{xA+xB}{2} et yI= \frac{yA+yB}{2} alors I milieu de [AB].
