Exercices – Projection

Exercice 1

Soit ABC un triangle rectangle en B et (Δ) la médiatrice de [BC] qui coupe (AC)  en I. Démontrer que I est le milieu de [AC].

Exercice 2

GAF est un triangle. Soit B le symétrique de G par rapport à A et E celui de G par rapport à F. Démontrer que (AF) //(BE).

Exercice 3

ABC  est un triangle .B’ et C’ sont les milieux respectifs des côtés [AC] et [AB],M est un point quelconque  de [BC].La droite (AM) coupe (B’C’) en N.

  1. Démontrer que N est le milieu de [AM].
  2. Résumer la démonstration dans un déductogramme.

Exercice 4

Soit le triangle ABC dont le sommet B se trouve à l’extérieur de la feuille. N est le milieu de [AC].
Peut-on construire le milieu de [AB] sans placer le point B ? Justifier.

Exercice 5

ABCD est un parallélogramme de centre I ; H est le projeté orthogonal de D sur (AC) ; K est le projeté orthogonal de B sur (AC).

  1. Pourquoi les droites (DH) et (BK) sont parallèles ?
  2. Démontrer que I est le milieu  de [HK] 

(Pour les exercices 6 à 9, on considère un triangle ABC et on désigne par I,J et K les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB]. )

Exercice 6

On suppose que ABC est rectangle en A.
1. Que peut-on dire des droites (IJ) et (AB) ? des droites (IJ) et (AC) ?
2. Préciser la nature du quadrilatère AJIK.

Exercice 7

Tracer un triangle ABC sachant que AB = 4 cm, AC = 5 cm et BC = 6 cm.
1. Prouver que la droite (BJ) coupe le segment [KI] en son milieu.
2. Calculer les périmètres du triangle IJK et des quadrilatères AKIJ, BKJI et CIKJ.

Exercice 8

On suppose que AB = 7 cm, AC = 8 cm et BC = 12 cm. On désigne par L et M les milieux respectifs de [KJ] et [KI].
1. Prouver que la droite (LM) est parallèle à la droite (AB).
2. Calculer le périmètre du triangle KLM.

Exercice 9

Soit M le milieu de [AK] et N celui de [KB].
1. Préciser la nature du quadrilatère MJIN.
2. Comment choisir le triangle ABC pour que MJIN soit un rectangle ? un losange ? un carré ?

Exercice 10

Tracer un triangle ABC, puis construire les points D, E, F, G, H et I, symétriques respectifs de A par rapport à C, de A par rapport à B, de C par rapport à B, de C par rapport à A, de B par rapport à A et de B par rapport à C.
Comparer les périmètres du triangle ABC et de l’hexagone DEFGHI.

Exercice 11

Dans la figure ci-contre, ABCD et ABEF sont deux parallélogrammes de centres I et J.
1. Montrer que les droites (CE) et (DF) sont parallèles
(indication : on pourra utiliser la droite (IJ)).
2. En déduire la nature du quadrilatère DFEC.

Exercice 12

I et J sont les milieux de [BC] et de [CD]. La parallèle à (AB) passant par I et la parallèle à (AD) passant par J se coupent en P.
Montrer que P est le milieu de [AC].

Exercice 13

Les données :
– ABCD est un parallélogramme ;
– D’ est le symétrique de D par rapport à A ;
– E appartient au segment [AB] et AE = \frac{1}{3}AB ;
– (D’E) coupe (DC) en F.
Montrer que CF = \frac{1}{3}CD.

Exercice 14

1) Dans un repère orthonormé (0, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) du plan  on donne :
  A (3 ; 5) et  B (-2 ; 4)
Calculer les cordonnées des  points  C et D tels que :
a) C milieu de [AB].
b) B milieu de [AD].
2) On donne  E (2 ; -2) et F (0 ; 1)
Montrer que F est milieu  de [BE]